遡 諮 集 漉 珂 弩
x
図6.6積 分 領 域
こ こ で,nwは 格 子 点Pと そ の 隣 接 格 子 点N,NW,wと に よ っ て 形 成 さ れ る 四 角 形 の 図 心 で,sω,se,neも 同 じ く そ れ ぞ れ の 四 角 形 の 図 心 で あ る.
ま た,e,π,ω,Sは そ れ ぞ れ 隣 接 格 子 点 の 中 点 で あ る.
(6.37),(6.38)式 をy方 向 に つ い て はSか らnま で,x方 向 に つ い て は ω か らeま で 積 分 す る と,
舘 憐 鈴 鶉)勅 一誰 儲 罪)dxdy(6,39) 舘 ζ勅 一一舘 鰐 詳)dxdy(6,4・)
と な り,上 式 を 差 分 化 す る と,
SP=
藁 ー
げヨBR十3
ー 鰍 鴛
計 ↑
十彰
ー
WθBE姓
↑ 鰍 鴛
計 ↑
1A E十 ノ1躍十.9N十AS十R
e (Bg十BW十BN十BS)
BgψE+13wφw+B、NN+B3y」s+CpζP φ
P=
(6,41)
と な り,こ こ で, り で あ る.
Bg十W十BN十BS AE,Aw,AN,AS,
(6.42)
E,BW,BN,BS,Cpは 以 下 の と お
一111一
1A
E=一{(/SE十 φ3十 ψ 柵 十N)十ItSE十 φ ε十 ψ 肥 十 ψ 訓}8
1A
te={(ψ 榊 十N十 ψ3w十 φ3)十1NW十IN十 ψ εw十 ψ31}8
1A
N="̀""{(ψ 露 十 φE十NW十 ψ の 十1ψNE十E十 ψ 耀 十WW1}8
1A
S=一{(wSW+ψ 叩+ψ εE+wE)+lwsw+ψw+WSE+ψ βD8
yNySyNySyN‐ys ツN‑yS
,BS‑rBW‑,BN=B互=2(
xP‑xS}2(xp‑xW)2(xN̲xP)2(xE‑xp) (xE一 κ の(yN‑ys)C
p=4
SOR法 を 用 い る た あ に,(6.41),(6.42)式 の ζ 。,ψ 。を 仮 の 中 間 値 ζP,ψPと 記 す と,
ζ 。=1
AE十AW十AN十AS十(BE十Bw十N十BS)R e
jBEζ ♂+Bwζ 儲 κ+1+B亙 ζ亙π+Bε ζ3π+1+CpζPπ+1
可。‑
BE十Bw十IBN十BSと な る.
こ こ で,nは 反 復 回 数 を 示 し,上 式 に お い て,添 字E,Nはn回 目 の ζ の 値 (古 い ζ の 値)を,添 字W,S,Pはn+1回 目 の ζ の 値(新 し い ζ の 値)を 用 い る こ と を 示 す.
α,β を 緩 和 係 数 と す れ ば,SOR法 に よ っ て 改 良 さ れ た ψ,ζ の 値 は, ζp冗=ζPn‑1十 α(SPn十Pn+且)(6.45)
ψpπ=Pn+t十 β(φpπ 十Pn+1)(6.46) と な る.
こ こ で,緩 和 係 数 α,β は,本 計 算 に お い て は,α=β=0.7と して い る.
‑112一
(6,43)
(6,44)
6.3.4境 界 条 件
(1)ヂ ィ フ ユ ー ザ 壁 面 お よ び 案 内 羽 根 面
流 れ 関 数 は,デ ィ フ ユ ー ザ 凹 壁 面 側 に お い て は,ψ 罵0.0で あ り,デ ィ フ ユ ー ザ 凸 壁 面 側 に お い て は,ψ=1.0と す る,
デ ィ フ ユ ー ザ 凹,凸 両 壁 面 に お け る う ず 度 の 境 界 条 件 は,
ζ・一 一3(ψ 毒 ψの 造 ζ・一・
(壁 面 が 座 標 に 垂 直)(6.47) 2(ψP一 ψ彫)2(ψP一 ψN)
p= 十(
xp‑xw)2(yP‑‑yN)2 (そ れ 以 外)(6.48) と な る.
