複素数の乗法計算と合成の方法

最後に合成方法を示す。

G(s) = K

s(1 +sT) = K

s × 1

1 +sT =G₁(s)G₂(s) (6.9) さてこの合成関数の全体の挙動を考える。

G(jω) = K

jω(1 +jωT) (6.10) 複素数の乗数計算において

|G(jω)| = |G₁(jω)| × |G₂(jω)| (6.11)

̸ G(jω) = ^̸ G₁(jω) +^̸ G₂(jω) (6.12) の関係を使う。

ωが小さいと1 +jωT →1となり，伝達関数は G(jω →0)≈ K

jω (6.13)

と近似される。ゲインと位相は，

|G(jω →0)| ≈ K

|ω| =∞ (6.14)

̸ G(jω→0)≈ −90 + 0 =−90deg (6.15)

より，ゲインと位相が次のようになり，

|G(jω → ∞)| ≈ K

|ω²|T = 0 (6.17)

̸ G(jω → ∞)| ≈ −90 + (−90) =−180deg (6.18) ω→ ∞で2重積分（∞で−180degに漸近）に近似できる。

よって，ω → ∞の位相角は伝達関数の次数の差となる。

G(s) = K

s(1 +sT) (6.19)

では，次数差2次−90×n(n=2)で−180となる。

以上より，0≤ω ≤ ∞の概要がわかったので，合成関数が描画できる。

Im

Re 0

図 6.8: 合成

実験でデータをとるとベクトル線図が得られるが，実際はそれらを近 似することで制御対象の数式を得ることができる。

代表的なベクトル線図を図6.9１に示す。また，この章ではベクトル線 図の記法を示したが，次章ではこれらの結果を用いた，ナイキストの安 定判別法を示す。

図 6.9: 代表的ベクトル線図(1)

第 7 回 ナイキストの安定判別

周波数ごとに周波数応答のゲイン・位相が決まり，周波数ごとにそれ をつなげることである関数の分析が可能となる。第6章では，ゲイン・位 相を記述する手法としてベクトル軌跡があり，伝達関数が与えられる場 合は周波数毎にプロットできることを示した。

制御系設計では閉ループは代表的で非常に有効な手法であり，安定に するには試行錯誤で調整しなければならなかった。そこで，ベクトル軌 跡を安定性の尺度に利用したナイキストの安定理論が1932年(昭和7年) に提案された。本章では，フィードバック制御系の安定性を判定できるナ イキストの安定判別法を示す。また，ナイキストの安定判別は系が安定 かどうかの判定だけではなく安定の度合いを示すため有用である。

7.1 _{開ループ伝達関数}

伝達関数のゲイン・位相を一点に表現できるベクトル線図の書き方を 前章にて学んだ。このベクトル線図を使って，系の安定性を判定する方 法を考える。

いま，図7.1に閉ループ系の伝達関数を示す。

Y(s) = G₁(s)G₂(s)

1 +G1(s)G2(s)R(s) + G₂(s)

1 +G1(s)G2(s)D(s) (7.1)

G

(s)

r + y

- ^G

^(s)

d + +

図 7.1: ブロック図

図7.1において，G1(s)G₂(s)はループを一巡した伝達関数の積で一巡 伝達関数あるいは開ループ伝達関数と呼ぶ。丁度，フィードバックルー

プを「カット」すると一巡で増える（または減る）値を示す。フィード バックで「負帰還」すると一定値に落ち着く（一巡で一未満に信号が減 る）と設計したフィードバック系が安定になる。

そこで，信号路を切った開ループG₁(s)G₂(s)を評価すれば，構成され るフィードバック系が安定かどうか判定できるので，その考え方を利用 したナイキストの方法を紹介する。