2. 1 従来の開口関数
対象とするインターフェイスクラックのモデルは,図‑2. 1に示すように弾性係数が 異なる材料が円周方向に沿って接合され中心軸から1 0 1 ≦wの境界部分(zlから=l) が未接合になってクラックを構成しているものとする｡このように zlから Tlに至る 任意曲線に沿って開口を構成するような一つの関数は(複素関数の分岐を構成する)
Ho(z)
‑‡[log (
z ‑ Ⅹ†iy ‑ reiβ
zl‑ Xl+iyl ‑ aeiw
Z Zl
Z Zl
D
Hor I iHoi ‑‑‑‑‑ (2.1.1)r ‑
J妄言了平
zl ‑ Xl‑1yl ‑ aeMib'
パラメータ ー定借
として表される｡ zl,言1が接合面の円周上の点なら,関数(2.1.1)式の実数部,虚数
部はそれぞれ図‑2. 2,図‑2.3となる｡図12. 3の虚数部曲面は開口部先端で 0から 7rへ直立しているため, Erdoganl), Rice2), Atkinson3), England4)の研究で明かな
ように応力集中が集積特異点の形状を形成する結果となっている(上記の研究者等は式 (2.1.1)の様な表現はしていないが結果的には同等である)
｡著者等の着想は『もし開 口部先端における急激な飛躍( 0から 7r‑直立)を滑らかに変換し得たならば関数の特 性より応力集中は滑らかで有限なものになる』と言うものである｡開口部先端を滑らか
にする手法は段,中川等5)が既に一様な等方性弾性体あるいは異方性弾性体中のクラッ クの応力集中を有限で滑らかなものにする手法として活用した重み積分法が最も簡単で あろう｡
図‑2. 1 研究対象モデル(円形境界で接合する異質弾性体)
‑25‑
接合円周
一.一■■
■■ 一一ー
×
開口部
Y
(a)全体形状
(b)開口吾β拡大
図‑2.2 開口関数 実数曲面
(a)全体形状
(b)開 口部拡大
図‑2.3 開 口関数 虚数曲面
‑27‑‑
2. 2 円形境界特有の重み積分関数
本研究ではクラック先端近傍の集積特異点領域を緩和する対策として,関数H｡(z)の
開口先端位置を表す zl,言1を積分変数にし,重み積分を行なって好ましい関数 H(z) を導いた｡その手順を次に示す｡
式(2.1.1)の zl, Flを指数関数表示で表わすと次式となる｡
Ho(z,‑)
‑‡log(
z‑ae‑iw
Z ae i u
)‑
H｡r+iH｡i ‑‑‑‑‑(2.2.1)重み積分の手法として,開口先端部分に process zone と定義した応力と変位がとも に生ずる区間を設定し,この区間内で重みp(t)によって H｡(z,a,w)を積分する方式 を採用する｡
重み関数p(t)は図‑2.4(1)に示す区間w<IOl<w+β,すなわち zl‑Z2, 2‑1‑T2 区間でのみ有効な n次式とし,具体的には各区間毎に第1の重み関数(pll,P12) , 第2の重み関数(p21,P22)を利用する.ここでは重み関数は2次式で定義する｡
(1)第1の重み関数(pll,P12)
pll(t) ‑ Cll(t‑Zl)(t‑Z2) (u(0(w+β) 一‑‑‑‑ (2.2.2)
J…:pll(t)dt‑icll(zl‑Z2)3‑
1 ‑‑‑‑(2･2･3)p12(t) ‑ C12(t‑Zl)(t‑Z2)
∫…:p12(t)dt
‑山1‑ u
zl‑ aei山1
t ‑ aelβ
1
甘C12(豆2一云1)3
u2‑ u+β ｢
z2‑ aeiu2
dt‑ iaeiβd∂
‑‑ー=‑ (2.2.4)
1 ‑‑‑‑ (2.2.5)
‑‑‑‑‑‑I‑‑ (2.2.6)
重みを区間(zl,Z2)で積分すると1になることが必要であり,次の照査を行う｡式(2.