こ こ で,ζ=0.0は 流 体 粒 子 が 非 回 転 で あ る こ と を 現 し,正 の 値 は 時 計 と逆 方 向 の 回 転,負 は 時 計 と 同 方 向 の 回 転 を 示 して い る.
案 内羽 根 面 に お け る流 れ 関 数 は, 腹 面,背 面 共 に 表6.3に 示 す と お り で あ る.
表6.3案 内羽根上の流れ関数 の境界条件
(a)一様 流 れ の 場 合ψ謂゜遮
VS=°
IMF、
幽
窺 凝瓢
図6.7境 界 条 件(一 様 流 れ,せ ん 断 流 れ)
㈲ せ ん 断 流 れ の 場 合
艮B/わ ψ 0.1$75 0.25 0.50 0.75 10.90780.843810.50001LO.1563
b/B1 ψ
0.1875 0,fi602
Q.25 G.5625
0.50 0.2500
Q.75 0.0625
うず度の境界条件 は,
デ ィ フ ユ ー ザ 壁 面 と 同 じ く 一113一(6.47),(6.48)式 を 用 い る.
(2)上 流および下 流端
上 流 端 で は,速 度 分 布 が 放 物 線 を 示 す と み な す と, ψ=3ニ ソ2‑2ッ3(6.49)
ζ=12y‑6(6.50) と な る,
下 流 端 に お け る 流 れ は,有 限 要 素 法 で は 内 点 と 同 じ 式 で あ り,差 分 法 で は 壁 面 に 平 行 で あ る と 仮 定 し,Milneの 予 測 子 公 式 を 流 れ 関 数 ψ お よ び う ず 度 ζ に 適 用
し て,
SZ,フ==2ζ 乞̲i,7‑2ζz̲3,フ 十S2‑4,フ(6.51) ψz,フ=2ψz̲貰,3‑2ψZ̲3,3十 φt‑4,1(6.52) と な る.
6.3.5計 算 手 順 お よ び 収 束 判 定
以 下 に 計 算 手 順 を 述 べ る.
① 全 格 子 点 の ψ お よ び ζの 初 期 値 を0に 設 定 し,Re数 を 設 定 す る.
② デ ィ フ ユ ー ザ 凸 壁 面 側 の 格 子 点 す べ て を ψ=LOに,凹 壁 面 側 の 格 子 点 す べ て を ψ=0.0に 設 定 す る.
ま た,案 内 羽 根 が そ う 入 され て い る場 合 に は 羽 根 面 の 格 子 点 に 初 期 値 を 設 定 す る.
③ 上 流 端 の 格 子 点 に ψ=3yL2y3,ζ=12ツ ー6を 設 定 す る.
こ こ か ら は,有 限 要 素 法 と差 分 法 とで は 計 算 方 法 に違 い が あ る.
有限要素法の場合
④(6.27)式 か らす べ て の 内 点 の ψを 計 算 す る.
⑤ ④ で 得 られ た ψ と,前 回 の 計 算 で 求 め た ζを 用 い て,(6.47)式 に よ り壁 面 の ζを 計 算 す る.
⑥ ⑤ で 得 られ た 境 界 の ζの 値 を 用 い て,(6.33)式 に よ りす べ て の 内 点 の ζを
一114
計 算 す る.
⑦ 収 束 条 件 を 満 足 す る ま で ④,⑤,⑥,の 計 算 を 繰 り返 す.
差分法の場合
④(6.45),(6.46)式 か ら す べ て の 内 点 の ψ を 計 算 す る.
⑤ ④ で 得 ら れ た ψ,ζ を 用 い て,
図6.8(a)有 限 要 素 法 解 析 の フ ロ ー チ ャ ー ト 図6.8(b)差 分 法 解 析 の フ ロ ー チ ャ ー ト
(6.51),(6.52)式 に よ り 下 流 端 の ψ,ζ を 計 算 す る.
⑥ ④ で 得 ら れ た φ,ζ の 値 を 用 い て,(6.47),(6.48)式 に よ り デ ィ フ ユ ー ザ 壁 面,案 内 羽 根 面 の ζ を 計 算 す る.
一115‑一
⑦ 収 束 条 件 を 満 足 す る ま で ④,⑤,⑥,の 計 算 を 繰 り返 す.
以 上 の 走 査 順 序 の フ ロ ー チ ャ ー トを 図6.8(a),(b)に 示 す.
