(駕⊥ +

kl

G

i)cosh些プ

1

kl+1

Gl

)sinh9

₂^方

‑(B*1･旦諜)

‑(旦ピーT)

左辺の行列‑0より,パラメータαを定める式

α ⁼

㌃log( ^虹+II

^G2

^さ†

^{Gl ‑}

^g̲ご

sinh cosh

‑I‑‑‑‑‑ (4.1.7)

(4.1.8)

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ (4.I.9)

が得られるが, _αは bielastic _constant であり, DllとD21の係数比は式(4.1.10)とな る｡

I,:A‑‑t::‑

_G2 ^‑

←去二 ⁱ⁾ sinh(些子)

一室詳) ^cosh(些子)

(2)第2の解析解

第2の解析解として,式(4.1.ll)‑(4.1.16)を選定する｡

(a)基本解

4),

￠

(4),甲は第1の解析解と同じ)

￠‑￠1+￠2‑DIZFl+D2ZF2

‑‑‑‑‑‑‑=‑‑ (4.1.10)

=‑‑‑‑‑= (4.1.ll)

￠′‑￠1′+￠2′‑Dl(‑a2Fl′)+D2a2(‑i

_Dl,D2:係数 ^{F2‑ F2′)}

a:異なる弾性体の接合面半径

(4.1.12)

(b)関数 F(z)

要素関数 gj(z)として表‑3. 1より ^Mode‑2 を採用する｡関数 Q(z)は表‑3. 2 より次数‑1, Type‑1を採用する｡

Fl(z)‑Q(z)gl(z)‑f3 ‑‑‑‑‑‑‑=‑‑‑‑‑‑= (4.1.13) F2(z)‑Q(z)g2(z)‑ f｡ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑一‑‑ (4.1.14)

‑55‑

f3‑

icosh((1+ia)H)

⁺

icoshi(1‑ia)H‡

^{‑I‑‑‑‑ (4･1･15)}

f4= isinh((1†i｡)H)

⁺

isinh‡(1 i｡)H)

^{‑‑‑ (4･1･16)}

(c)解の誘導

第1の解と同様に照査を行うと,パラメ‑夕aは式(4.1.9)を満足し Dll, D21の係数 比は次のようになる｡

‑:‑,:̲三ニー:I:‑=f̲一三

^G2

一旦亡) ^cosh(些子)

‑一一‑‑ (4.1.17)

解析解の誘導例を記述したが,第3章第4節で述べたように表‑3. 1に示す gj(z) と表‑3. ^2の Q(z)の各々の組合わせに対しても同様に解析解を見い出すことができ

る｡どの解析解においても _αは ^bielastic constant の値を示し,係数比は Dll/D21

‑± 1 となる｡

4. 2 解析解の検討

(1)解析解の一覧表

主要な解析解の一覧表(義‑4.1)を示す｡

表‑4. ¹ 解析解の一覧表(解 No.1‑No.20) 解

No.

要素関数

glg2

Q(z) ^F1

tF2

l

応力場

1 flf2

i

】1 i

1g1

^g2

集中ねじり力 2 f3f4

i

3 if2if1

一様引張力 4 if4if3

5 flf2

(ヱ+号) (ヱ+号)g1 (ヱ+号)g2

2重ねじり力 +集中ねじり力 6 f3f4

7 if2if1 2重ねじり力

+一様引張力 8 if4if3

9 flf2

i(ヱ‑号) i(ヱ‑号)g2i(モー号)g1

2重ねじり力

+集中ねじり力

【Ⅲ

^f3f4

EE

^if2if1 2重ねじり力

+一様引張力

EE]

^if4if3

EEl

^flf2 解No.5±解No.9 集中ねじり力

解No.6±解No.10 14 f3f4

解No.7±解No.ll

EEl

^if2if1 _{一様引張力}

解No.8±解No.12

EEl

^if4if3

17 flf2

(ヱ+号)2 (ヱ+号)2g1(ヱ+号)2g2

4重ねじり力

+集中ねじり力

EEl

^f3f4

EE]

