第 1 章 多変数関数の積分 ( 重積分 ) 12
A.3 原始関数の計算
原始関数の計算をかけ足で復習する。積分定数Cは省略する。
覚えておくべき原始関数
f(x)
∫
f(x)dx
xα (α̸=−1) xα+1
α+ 1 1
x logx
ex ex
sinx −cosx
cosx sinx
sec2x= 1/cos2x tanx cosec2x= 1/sin2x −cotx
1
x2+a2 (a >0) 1
atan−1 x a
√ 1
a2−x2 (a >0) sin−1 x a
√ 1
x2+k (k ∈R) logx+√
x2+k
√a2−x2 (a >0) 1 2
( x√
a2−x2+a2sin−1x a
)
√x2+k (k∈R) 1 2
(x√
x2+k+klogx+√
x2+k) 余談 A.3.1 数式処理系の Mathematica は、1/√
x2+k の原始関数を場合によっては逆双曲 線関数を用いて表す5。実際a >0 に対して
∫ dx
√x2+a2 = sinh−1 (x
a )
(x∈R),
∫ dx
√x2−a2 = cosh−1 (x
a )
(x > a) が成り立つ6。これを示すには x=asinhu のような置換積分をするのが簡単である。
∫ dx
√a2−x2 = sin−1 (x
a )
(x∈(−a, a)) という公式との類似性を大切にということであろう。
これら公式以外に、まず積分の線形性と呼ばれる性質
∫
(f(x) +g(x))dx=
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx,
∫
kf(x)dx=k
∫
f(x)dx は基本的である。
5具体的には、k >0の場合はArcSinh x
√k と答え、k <0の場合はlog( x+√
k+x2)
と答える。なるほど…
6なお、1/√
x2−a2 の原始関数を、 x < −a の場合も cosh−1 で書きたければ、
∫ dx
√x2−a2 = sign x·
− |x| x √
置換積分
置換積分の公式（積分の変数変換）
∫
f(u)du=
∫
f(φ(x))φ′(x)dx
は応用範囲が広い．普通は与えられた被積分関数が右辺のf(φ(x))φ′(x)の形になっているこ とを発見する必要があり、ある程度の慣れが必要である。
例えばf(x)の原始関数の1つをF(x)とするとき、
∫
f(ax+b)dx= 1
aF(ax+b).
特に対数積分とも呼ばれる公式
∫ f′(x)
f(x) dx= log|f(x)| も利用頻度が高い。例えば
∫
tanx dx=−log|cosx|,
∫
cotx dx= log|sinx| なども該当する。
部分積分
部分積分の公式 ∫
f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)−
∫
f(x)g′(x)dx は多くの非自明な結果を得るのに役立つ。
例 A.3.1
∫
xe2xdx =
∫ x ·
(e2x 2
)
dx = xe2x 2 −
∫
(x)′ · e2x
2 dx = xe2x 2 − 1
2
∫
e2xdx = xe2x
2 − e2x
4 . nを任意の自然数とするとき，
∫
xne2xdxは同様の部分積分をn回実行して積分 が計算できる．
例 A.3.2
∫
logx dx =
∫
(x)′ ·logx dx = xlogx−
∫
x·(logx)′dx = xlogx−
∫ x· 1
xdx = xlogx−x.
例 A.3.3
∫
excosx dx=
∫
(ex)′·cosx dx=excosx−
∫
ex(cosx)′dx=excosx+
∫
exsinx dx= excosx+exsinx−
∫
excosx dx. 移項して2で割り算することにより
∫
excosx dx= ex
2 (cosx+ sinx).
例 A.3.4 kを任意の実数とするとき、
∫ √
x2+k dx=
∫
(x)′·√
x2+k dx
=x√
x2+k−
∫ x
(√ x2+k
)′ dx
=x√
x2+k−
∫ x2
√x2+kdx
=x√
x2+k−
∫ x2+k−k
√x2+k dx
=x√
x2+k−
∫ √
x2+k dx+k
∫ dx
√x2+k. 最後の辺の第2項を移項して2で割ることで
∫ √
x2+k dx= 1 2
( x√
x2+k+k
∫ dx
√x2 +k )
= 1 2
( x√
x2+k+klogx+√
x2+k) .
A.3.1 有理関数
有理式 (多項式/多項式の形の式) で与えられる有理関数は、例えば部分分数分解を利用す ることで原始関数が (原理的には)必ず求められる。ここでは簡単な例をあげるにとどめる。
なお、R(x, y) を x, y の有理式とするとき、
∫
R(cosθ,sinθ)dθ,
∫ R
( x,√
xの2次式) dx 等は、いずれも有理関数の積分に帰着できるので、初等関数の範囲で積分が求まる。
例 A.3.5
I =
∫ dx x2−1. 部分分数への分解は
1
x2−1 = 1
(x−1)(x+ 1) = 1 2
( 1
x−1 − 1 x+ 1
)
となる。
I = 1 2
∫ ( 1
x−1− 1 x+ 1
)
dx= 1
2(log|x−1| −log|x+ 1|)
= 1 2log
x−1 x+ 1
.
例 A.3.6
I =
∫ x4
x3−3x+ 2 dx.
分子を分母で割って，
− −
が得られるから，
x4
x3−3x+ 2 = x(x3−3x+ 2) + 3x2 −2x
x3−3x+ 2 =x+ 3x2−2x x3−3x+ 2. ゆえに
I = x2
2 +J, J :=
∫ 3x2−2x x3−3x+ 2 dx.
分母はx3−3x+ 2 = (x−1)2(x+ 2)と因数分解されるから，
3x2−2x
x3−3x+ 2 = A
x+ 2 + B
(x−1)2 + C x−1 とおける．分母を払って，
3x2−2x=A(x−1)2+B(x+ 2) +C(x−1)(x+ 2).
x= 1を代入して整理するとB = 1
3. x=−2を代入して整理するとA= 16
9 . x2の係数を比較 して3 = A+CとなるのでC = 3−A= 3−16
9 = 11
9 . 以上より 3x2−2x
x3−3x+ 2 = 16
9(x+ 2) + 1
3(x−1)2 + 11 9(x−1). ゆえに
J = 16
9 log|x+ 2| −1 3
1
x−1+ 11
9 log|x−1| となるので
I = x2 2 + 16
9 log|x+ 2| − 1
3(x−1)+ 11
9 log|x−1|.
付 録 B 重積分の応用
ここでは重積分の応用のうちポピュラーな(数学科以外の人にも意味がわかりそうな) もの をいくつか紹介する。講義では時間の関係でカットを余儀なくされるかも知れない…
B.1 面積 , 体積
(すでに説明して、例もいくつか示してあることだが、念のために繰り返すと)Rnの(Jordan 可測) 部分集合 Ωに対して、Ωの n 次元Jordan 測度 µn(Ω) =
∫
Ω
dx とは、n = 2のとき Ω の面積 (area)、n= 3 のときΩ の体積 (volume) であった。
後は単なる計算である。Ω が連立不等式で表される条件で定義されている場合は、比較的 簡単に定理 1.4.8 や命題 1.4.20 を適用できることが多い。
「○○と□□と△△で囲まれた範囲」、「○○で切り取られた」などの表現でΩが指定され ている場合は、簡単な図を描いて、Ω を定義する条件を解読する必要がある(2次元は比較的 簡単だが、3次元は多少の練習が必要かもしれない)。