収 束 判 定 は,モ デ ル 内 の す べ て の 格 子 点 に 対 して,n回 目 の ζの 値 とn‑1回 目 の ζの 値 との 差 の 最 大 値 で 判 定 す る.
こ こで,nは 繰 り返 し回 数 で あ る.
6.4実 験 結 果 お よ び 考 察
6.4,1有 限 要 素 法 に よ る 数 値 計 算 お よ び 流 れ の 可 視 化
(1)Re数 の 変 化 に よ る 流 線,う ず 度 お よ び 流 脈 に つ い て
図6.9(a),(b),(c)〜 図6.11(a),(b),(c)は,Re数 が そ れ ぞ れ300,500,1000 で 案 内 羽 根 を そ う入 し な いb/IB匠=0の と き の 有 限 要 素 法 に よ る数 値 計 算 結 果
と,色 素 流 脈 法 を 用 い て 流 脈 を 可 視 化 し た写 真 を 示 し た もの で あ る.
図(a}に は 流 れ 関 数,図(b)に は うず 度,図(c)は,色 素 流 脈 法 を 用 い て 流 脈 を 可 視 化 し た 写 真 で あ り,凹,凸 両 壁 面 の 数 字 は,デ ィ フ ユ ー ザ 入 口 を 基 準 と して デ ィ フ ユ ー ザ 凹,凸 壁 面 に 沿 って 測 っ た 任 意 の 距 離Zを,そ れ ぞ れ の デ ィ フ ユ ー ザ 出 口 ま で の 距 離Lで 割 って 無 次 元 化 した 値1/Lで あ る.
図(a),(b)の 数 値 計 算 に お い て,流 れ 関 数 は,Re数 に 関 係 な く入 口 直 管 部 で は 壁 面 に平 行 で あ る が,デ ィ フ ユ ー ザ 入 口 部 付 近 に な る と 凸 壁 面 側 に 少 し近 づ く傾 向 を 示 し,そ の 後,出 口 に 向 か って 凹 壁 面 側 に偏 る 傾 向 が 見 られ る.
デ ィ フ ユ ー ザ の 下 流 付 近 で は 凸 壁 面 と ψ=1.0,上 流 付 近 で は 凹 壁 面 と ψ=0.o の 囲 む 領 域 が 見 られ るが,こ の 領 域 で は 流 れ が は く離 して い る こ と を 示 して い る.
Eθ 数 が500,1000と 高 く な る に つ れ て,こ の は く離 領 域 の 開 始 点 が 上 流 側 に 移 行 し,は く離 領 域 が さ ら に 大 き くな って い る.
うず 度 に つ い て は,Re数 の 変 化 に よ る差 異 は 少 な い こ とが わ か る.
ま た,流 れ の 可 視 化 に お い て は,凸 壁 面 に近 い 流 脈 は,Re数 が 低 い300の 場 合 に は,デ ィ フ ユ ー ザ 出 口 ま で 比 較 的 凸 壁 面 に 沿 った 流 れ を 示 す の に 対 して, Re=1000の 場 合 の 流 脈 は,凸 壁 面 か ら離 れ て は く離 の 領 域 が 大 き くな っ て い
一116一
る.
しか し,い ず れ のRe数 に お い て も は く 離 点 は ほ ぼb/B,=
0.15付 近 で あ り,Re数 の 変 化 に よ る 差 異 は ほ と ん ど 見 ら れ な い.
ま た,す で に 述 べ た よ う に,風 洞 実 験 の 結 果 で は,こ の は く離 領 域 の 開 始 点 は,凸 壁 面 側 の 圧 力 分 布 か ら判 断 して1/L=0.4付 近 で あ り,可 視 化 と比 べ て か な り下 流 に な って い る.
これ は,計 算 や 風 洞 実 験 で は 圧 力 項 が 加 味 され て お り,入 口 か ら
出 口 に 向 か って 圧 力 勾 配 が 変 化 す る の に 対 して,本 実 験 の 流 れ の 可 視 化 装 置 に お い て は,自 由 表 面 を も っ た 開 水 路 の た め に,凹,凸 い ず れ の 壁 面 に お い て も圧 力 勾 配 は な く,一 定 の 大 気 圧 が 作 用 し,そ の 結 果,粘 性 に よ る は く離 の み が 観 察 さ れ て,凸 壁 面 で の は く離 領 域 が 少 な くな っ た もの と考 え られ
る.