^if2if1 4重ねじり力

+一様引張力

EEL

^if4if3

‑Bl)‑

(2)解析解の検討

図‑4. 1に示す解析条件で求めた解析解の開口部周辺(r‑a, l∂l≦50o )における 応力と変位を図‑4.2‑図‑4.9に図示する｡具体的に解析条件を記述すると,接合円

周までの半径 a‑10cm,クラックの角度 ^{2w‑40o, process zone}

部分の角度

β‑loo (すなわちlβ暮<20o がクラック部分に相当し 20o≦lβl≦30o がprocess ^zone 部 分に相当する)

,内側弾性体と外側弾性体の弾性係数比 El/E2‑7,内側弾性体のポア ソン比 レ1‑0.3,外側弾性体のポアソン比 L,2‑0.167 とし,重み関数には2次式を 用いる｡

図‑4. 2は解 No.1集中ねじり力が作用する場合の接合面上の応力と変位を示し,辛

径方向の応力 ^αr を図(a)に,せん断力 ^T rβ を図(b)に,半径方向の変位 Urを図(c) に,円周方向の変位 ^Uβ を図(d)に図示する｡ Ur, Uβ については接合面内側の値を 実線で接合面外側の値を破線で表す｡

図‑4. ³ (解 No.2)

,図‑4.4 (解 No.13)

,図‑4.5 (解 No.14)は集中ねじり 力が作用する場合,図‑4. ⁶ (解 No.3)

,図‑4. ⁷ (解 No.4)

,図‑4. ⁸ (解 No.15) 図‑4. 9 (解 No.16)は無限遠方で一様引張力が作用する場合の応力と変位図を表す｡

円周方向の応力 ^αβ は境界条件に関与しないのでここでは割愛する｡

また,応力と変位の分布形状を把握することを主とするため数値,単位は省略する｡

a _=10cm ∈1=2.1×106

cL) =20･ L/1=0.3

β =10o ∈2=3■.0×105

レ2=0.167

図‑4.1 解析モデル

(a) 亡7 r

Ur2

./

し‑‑5 ･:A. ●'･････.I.･･‑:･

(声P̲̲̲

､･.∴ 0【deg】

● l

+ .

■l

●■

ヽ

(c) ^U r

U｢l

/

̲監. ...,.ハごて

‑50 050

0【deg】

(b) T rβ

[コ I■

.::･'"'tt(uo2

::I:

'･tttt.

15C

≒〇‑''''一芸聖〔

uol

叩eg】

(d) ^Uβ

図14.2

^{角牢No･1集中オa じ り 力}

0｢1=0｢2

Eヨ⊆i

lllllllllL

‑500 0

0[deg】

(a) ^{亡r r}

0

[deg】

■■

(c) ^{U r}

(b) T rβ

UoI

L&

^{‑50 ','t. :':}

^e[deg]

'..I.I..̲::･･

I(':el :

''････..:.:･='

(d) Uβ

図‑4.3 角牢No･2 集中オコ ^L= り力

‑59‑

(c) u r

Trol=Tro2

,LJA‥,., 忙二二,

‑500 50

0【deg]

(b) ^T rβ

(d) Uβ

図‑4.4

角牢No.13

集中オa

^じ り

力

.ー｣‥‥

0(1=OT2

/

匹⊆些⊆■⊇⊆司

‑500

V7dOeg.

(a) 亡r r

/url

L#

^]

.'､.･･･.::一∫l

､. :

〈.?二

仁I0 r′l凸Jl

[deg】

● t

J

.･･.:‑

(c) u ^r

lltI ■■■‑

Tro1=T

胃⊆i

ロー⊆!⊆■!⊆司

●‑.‑... 0

V7dOeg】

(b) T rβ

卜ー/､と｣Tへー‑.

^{‑50 ..･･.. ■ 0} ●_.::I

_a;dOeg]

■ ■

''t..:･･

'q'L'ニー{

^'･･1.:::

(d) U8 図‑4.5

角牢No.14 集中オコ

^{t̲= り}

力

ll ■■■■■■■

･廼̲●

‑50 0 50

0[deg】

■■

●■

(a) ^o‑ r

■

●■

::･･'"tLt./U招:･‑

I‑･･

‑=‑=

^{‑i‑I‑̲I}

･‑

S===…

⁰

^[deg】

(c) U ^r

(b) T rO

■ 一●

L?ol

‑50

I.