2.6)を式(2.2.2)に代入する｡
plldt ‑ clla3(ei9‑eiul)(ei91eiw2)ei8idO
‑4clla3eiく‑2+48,/2sin(旦盲叫sin(T)idO
‑ (2･2･7)‡(zl‑Z2)3
‑‡[a(eiul‑eiu2)]
3‡(i)3a3e3iくul･u2)/2 sin3(
wl‑w2)
‑‑‑‑‑‑ (2.2.8)′一‑‑‑､
u十β (Z2)
図‑2 . 4 ( 1 ) 重み関数( 4 タ イ プ)
Zl=Z3
(a) γ=0.0
Z3 Z2
(c)0.5<γく1.0
ZI Z3
(b)0.0< γく0.5
Z‑
(d) γ=1.0
Z2=Z3
図‑2 . 4 ( 2 ) 重み関数 3 次式
(Z5 の位置古こ よ る 重み形可犬の変イヒ)
ニB]芭一
plldt ‑ 3ei(281Wl‑u2)
wl‑w2 ‑‑‑‑ (2.2.9)
式(2.2.9)より判るようにpllは実数部,虚数部ともに値を持つ｡重みが虚数部を持 つのは不都合であるから円周上で丁度虚数部の値を相殺するような第2の重み(p21,
β22)を定義する｡
(2)第2の重み関数(p21,P22)
第1の重み関数に現れる虚数部を消滅させるには一般的に共役関数が利用されるが,
共役関数を併用した場合『関数 H(z)が調和関数である』という条件を乱す結果とな る｡このため,円周上(r‑a)で丁度虚数部の値を相殺するような新たな第2の重み関
数p21を定義する｡
p21dt ‑
c21(%2一夏1 )(羊一云2)d(t2)
dT‑
‑i:dt
p21(I) ‑ C21(T一云1)(T一云2)
J…:p21(I)dT
(t=aei8, w(0(w;β) ‑‑ (2.2.10)
‑‑‑‑‑‑‑ (2.2.ll)
‡c21(云11云2)3
‑ l ‑‑‑‑‑‑‑‑‑ (2･2･12)ここで p21について上と同様に照査を行う｡
p21dt ニ ーc21a3(e i8‑e‑iul)(e i8‑e iu2)e‑i8idO
ニー4c21a3e‑i(ul･w2+4β)/2sin(‑P#)sin(#)idO
‑‑ (2･2･13)‡(云1一豆2)3 =‡
[a(e‑iul‑e‑iu2)] 3‡(i)3a3e‑3iくwl･u2)/2sin3(
wl‑w2)
‑‑‑ (2･2･14)p21dt 3e i(28 wl‑山2)
wl‑w2
)sin( ㌍)dβ
‑‑‑ (2･2･15)第1の重みpll:式(2.2.9)と第2の重みp21:式(2.2.15)の和をとると式(2.2.16) に示すように虚数部を相殺した重みが得られる｡
〟ll+β21
dt 3cos(201ul‑山2) sins 山I‑‑h12
2
sin(半)sin(㌍)dO
‑‑ (2･2･16)重みp12についても相殺するp22を定義する｡
p22dt ‑
c22(f21Zl)(手‑z2)d(ヂ)
(t=aei8,‑w‑β〈o〈u) ‑‑ (2･2･17)J…:p22(I)dT 甘c22(z2‑Zl)3
1 1 一‑‑一‑‑‑‑‑ (2.2.18)p22についても式(2.2.13)から式(2.2.16)までと同様な処理を行うが,ここでは煩雑 となるので割愛する｡
‑31‑･
2.3 重み付き積分法による新開口関数の誘導(重み関数2次式)
重み関数2次式を利用した新開口関数の誘導は,前節にて記述したので重み積分の結
果のみを式(2.3.1)に示す｡ zu‑aei山, zL‑ae‑i山 とすると次のようになる｡H2(z･a･…)‑
J…:J…:‡log(2%)pIP2dzLdzu
‑
J≡汁‡log(z‑zu)pll ‑‡log(z‑zu)p21]dzu
･J…:[ilog(z‑zL)p
12+‡log(z‑zL)p22]dzL
*.[‑
i3(zl‑Z)‑(z21Z)) (z2‑Z)2log(z2‑Z)I (3(z2‑Z)‑(z.‑Z)) (zl‑Z)2log(zl‑Z)
･