(a)流 れ 関 数
(b)う ず 度
一117一
ψ=1.0 ψ 富1.o ψ=0.9 ψ=o.a ψ;o.7 ψ嵩0.6 ψ富0.5‑一一, ψ=0.4
配配 訂 葡
ψ=0.0
流れ関数 流れ関数
(a)(a)
うず度 うず度
(b)(b)
可視化 可視化
(c)θ 1000
b/B, o, 6,11
図500
匹
,一 〇
,(し/く
B,
わ6,10
図
118
(2)案 内羽根 のそ う入の有無お よびそう入位置の影響 について
図6.12(a),(b),(c)お よ び 図6.13(a),(b),(c)は,風 洞 実 験 に お い て,比 較 的 デ ィ フ ユ ー ザ 効 率 ηが 良 好 な 結 果 を 示 し た 案 内 羽 根 の そ う 入 位 置,す な わ ち, 案 内 羽 根 を 凸 壁 面 に 近 いb/B、=0.1875の 位 置 に そ う 入 し た と き の 結 果 を 示 し た も の で,Re数 は そ れ ぞ れ500と1000で あ る.
流 れ 関 数 に お い て,凸 壁 面 と ψ=1.0の 線 と で 囲 む 領 域 は 見 ら れ ず,こ れ よ り 案 内 羽 根 を 凸 壁 面 近 く に そ う 入 す る こ と に よ り 凸 壁 面 で の は く 離 が 抑 え られ る こ と が わ か る.ま た,凹 壁 面 と ψ=0.0の 線 と で 囲 む 領 域 もRe数 が1000の 場
合 に わ ず か に 見 られ る 程 度 で ほ とん ど認 あ られ な い.
た だ,ψ=0.9の 等 値 線 を 見 る と, Re数 が 高 い も の は ど 案 内 羽 根 の 背 面 か ら流 れ が 離 れ る傾 向 が 大 き く, 案 内 羽 根 背 面 の 流 れ が は く離 状 態 に あ る こ と が わ か る.
しか し,図6.10に 示 した 案 内 羽 根 な しの 凸 壁 面 に生 じる は く離 領 域
:ごNo20400
二 ご ん1ノ ーo,875
べ 藻
一拶 駄↓
(c)可 視 化 図6.12b/B且=0.1875,Re=500
一119一
(a)流 れ 関 数(b)う ず 度 図6.13b/B=0.1875,Re=1000
に 比 べ る と か な り小 さ い.
こ の こ と は,風 洞 実 験 に お け る圧 力 分 布 か ら も明 らか で,凸 壁 面 側 の 1/L=0.2付 近 か ら出 口 ま で 圧 力 の 上 昇 が 良 好 と な って い る.
図(c)に お い て,凸 壁 面 近 くの 流 脈 を 見 る と,は く離 は 案 内 羽 根 に よ って 抑 え られ,凸 壁 面 に沿 う流 れ が 見 られ る.そ の た あ,は く離 点 も案 内 羽 根 な しの もの よ り もデ ィ フ ユ ー ザ の 下 流 側 〃L=0.25〜0.30付 近
』2Nヅ3ξ ・
‐=°
〆
A＼ ζ:寿
騰
(c)可 視 化
85
̀'
図6.13b/B,=0.1875,Re=1000
に 移 行 し,Re数 が 高 く な っ て も ほ と ん ど そ の 差 異 は 見 ら れ な い.
し か し,案 内 羽 根 背 面 に は 数 値 計 算 と 同 様 に は く離 領 域 が 見 ら れ る.
図6.14(a),(b),(c)お よ び 図6.15(a),(b),(c)は,Re数 が そ れ ぞ れ500お よ び1000の 場 合 に つ い て,案 内 羽 根 をb/Bl=0.25の 位 置 に そ う 入 し た と き の 結 果 を 示 し た も の で あ る.