//.･･?･･････''ttt

50

･′ :

‑1'tt･t･..::･'(｡o2 ^0[deg'

(d) ^Uβ

図‑4.6

角牢No.3 無限遠方で一様弓l張力

(a) (7 r

l･･./Ur2

..･:/l

●●●■̲̲̲▲■一■

150

:

､I‑i‑.i‑̲..

tl造

●

0

[deg】

(c) U ^r

Tro1=T

/

ll ■■■■■‑ lllI

● 0

V7FdOeg'

●■

■■

I■

0

[deg】

(d) Uβ

図‑4.7 角牢N o.4

無限遠方で一様弓l張力

‑B!"‑

Orl=Or2

LA

^ーlー7l

ハこ.

‑50 0 50

0[deg】

(a) o‑ r 7

･･.I./Ur2

●●

‑I

t.

4.

Bt

‑=‑F ‑‑≡ ^〒≡

■ t

■ ●

● ● ′

0

【deg】

(c) u r

(b) T rβ

0

【deg】

▲

..::'＼u

^{o 2}

ヽ■

(d) ^Uβ

図‑4.8 角牢N

_o.15

無限遠方で一様弓丁張ブコ

(a) ⊂r r

･'tt･...(:.r̲2"...:･･t7

‑⊃u

'＼‑‑‑＼､∪.̲ ^‑I

8:?=G;s:

(c) ^{U ∫}

(b) T r8

0

[deg】

■●

(d) ^Uβ

図‑4.9

角牢No.16

無限遠方で一様弓l張力

図‑4. 2‑図‑4. ⁹ より解析解の全てが変位と応力の境界条件を満たしていて,応 力集中も過去の研究例にみられる振動しながら無限大に発散する形状(集積特異点)を

回避し有限で滑らかなものとなっている｡開口変位は中央部より外側の方が大きいこと が判り,剛性の異なる材料間に生じているクラックとしても不自然なものが多い｡

また,開口形状として Ⅹ軸(0‑0,図‑4.

1参照)に対して

^{Ur が逆対称で U8} が対称なもの(解 No.1,2,13,14)と, Ⅹ軸に対して Ur が対称で Uβ が逆対称なも の(解 No.3,4,15,16)の2種類に判別できる｡二次元平面問題において面内力が作用

する場合の基本的な開口モードとして,クラックに面内せん断が作用する場合とクラッ

クに引張りが作用する場合がある｡解 No.1,2,13,14 はクラックに面内せん断が,解

No.3,4,15,16 はクラックに引張りがそれぞれ作用している場合の解の一種であると推

察される｡円形境界上にクラックを有している本モデルでは,前者が円形領域でねじり 力が作用する解析解(以下,ねじり解)

,後者が無限遠方で半径方向(放射方向)に一 様引張力が作用する解析解(以下,一様引張り解)の一種であると判断される｡

(3)変位に関する問題点

前述したように図‑4.2‑図‑4.9に示した解析解は全て変位と応力の境界条件を満

たしているが,開口変位については一部問題点が残されている｡解 No.3,4,15,16 は無 限遠方で一様引張力が作用する解析解であると判定しているが,半径方向の開口変位は

図‑4. ^{1 0} に示すように ^{process zone} 部分の変位がクラック中央部より大きくなる 不自然さを現している｡

::I:"tt..･./ur2

･･:.‑1･

:‑i‑‑‑̲I

^‑‑

S===‑I ^0[deg]

図‑4. 1 ⁰ 個々の解の開口形状

この不自然さを解消するため,同じ応力場を表す解析解を重ね合わせる手法を見いだ した｡これについては本章の第4節に詳説する｡

(4)その他の解析解

前述した以外の解析解として,解 No.5,6,9,10 は円形領域中心に2重ねじり力と集

中(単純)ねじり力が作用する複合応力場と想定され,解 No.7,8,ll,12 は2重ねじり 力と無限遠方で一様引張力が作用する複合応力場と想定される｡応力と変位の概要を図

‑4. 1 1,図‑4. ¹ 2 に示すが円中心での2重ねじりの状況が判定できるであろう｡

‑63‑

また,解 No.17,18 は円形領域中心に4重ねじり力と集中(単純)ねじり力が作用し,

解 No.19,20 は4重ねじり力と無限遠方で一様引張力が作用する複合応力場と想定され

る｡解 No.19 の応力と変位を図‑4.13,図‑4.14に示すが,図‑4.1 ³ は円中心

の4重ねじりをわかり易く表現した図である｡また,図‑4.

