発散：初期値敏感性

付 録B 発散と収束の観測

表B.1の①と②から計算精度128ビットのときの初期状態x₀が2⁻⁶⁴と2⁻⁶³ による軌道の状態の推移を観察できる．計算精度が128ビットであるから，丸 め誤差は129ビット以下の部分からなり，そして，一回の写像で最大2ビット 上位へのぼる．従って，32回以下の順計算では，丸め誤差が上位64ビット以 上に拡散され，影響を及ぼすことはない．即ち，表B.1の①と②のt= 32まで，

上位64ビットから，丸め誤差の影響を分離した初期値の微小の差による影響を 観察できる．

表B.2①は計算精度が64ビットであるから，t = 1から丸め誤差が生じ，t= 2 から丸め誤差が拡大され，その影響を下位ビットから受ける．それに対し，表 B.1の①は計算精度128ビットであるから，t = 32まで，上位64ビットまで丸 め誤差の影響は及ばない．表B.1の①と表B.2の①のt= 32まで，上位64ビッ トから計算精度64ビットのときの丸め誤差による影響を観察できる．表B.1の

②と表B.2の②からも同様な観察ができる．

そして，表B.2の①と②は計算精度64ビットのときの初期値の微小な差と丸 め誤差による複合した影響を観察できる．

整数ロジスティック写像を計算するとき，状態（値）を決める度に初期値敏 感性の影響受けていることがわかる．そして，異なる計算精度にその影響も異 なる

B.2.3 初期値敏感性と有限計算精度のカオス軌道

カオスには初期値敏感性を有するため，初期値の微小な違いでも，異なるカ オス軌道が得られる．

有限計算精度で計算して得られたカオス軌道は，計算する度に生じた丸め誤 差が，その後の繰り返しの計算により拡散され，元の軌道から離れ，別の軌道 になることは表B.1と表B.2から観察できる．そして，この写像するときのXt

の値に依存する（常に変化する）丸め誤差の影響で，決定論的なカオスを非決定 論的なものにした[1]．即ち，同じ初期値を同じ計算精度で計算するときに限っ て，同じ軌道が得られ，計算しないで，その軌道への予測はできない．

有限計算精度で計算されるカオス軌道に対し，2つの初期値からの軌道の関 係を観測するとき，観察されたその軌道の一致あるいは不一致は，ある特定の 観測精度においての結果である．

B.2. 発散：初期値敏感性 表B.1①と表B.2①のカオス軌道を比較するとき，観測精度を65ビットにす ると，t= 1で異なる軌道となるが，観測精度を小さくすると，軌道が一致する tが大きくなる．同様に，表B.2①と②のカオス軌道からある観測精度（<64）

において，t < 33で１つのカオス軌道からもう1つのカオス軌道の状態（値）

を得る（予測する）ことができる．しかし，このような微小な初期値の差から 生成された2つのカオス軌道の間の一致するビット数はt= 32で最上位ビット まで減少され，t = 33で初期値の微小の差が初期値敏感性により，最上位ビッ トまで発散された．即ち，t= 33で完全に（観測精度によらない）異なった軌 道になった．

このような微小な初期状態の差から生成された2つのカオス軌道がは初期値 敏感性により発散され，最上位ビットまで異なるとなったtは初期状態X₀に よって異なる．表B.2③と④のカオス軌道から，最上位ビットまで異なるとなっ たtは61であることを観測される．

付 録B 発散と収束の観測

表 B.1: 丸め誤差を分離した初期値敏感性の観測．整数ロジスティック写像を整 数を用いた固定小数点演算128ビットで初期値X₀から計算し，t = 0 ∼ 63の X_tを示す．X_tは16進数32桁で表示．

B.2. 発散：初期値敏感性

表 B.2: 異なる初期状態(値)による初期値敏感性による発散の強さ．整数ロジ スティック写像を整数を用いた固定小数点演算64ビットで初期値X₀から計算 し，t= 0 ∼63のX_tを示す．X_tは16進数16桁で表示．

付 録B 発散と収束の観測