第 3 章 静磁場の法則その３—電流・動く電荷に働く力とポテンシャル 29
3.5 章末演習問題
★【演習問題3-1】x軸方向に電場E（強さ~ E）が、y軸方向に磁束密度B（強さ~ B）が一様に存在する場所の原点に そっと電荷qを置いた。この電荷はどのような運動をするかを考えたい。
(1) x, y, z方向の速度成分をそれぞれvx, vy, vzとして、運動方程式をたてよ。
(2) 変数としてvxしか含まない式を作ってみよ（ヒント：d2vx
dt2 がどうなるかをまず考える）。この式の解はど のようなものか？
(3) 同様に、変数としてvzしか含まない式を作って、解を求めよ（ヒント：vz+（ある定数）を新しい変数に置 き直すと解が求めやすくなる）。
(4) 全体として、どのような運動になるか？
20ところでこの式ではベクトルポテンシャルが−z方向を向いていることを不思議に思う人がいるかもしれないが、このマイナス符号がついている
「遠方で減少する」という性質を満たしていることに注意。実は計算の途中で正の定数を（定数なので）ポテンシャルに加えても物理的結果には意味 がないということで捨てている。そのために負の値を取る。
★【演習問題3-2】質量m、電荷qを持つ粒子が、F~ =−mω2r~erで表現される復元力を受けて原点に束縛されている
（rは原点からの距離である）。直交座標系で表現すれば、
F~ =−mω2(x~ex+y~ey+z~ez) (3.38)
であり、運動方程式は
md2x
dt2 =−mω2x, md2y
dt2 =−mω2y, md2z
dt2 =−mω2z (3.39)
であるから、各々の方向に角振動数ωの単振動をする。
ここでz軸方向に磁束密度Bの磁場をかける（B~ =B~ez）。するとq~v×B~ の力が加わることになる。
(1) この時の運動方程式を立ててみよ。
(2) z方向の運動方程式は磁場が無い時と同じなので、x, y方向について考えよう。X =x+ iyという複素変数を 使うとx, y方向の二つの（実数）方程式を、一つの複素数方程式にまとめることができる。まとめてみよう。
(3) この方程式を解きたい。X =eiΩtと解の形を仮定して代入し、Ωを定めよ（２種類の解が出る）。
(4) 解として出る二つの運動はどのような運動か、図解せよ。
★【演習問題3-3】z方向を向いた一様磁場（磁束密度B）がある。この磁場に平行な方向にvk、磁場と垂直な方向 にはv⊥という速さをもって、質量m、正電荷qを持った粒子が運動し始めた。もし磁場がずっと一定なら、この粒子は z軸方向にvkの速度で運動しつつ、xy面内で速さv⊥の等速円運動をする（螺旋運動）。
磁場が一定の時
電流
（少しだけ 上向き成分 も持つ）
磁場
力
横から見た図 上から見た図
磁場
（図には書いて いないが、
上向き成分 もたくさんある）
半径ｒの円
(1) 磁束密度がzに依存して少しずつ強くなっていく場合を考える。磁束密度のz成分Bzが、ある場所でB0で あり、そこからz方向に微小距離∆z進んだ点ではB0+ ∆Bだったとしよう。磁力線がつながる(divB~ = 0 になる)ためには、図の円筒に垂直な方向の磁束密度成分B⊥はどれだけでなくてはいけないか？
(2) 磁場が円筒面に垂直な成分を持つため、z方向にも力が働く。∆z進む間に、vkはどう変わるか？
(3) B⊥とvkがあるおかげで、xy面内に働く力もある。この力により、z方向に∆z進む間にv⊥はどう変わるか？
(4) ∆zは微小だとして、この時運動エネルギー 1
2m(
(vk)2+ (v⊥)2)
が変化しないことを示せ（磁場は仕事をし ないのだから当然の結果である）。
(5) このまま磁場がz方向に進むにつれて大きくなっていくとすると、この荷電粒子はどんな運動をすることに なるか、考察せよ。
★【演習問題3-4】
一様な磁場B~ 中にある磁気双極子モーメント~µの持つ位置エネルギーは−~µ·B~ である。これを計算で確かめたい。
磁気モーメントは以下の図に示すような二つの定義方法があった。
N
S +m
-m
磁極ｍと磁極-mが、
だけ離れて存在している。
磁気双極子モーメントは、
電流Iが、
という面積を囲むように 流れている
磁気双極子モーメントは、
I
ここでS~は、その絶対値が今考えている面積で、向きは面積の法線（電流の向きにネジを回した時に進む方を向く）
のベクトルである。
N
S +m
-m
外部磁場Ｂ
z
x
y
以下では磁場がz方向を向いているとし、磁気モーメントはz軸に 対して角度θだけ傾いているとする。
第１の考え方だと、磁位Vm=−1 µ0
Bzと考えて、二つの磁極の持 つ位置エネルギーがmVm(z),−mVm(z+Lcosθ)で与えられるとすれ ば計算できる。
第２の考えだと、ベクトルポテンシャルA~ = (0, Bx,0)が存在して いると考えて、その中で電流の持つ位置エネルギー−I~·A（これは単~ 位長さあたり）を足していけばよい。電流回路は一辺aの正方形とし よう。
この二つの方法で磁気モーメントの持つエネルギーを計算し、一致することを示せ。