i3(zl一%2ト(z2‑%2)) (z2‑%2)2log(z2‑%2) 13(z2‑%2)‑(zl‑%2)) (zl‑%2)2log(zl‑%2)
･ 2(zl‑Z2)
(‑(zl‑Z)(z2‑Z)"zl‑%2)(z2‑%2"]
･去ト
i3(首2‑Z)‑(富1‑Z)チ (言1‑Z)2log(吉1‑Z)† (3(言1‑Z)‑(t2‑Z)〉 (t2‑Z)2log(i‑2‑Z)
i
i3(吉2‑%2)‑(fl‑%2)) (言1‑%2)2log(言11%2)
‑
(3(首1‑%2)‑(吉2‑%2)〉 (盲2‑%2)2log(f2‑%2)
･ 2(宮1‑F2) (
(fl‑Z)(t2‑Z)‑(fl‑%2)(言2‑%2))]
c｡‑(zl‑Z2)3 F.‑(言11夏2)3
‑‥ (2.3.1)
H2(z,a,u,β)の実数曲面,虚数曲面形状を図‑2.5,図‑2.6に示す｡図より実数
曲面の無限項が有限化していること,接合円周上で虚数曲面の 0 から ±7T/2 への立 ち上がりが平滑化されていることが判定される｡
a ′1
図‑2.5
新開口関数 実数曲面(開口部拡大)
図‑2.6 新開口関数 虚数曲面(開口部拡大)
‑33‑
2.4 重み付き積分法による新開口関数の誘導(重み関数4次式)
前節と同様に開口部先端に process zone を設定し,この区間内で重み p(t)によっ て式(2.2.1)の H｡(z,a,の)を積分する方式を採用し H｡(z,a,u,β)を導く｡重み関数
p(t)は図‑2.4(1)に示す区間
w≦lOl≦w+β,すなわちzl‑Z2､2‑i‑f2
区間で のみ有効な4次式とし,具体的には2次式の重み関数と同様な表現法で第1の重み関数(pll, P12) ,第2の重み関数(p21, P22)を定義する｡
(1)第1の重み関数(pll, P12)
pll(t)‑ Cll(t‑Zl)2(t‑z2)2 (t=aei8, w≦0≦w+β) ‑‑‑ (2.4.1)
∫…:pll(t)dt‑去cll(zl‑Z2)5
‑ 1 1‑‑‑‑‑ (2･4･2)p12(t)‑ C12(t‑首1)2(t‑f2)2 (‑w‑β≦0≦‑w) ‑‑=‑‑‑ (2.4.3)
∫…:p12(t)dt‑去c12(首2一方1)5
‑ 1 ‑‑‑‑ (2･4･4)(2)第2の重み関数(p21, P22)
p21‑
C21(%2一言1)2(%2一言∂2 d(f)
(t=aei8, u≦0≦w･β) ‑I (2･4･5)I‑%2‑
ae‑i8 dT‑‑i:dt
∫…:p21(I)dT‑去c21(Fl‑Z‑2)5
‑ 1 ‑‑‑I‑‑‑ (2.4.6)p22‑
C22(%2‑zl)2(%2‑z412 d(f)
(‑w‑β≦o≦‑w) I‑‑‑ (2･4･7)∫…三p22(I)dT‑面C22(z2‑Zl)5
ー1 ‑ 1 ‑‑=…‑ (2.4.8)(3)新開口関数 H｡
重み pll, P12, P21, P22 を利用した H.(z)の重み積分の結果を式(2.4.9)に 示す｡ここで zu = aeiw, zL = ae iu とすると次のようになる｡
H4(z,a,〟,β)‑J…:J…:‡log(Z%)
pIP2dzLdzu‑J…:L‡log(zIZu)pll ‑‡log(z‑zu)p21]dzu
･J…:[i‑log(z‑zL)p
12+‡log(z‑zL)p22]dzL
1
す{. [
=z2‑Z)2‑5(zl‑Z)(z2‑Z)+10(zl‑Z)2) (z2‑Z)Slog(z2‑Z)‑ ((zl‑Z)2‑5(zl‑Z)(z2‑Z):10(z2‑Z)2) (zl‑Z)Slog(zl‑Z)
‑
"z2‑%2)2‑5(zl‑%2)(z2‑%2)+10(zli2)2) (z2‑:2)Slog(z2‑%2)
I
"zl一%2)215(zl‑%2)(z2‑:2)+10(z2‑%2)2) (zl‑%2)Slog(zl‑:2)
･ぷ((zl‑Z)5‑(zl‑%2)5)
一潔((zl‑Z)4(z2‑Z)‑(zl‑%2)4(z2‑%2))
