それぞれの要素のゲイン・位相を折れ線で近似し，最後に加算する。計 算のポイントは，定常状態での位相をチェックして図が正しいか検算でき る。この例題では，定常状態で分子１次で90deg，分母２次で−180deg より定常状態で位相は−90degとなる。また，ゲインは定常で次数の差
−20[dB/dec]となる。
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図 9.10: ベクトル線図
[1]ゲイン余裕：位相が−180[deg]の時，ゲインが1になるまでのゲイン [2]位相余裕：ゲイン １ の時，位相が−180[deg]となるまでの位相の余裕 が計測できる。
図9.11に安定の例，不安定の例を示す。図の場合，位相が−180[deg]の
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0dB
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図 9.11: ボード線図での安定性
時ゲインが1未満（0[dB]未満：矢印上向き）でゲイン1（0[dB]）の時位
相が−180[deg]未満（遅れていない：矢印上向き）の場合安定である。逆
G(s)の安定性は，位相とゲインで記述でき，
[1]−180[deg]の時ゲインが1
[2]ゲイン１（0[dB]）の時位相が−180[deg]未満 であれば，系は安定と言えた。
簡単に解説すると，「−180[deg]の時ゲインが1以上」であると，フィー ドバックで信号が増幅されどんどん信号が大きくなる。あるいは，「ゲイ ン1（0[dB]）の時に位相が−180[deg]以上」ずれると，ループを一巡した 際に，その偏差r−yは明らかに360度で増幅され，制御系は発散するこ とがわかる。これらの安定度として，先に示したゲイン余裕，位相余裕 で数値化できる。
一般に対象とする系は，「データがとれる」のを仮定してるので「系は 安定である」と考えてよい。さらに，制御により振動を小さくしたり応 答を早くしたりするのが実用的な設計であろう。ここで扱う制御系は開 ループ（あるいは一巡伝達関数フィードバックループを切ったもの）であ るが，信号が増幅されているかあるいは遅れているかを分析し，フィー ドバック系をつなぐと安全に制御できることが「事前に」わかるのがこ の手法の特徴である。
第 10 回 制御系設計手法の基礎
この章から，具体的な制御系の設計を行う。制御系の設計において，「振 動がないようにゲインを調整したい」，「偏差なく追従したい」といった 具体的な要望がある。コントローラの設計においてまず明らかにすべき ことは，「どのような構造のコントローラで達成できるか」という点をま ず明らかにして，その後具体的な調整法について議論すればよい。
本章では，特に制御系設計の基礎として，定常状態の性能として制御 系の型を学び，定常偏差が最後にどれくらい残るかを計算する。次に，コ ントローラの極の配置について示し，フィードバックゲインを大きくす ると極がどの様に変化するかを調べる根軌跡法を示す。なお，エバンス による根軌跡法は1952 年に確立されている。
10.1 制御系の仕様
制御系の制御目的は，
[1]目標値に追従する
[2]外乱が入ったときには，その影響を打ち消し制御量を目標値に一致さ せる
ことである。さらに具体的な仕様としては，
[1]定常偏差をなくす [2]即応性を改善する [3]安定度を改善する
といったことが設計の際に注意すべきものであり，例えば図10.1は系の 配置によりどのような仕様が与えられるかを図示したものである。図に 示すように，極配置によりシステムは振動したり，振動しなかったりす
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図 10.1: 極の位置
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図 10.2: 系の設計指標
行き過ぎ量），整定時間，定常偏差などがある。ほかの包括的な数学的 指標として，応答波形を意図的に評価したものとして誤差面積の量の積 分量を評価する方法などもある。ここでは，例として２つの指標を示す。
[1]ISE(積分二乗誤差：integral of squared error) I =
∫ ∞
0
e(t)2 dt
(10.1)
[2]ITSE(積分時間二乗誤差：integral of time multiplied by squared error)
I =
∫ ∞
0
te(t)2 dt
(10.2)
例えば，ISEでは誤差が小さいほどよい評価となり，振動が少ない波形と なる。ITSEでは時間がさらに評価される。ほかにも積分絶対値誤差など もある。