流 れ 関 数,う ず 度 共 にb/.B,=0.1875の も の と ほ ぼ 同 様 の 傾 向 を 示 し て い
一120一
ζ 昌一1。6 1.6
ζ
＼ ζ=0.0 ζ=1.6 ζ胃3.2 ζ 冨一3.2 ζ84.8
ζ 麿3.2 ζ 冒1.6 ζ=0.0 ζ 罵一1.6 ζ 胃一3.2 {e‑4.4 {=‑6.4 ζ 冨一8.0
ζ=6.4 ＼
熟
ζロ1.6 ζ罵0.0 ζ 窟一1.6 ζ 圃一3.2 ζ 臨一4.8
2
3=8・ζ44
ζ60
ζ8
ζ6
1
罵ζ
ウ=0.5 ψ 旨0.4ψ=1.0
ψ=0.3ψ 冨0.9
ψ 盈0・2ψ 冒0●8
ψ 冨0・1ψ 富0.7
ψ=°'°
、 ψ冨゜‑6＼
1¥¥¥¥¥
、、、、、 見、
n・ 、、 、L
巳亀、馳 且、駄
、、
1'
うず度 流れ関数
(b)(a)
500
=0 ,25, F
b/B
図6.14
可視化 可視化
(c)1000 25, θ=
● 0
b/B 図6.15
イ2
(c)
2
⊃=ζ8
4
ζ6
こ70︒度ζ恥ず
↑・つ
流れ関数
(b) (a)1000 25, F
●
0
b/B, 図6.15
121
る.し か し,b/B,=0.1875のRe=1000の 場 合,デ ィ フ ユ ー ザ 入 口付 近 の 凹 壁 面 に お い て 見 られ た ψ=0.0の 線 と 凹 壁 面 で 囲 ま れ た 領 域 は,こ の そ う入 位 置
に お い て は 認 あ られ な い.
凸 壁 面 側 壁 面 近 くに 案 内 羽 根 を そ う入 した と きの 流 脈 は 出 口 ま で 凸 壁 面 側 壁 面 に 沿 った 流 れ と な り,は く離 領 域 が 小 さ く,は く離 点 は1/、L=0.3〜0.35付 近 と な り,こ の 場 合 もRe数 の 変 化 に よ る差 異 は ほ とん ど 見 られ な い.
し た が っ て,b/B1=0.25の 場 合 も デ ィ フ ユ ー ザ 効 率 は 良 好 で あ る と予 測 す る こ とが で き る.
しか し,案 内 羽 根 背 面 に 生 じる は く離 領 域 は 数 値 計 算,可 視 化 の 流 れ と も に見 られ,Re数 の 大 き い1000の 方 が 大 き い こ とが わ か る.
一122一
図(b)の うず 度 に お い て は,凹,凸 両 壁 面 お よ び 案 内 羽 根 の 腹,背 両 面 に うず 度 の 大 き い 領 域 が 見 ら れ,こ の 領 域 は」Re数の 増 加 に つ れ て 下 流 方 向 に 大 き く な って い る.
図(c)の 流 脈 に お い て,凸 壁 面 の は く離 点 は1/、L=0.2付 近 と な って お り,Re 数 が 大 き い場 合 に お い て も ほ とん ど 差 異 は見 られ な い.し か し,案 内 羽 根 背 面 か
ら出 口 に 向 か う流 れ は 案 内 羽 根 か らい くぶ ん 離 れ て い る こ と が わ か る.
これ らの 数 値 計 算 お よ び 可 視 化 実 験 の 結 果 か ら,案 内 羽 根 の そ う 入 位 置 の 変 化 に よ る流 れ の 挙 動 が 明 らか に な り,こ れ らが,風 洞 実 験 に よ っ て 得 られ た 結 果 と 相 対 的 に は 同 じ傾 向 を 示 す こ とか ら,デ ィ フ ユ ー ザ 効 率 の 良 否 を 予 測 す る 上 で 有 効 で あ る とい え る.
(3)デ ィフ ユ ー ザ の 対 数 ら線 角 βの 変 化 に よ る 影 響 に つ い て
図6.17〜 図6.20は,そ れ ぞ れ 対 数 ら線 角 β を 変 え た も の に つ い て,案 内 羽 根 を そ う入 しな い と き の 数 値 計 算 で 得 られ た 流 線 を 示 した も の で,Re=500の 一 定 と して い る.な お,図6.21は,図6.20に 対 応 す る β=30° の と き の 流 れ の 可 視 化 に よ る結 果 を 示 した も の で あ る.
図6.17〜 図6.20の 数 値 計 算 に よ る流 線 に お い て,流 れ 関 数 φ=1.0の 線 と 凸 壁 面 と で 囲 ま れ た 領 域 は流 れ が は く離 を 起 こ して い る と考 え られ る領 域 で あ り,
流 れ 関 数 図6.17β=15°,Re=500
一123一