･ji ((zl‑Z)3(z21Z)21(zl‑%2)3(z2‑%2)2)
41
60
((z2‑Z)51(z2‑%2)5〉
･i; ((z2‑Z)4(zl‑Z)‑(z2‑%2)4(zl‑%2))
一男((z2‑Z)3(zl‑Z)2‑(z2‑%2)3(zl‑%2)2) ]
‑
i.[((f2‑Z)215(ど1‑Z)(i2‑Z)+10(ど1‑Z)2)
(E2‑Z)Slog(f2‑Z)‑ ((Fl‑Z)2‑5(訂11Z)(f21Z)+10(f2‑Z)2〉 (fl‑Z)Slog(言1‑Z)
‑ i(f2‑
%2)215(fl‑%2)(t2‑%2)+10(fl‑%2)2)
(云‑2‑%2)Slog(z‑2‑%2)
･ ((牙1‑
%2)2‑5(fl‑%2)(f2‑%2)+10(f2‑%2)2) (z‑i‑%2)Slog(Fl‑%2)
･卦ほ1‑Z)5‑(fl‑%2)5)
99
12
((言1‑Z)4(62‑Z)‑(互1‑%2)4(F2‑ %2))
･潔((tl‑Z)3(F2‑Z)2‑(tl‑%2)3(t2‑%2)2〉
17
60 i(f2‑Z)5‑(t2‑
%2)5)
･ii ((宮2‑Z)4(言1‑Z)‑(f2‑%2)4(言1‑%2))
‑ji ((豆2‑Z)3(tl‑Z)2‑(t21%2)3(z‑1‑%2)2)]
‑‑‑‑‑‑ (2.4.9)c｡ = (zl‑Z2)5 iTo = (言1‑t2)5
H｡(z,a,u,β)の実数曲面､虚数曲面ともに H2(z,a,u,β)とほぼ同じ形状であるた め図示を省略する｡
‑35‑
2.5 重み付き積分法による新開口関数の誘導(重み関数3次式)
前節と同様に開口部先端に process zone を設定し,この区間内で重み p(t)によっ て式(2.2.1)の H｡(z,a,め)を積分する方式を採用し H3(z,a,W,β)を導く｡重み関数
p(t)を区間
w≦ioi≦w;β,すなわち
zl‑Z2, fl‑t2 区間でのみ有効な3次式と し,具体的には各区間毎に第1の重み関数(pll,P12),第2の重み関数(p21,P22) を利用する｡
2次式, 4次式との違いはzl‑Z2
(Z‑i‑t2)区間の間に任意点
z3 (F3)を設定す ることにより,多様な重み形状が表現できる点にある(図‑2.4(2)参照) ｡ z3 はz3 ‑ aei(山+γβ)
‑ zl+γ(z2‑Zl) (0≦γ<0.5, 0.5<γ≦1) ‑‑‑‑ (2.5.1) と表される｡
(1)第1の重み関数(pll, P12)
pll(t)‑ Cll(t‑Zl)(t‑Z2)(t‑Z3) (t‑aei8, w≦o≦w;β) (2.5.2)
｣｢…:pll(t)dt‑iicll(zl‑Z2)3(zl+z2‑2z3)
‑ 1 一‑‑‑一‑ (2･5･3)p12(t)‑ C12(t一言1)(t‑f2)(t一言3) (‑W‑β≦0≦‑w) ‑‑‑ (2.5.4)
∫≡:p12(t)dt‑1i‑c12(言2一言1)3(tl+吉2‑2夏3)
‑ 1 ‑‑‑ (2･5･5)(2)第2の重み関数(p21, P22)
p21‑ C21
(%2一言l)(%2一言⊇(子吉∂ d(3L2)
･‑%2‑
ae‑i8dTニー%:dt
(t‑aei8, w≦o≦u+β)
=‑‑‑‑‑ (2.5.6)
∫…:p21(丁)dT‑去c21(吉1一言2)3(言1+‑z'2‑2夏3)
‑ 1 ‑‑‑‑ (2･5･7)p22‑ C22
(%2‑zl)(%2‑z2)(%2‑z3)d(T2)
(‑w‑β≦o≦‑w)(2.5.8)
∫z5:p22(I)dT‑去c22(z2‑Zl)3(zl+z2‑2z3)
‑ 1 ‑‑I‑‑ (2･5･9)(3)新開口関数 H3
重み pll, P12, P21, P22 を利用した H｡(z)の重み積分の結果を式(2.5.10) に示す｡ここで zu‑aeiu, zL‑ae iw とすると次のようになる｡
H3(z･a･山,β)
=J…:†喜:‡log(吉男pIP2dzLdzu