^{1 4 は応力と変位の連続}

条件と process ^zone

近傍の応力形状の概要をわかり易く

^{した図である｡}

(a)CTr

(c)U

^ド

接合面

接合面

図‑4..

¹¹

解No,5 2重ねじり力と単純ねじり力

(b)で｢β

接合面

(d)∪β

接合面

(a)Jr

接合面

接合面

(a)CTr

接合面

(c)U

^ド

接合面

(b)Trβ

(d)∪β

図‑4. 13 解No.1ヨ 4重ねじり力と一様引張力(複合応力を明示)

接合面

(b)Tre

接合面

(c)U

^ド

(d)∪β

4. 3 エネルギ解放率(J積分)

前節までは,クラック先端付近の応力および変位分布のみを扱ってきたが,この節で はクラックの成長に伴って起きるエネルギの変化に着目する｡一般に得られている結論 は境界条件のもとでクラックが進展するとき,力学系のホテンシャルエネルギは必ず減 少することである｡そしてクラックが単位面積だけ増加する際に解放されるポテンシャ

ルエネルギはエネルギ解放率( energy release rate )と呼ばれ,解放率を求める積分 計算はJ積分と呼ばれている｡

Jとはクラックが ^Aw だけ微小進展するについて _process zone において解放され る(費やされる)エネルギ A(Jをもって

I ^‑ △W ∂W

A w ∂w I‑‑‑‑‑‑‑‑‑=‑‑‑‑ (4.3.1)

と定義される｡ Jは単位面積あたりのエネルギという次元を持つ量で[ kgf/Ⅶ皿],

[ N/mTn ]等の単位で表される｡したがってクラック部分の単位長さに対し,そこに作

用してクラックの進展に寄与する一般化力と解することもできる｡

(1)エネルギー変化 ^AW

(a)ある外力が作用してクラック線上の開口変位が

r (半径)方向の開口分布 U,1(8) ^{･･･‑ qr} の相対開口

0 (円周)方向のズレ開口 U81(0) ^{･････ I r8} の相対開口 となる場合の接合部近傍の内側と外側の相対変位を

Ul(0) ⁼ Url(a;E, 0)‑Url(a‑E, 8)

Vl(0) ⁼ U81(aI8, 0)‑U81(a‑E, 0) _{‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑} (4.3.2) 但し _E‑0 a:接合円周半径

とする｡

応力度分布は ⁰ 軸上で o.rl(8), ^I r81(0)とする｡この場合には応力開放(cTrl

(0)‑0,

Tr81(8)‑0)区間を)0;<wlとし,

^{process zone 区間を}

wl≦F Oi≦wl

+β1とする｡

(b)次に外力はそのままで開口部が

ul‑‑Wl+Aw ^{‑ w2}

あるいは β1‑β1+Aβ ^‑ β2 に増加(進展)したとする｡

これによる ^r 方向, ^β 方向の相対変位はそれぞれ U2(♂), V2(♂)となり,応力 度も相応に αr2(♂), Tーβ2(♂)となる｡

(c)外力は一定のままで ^wl→W2 あるいは β1→β2 となり Ul(8)‑U2(8)＼ cTrl(8) ‑‑o‑r2(8)

Vl(♂)‑‑V2(♂) ^I

r81(0)‑I re2(0)

‑S!芭‑

となることによって変化するクラック線上の外力仕事(AU･αー+AV･Tーβ)

,すなわち エネルギ変化 ^{AW は}

AW

‑iJ::+β2[(q‑1(g)･qr2(8))AU(♂)+(I‑∂1(8)+I‑82(8))AV(0)]dO

AU(0)‑ U2(8)‑Ul(8) AV(0)‑ V2(8)‑Vl(8) ^{‑‑‑‑‑‑} (4.3.3) と表される｡式(4.3.3)はクラックー端のみにおけるエネルギ変化である｡ここで積