･J…:[‡log(z‑zu)pll ‑‡log(z‑zu)p21]dzu
･J…:[ilog(z‑zL)p
12+illog(z‑zL) p22]dzL
1
6o [
((zl‑Z)2‑2(z2+z3‑2z)(zl‑Z)+6(z2‑Z)(z3‑Z)〉 (zl‑Z)2log(zl‑Z)‑((z21Z)2‑2(zl+z3‑2z)(z21Z)+6(zl‑Z)(z31Z)∫ (z2‑Z)2log(z21Z)
‑((zl‑
%2)2‑2(z2+z312i2)(zl‑%2)+6(z21%2)(z31%2))(zl‑%2)2log(zl‑%2)
I"z2‑
%2,2‑2(zl･z312%2,(z2‑%2,･6(zl‑%2,(z,‑%2,)(z2‑%2,2log'z2‑%2,
‑(
i(zl‑Z)2‑‡(z2+z3‑2z)(zl‑Z)+9(z2‑Z)(z31Z))(zl‑Z)2
･(
iL(z2‑Z)2‑‡(zl+z3‑2z)(z2‑Z)+9(zl‑Z)(z31Z))(z2‑Z)2
･(
i(zl‑%2)2‑‡(z2+z3‑2%2)(zl‑%2)+9(z21%2)(z3‑%2))(zl‑%2)2
‑{
Ti(z2‑%2)21‡(zl+z312%2)(z2‑%2)+9(zl‑%2)(z3‑%2)}(z2‑%2)2 ]
‑
*o ["言1‑Z)2‑2(言2+言3‑2z)(言1‑Z)+6(言21Z)(言3‑Z)'(言1‑Z)21｡g'fl‑Z)
‑((iT2‑Z)2‑2(言1+f3‑2z)(f2‑Z)+6(言1‑Z)(z‑3‑Z) ) (f2‑Z)2log(言2‑Z)
‑((夏11
%2)2‑2(夏2+言3‑2%2)(ど1‑%2)+6(f21 %2)(言31 %2))(il‑ %2)2log(言1‑%2)
･((t2‑
%2)2‑2(z‑1･f3‑2%2)(z‑2‑ %2)+6(夏1‑ %2)(富3‑ %2))(言2‑ %2)2log(z12‑ %2)
‑(
iZ‑
(言1‑Z)2‑‡
(f2+f3‑2z)(‑z‑1‑Z)+9(f2‑Z)(f3‑Z))(言1‑Z)2･(
i
(t2‑Z)2‑‡(z‑l･f312z)(f2‑Z)+9(訂1‑Z)(t,‑Z))(F2‑Z)2
･(
TZ‑(どll %2)2‑‡(62+f3‑2%2)(fl‑ %2)+9(f2‑ %2)(言3‑ %2,)(tl‑ %2)2
‑{
iL(t2‑%2)2‑‡(fl+t3‑2%2)(t2‑%2)+9(fl‑ %2)(f3‑%2)}(T2‑%2)2]
‥‑‑‥‑ (2.5.10)
co = (zl‑Z2)3(2z3‑Zl‑Z2) 6. = (言1一言2)3(2z‑3一言1‑T2)
‑37‑
参 考 文 献
1) F.Erdogan: Stress Distribution in Bonded I)issimilar Materials with
Cracks, Trans.of the ASME, J.of Appl.Mech.,32, pp.403‑410, 1965.
2) J.R.Rice and G.C.Sih: Plane Problems of Cracks in I)issimilar Media, Trans.
of the ASME, I.of Appl.Mech..32. pp.418‑423. 1965.
3) C.Atkinson: The Interface Crack With a Contact zone (an Analytical
Treatment), Inter.I.of Fracture,19, pp.131‑138, 1982.
4) A.H.England: A Crack between DissiTnilar Media, Trams.of the ASME, J.of Appl.Mech.,32, pp.400‑402, 1965.
5) 段樹金,児嶋弘行,中川建治:亀裂先端部分で有限な応力集中を与える応力関数, 土木学会論文集, No.374/ト6, pp.399‑407, 1986年10月.