分区間を wl≦0≦w2+β2 ^{としているが}

f Ol<wlで応力度iqr(0),

_Tr8(0))が

0 ,

w2+β2<iOl≦7T

で相対変位(U2(0), V2(0)〉 が0

となり,例えIOl<ul, w2+β2<妻∂E≦7T

区間で積分してもその区間の積分値は 0 となるので計算上積分区 間が広くなることは構わない｡

(2) Jの決定

本研究では ^Aw (クラック部分)と Aβ (process ^zone 部分)の2つの進展が考え られるので,次のように2種類のJを定義する｡

(a)クラック部分が A(J進展した場合のJ (‑Ja)

初期状態(wl, β1)における応力と変位 ^q,1, Tー81, Url, Uol,進展後の状 態(w2=Wl+A(J, β2=β1)における応力と変位 ^{qr2, I,82, Uー2,} U82を求めて

Ja

とする｡

AW(wl,β1,W2,β2)

A^w =‑‑一‑‑= (4.3.4)

(b) process ^zone 部分が Aβ 進展した場合のJ (‑Jb)

初期状態(wl, β1)における応力と変位 ^{q,1, Trel, U,1,} U81,進展後の状態 (u2=Wl, β2=β1†Aβ)における応力と変位 qr2, I,o2, Ur2, U82を求めて

とする｡ ^{‑‑‑‑‑‑‑‑‑}

(4.3.5)

4.4 解析解の重ね合わせ

本章第1節の解析解の一覧表より明かなように,同じ応力場を表し境界条件を満たす

解析解を複数個誘導することができる｡本研究では任意の応力場を対象とした場合,唯 一性の解でなく多様な解を得る解析関数の一般形を見い出した｡

正しい解を見い出す手法として,実構造モデルにて実験を行い実応力･実変位を求め, この結果と解析解を比較検討しそれに相当する解を正解とする手法もある｡

本研究では本章2節に添付した図一4.2‑図‑4.9の開口変位(ねじり解における

uβ,一様引張り解における Uー)がprocess ^zone 部分においてクラック中央部(∂=

oo)より大きくなる不自然な現象が生じている｡これは process ^zone 部分に付加外力 として面内曲げモーメントが作用している等の原因が考えられ,一般に実用的な解とは

言えない｡より実用的な解を得るためには,応力場を表す複数の解析解に所定の係数を 乗じつつ重ね合わせることによって,個々の解の煩雑な付加外力を打ち消し,より合理 的な応力状態の解析解を導くべきであろう｡求めようとしている解析解は接合する材料 の特性によって応力集中と開口の形状が異なると思われる｡ここでは仮に誘導する解析 解として,開口変位が滑らかにクラック中央部で極大となり単独の解析解より合理的と

思われるものを求めてみよう｡

解を重ね合わせる手法(個々の解に乗ずる係数を求める手法)として,次の4種類を 検討した｡

① エネルギ解放率Ja を極値とする手法

② エネルギ解放率Jb を極値とする手法

③ 開口変位差の自乗和(AUr2+AUβ2)を極値とする手法

④ 応力度または開口変位の曲率の自乗和を極値とする手法

数値実験の結果よりねじり解にはJa を極値,一様引張り解では応力度 ^αr の曲率 自乗和を極値とする係数を用いることが適すると判断された｡

(1)エネルギ解放率Ja を極値とする手法 (a)求めようとする応力および変位 ^q, U

α‑ Dl (解1 α1) ^+D2 (解2 α2) ^+‑‑+Dn (解n αn)

u‑ Dl (解1 Ul) +D2(解2 U2) +‑‑+Dn(解n Un) _‑‑‑ (4.4.1) Dj (j‑1‑n) :係数(以下の説明では ^n‑4 とし記述する)

(b)クラックが A(J進展する場合のエネルギー変化は式(4.3.3)より

pij

‑iJ冨:+β2(q‑il(8)+q‑i2(8))AUj(8)dO

qij

‑iJ::+β2(I‑Oil(8)+I‑8i2(8))AVj川dO

‑r]円‑

‑‑ー(4.4.2)

ドキュメント内 円形境界で接合する異質弾性体の未接合領域近傍の解析に関する研究 (ページ 63-82)