無質量粒子のツイスター量子化

ここでは，ツイスター変数で表現された作用積分(3.5.4)に基づく正準形式を展 開し，その後，無質量粒子の正準量子化を行う．

正準形式

作用積分(3.5.4)から，ツイスター変数で表現されたヘリシティーkを持つ無質

量粒子のラグランジアンは L= i

2

,Z¯AZ˙^A−Z^AZ˙¯A

-+e"Z¯AZ^A−2k#

. (3.7.2)

と与えられる．この節では，ラグランジアン(3.7.2)に基づく正準形式を展開する．

ラグランジアン(3.7.2)における一般化座標は(Z^A,Z¯A, e)であり，これらに対応 する一般化速度は( ˙Z^A,Z˙¯A,e)˙ である．このとき，ラグランジアン(3.7.2)から導か

れる正準運動量は次式となる:

PA:= ∂L

∂Z˙^A = i

2Z¯A, (3.7.3a)

P¯^A:= ∂L

∂Z˙¯A

=−i

2Z^A, (3.7.3b)

P^(e) := ∂L

∂e˙ = 0, (3.7.3c)

式(3.7.3)と式(3.7.2)を用いると，正準ハミルトニアンH_Cは HC := ˙Z^APA+ ˙¯ZAP¯^A+ ˙eP^(e)−L=−e"Z¯AZ^A−2k#

(3.7.4) と与えられる．いま，正準座標(Z^A,Z¯A, e)とそれに対応する正準運動量(PA,P¯^A, P^(e)) を用いて，ポアソン括弧を次のように定義する:

{A, B}:=

&

∂A

∂Z^A

∂B

∂PA − ∂A

∂PA

∂B

∂Z^A '

+

&

∂A

∂Z¯A

∂B

∂P¯^A − ∂A

∂P¯^A

∂B

∂Z¯A

'

+

&

∂A

∂e

∂B

∂P^(e) − ∂A

∂P^(e)

∂B

∂e '

. (3.7.5)

式(3.7.5)から，正準座標と正準運動量の間のポアソン括弧は次のようになる:

)Z^A, PB

+=δ^A_B, )Z¯A,P¯^B+

=δ_A^B, (3.7.6a)

)e, P^(e)+

= 1. (3.7.6b)

正準座標と正準運動量の間のその他のポアソン括弧は0になる．

式(3.7.3)から，第一次拘束条件は次のようになることがわかる:

φA :=PA− i

2Z¯A≈0, (3.7.7a)

φ¯^A := ¯P^A+ i

2Z^A ≈0, (3.7.7b)

φ^(e) :=P^(e)≈0. (3.7.7c)

ここで，≈は弱い等号を表している．これ以降，φA,φ¯^A,φ^(e) を一次の拘束量と呼 ぶ．ここからDiracによる特異系の正準形式を展開する方法 [54–56]に従って，ラ グランジアン(3.7.2)に基づく正準形式を展開していく．そのためにまず式(3.7.6) を用いて一次の拘束量の間のポアソン括弧を計算すると，

)φA,φ¯^B+

=−iδ^B_A (3.7.8)

が得られる．一次の拘束量の間のその他のポアソン括弧は0となる．また，一次 の拘束量と正準ハミルトニアン(3.7.4)の間のポアソン括弧は次のようになる:

{φ_A, H_C}=eZ¯_A, (3.7.9a) )φ¯^A, HC

+ =eZ^A, (3.7.9b)

)φ^(e), HC

+ = ¯ZAZ^A−2k . (3.7.9c) いま，正準ハミルトニアン(3.7.4)と一次の拘束量(3.7.7)から全ハミルトニアンを HT :=HC+u^AφA+ ¯uAφ¯^A+u(e)φ^(e) (3.7.10) と定義する．ここで，u^A,u¯A, u(e) はそれぞれの拘束条件に対応するラグランジュ 未定係数であり，一般にパラメーターτ に依存する．正準変数の関数Fに対する 時間発展の方程式は，全ハミルトニアン(3.7.10)を用いて，

F˙ ={F, HT} (3.7.11)

と与えられる．式(3.7.11)とポアソン括弧の結果(3.7.8)と(3.7.9)を用いると，一 次の拘束量に対する時間発展は次のように求まる:

φ˙_A={φ_A, H_T}≈eZ¯_A−i¯u_A, (3.7.12a) φ˙¯^A=)φ¯^A, HT

+ ≈eZ^A+iu^A, (3.7.12b) φ˙^(e) =)

φ^(e), HT

+ ≈Z¯AZ^A−2k . (3.7.12c)

さらに式(3.7.12)は，一次の拘束量が時間発展で変化しないという要請(整合性の

条件)から，次のように書かれる:

φ˙A =eZ¯A−i¯uA≈0, (3.7.13a) φ˙¯^A =eZ^A+iu^A≈0, (3.7.13b) φ˙^(e) = ¯ZAZ^A−2k ≈0. (3.7.13c) 式(3.7.13)に対しては次の2つの場合が考えられる: (1)ラグランジュ未定係数uを 決める場合，(2)ラグランジュ未定係数uを含まず新たな拘束条件を決める場合．

式(3.7.13a)と式(3.7.13b)は(1)の場合になっていて，¯u_Aとu^Aは

¯

u_A =−ieZ¯_A, (3.7.14a)

u^A =ieZ^A (3.7.14b)

と定まる．式(3.7.13c)は(2)の場合になっていて，

Z¯AZ^A−2k= 0 (3.7.15)

が成り立つことがわかる．したがって，最後まで定まらないラグランジュ未定係 数はu(e)である．このことは，式(3.7.13c)が第一類拘束条件であることを示唆し ている．

式(3.7.15)から，第二次拘束条件は

χ^(e) := ¯ZAZ^A−2k≈0 (3.7.16) と与えられる．これ以降，χ^(e)を二次の拘束量と呼ぶ．二次の拘束量χ^(e)と一次の 拘束量の間のポアソン括弧は，次のように得られる:

)χ^(e),φ_A+

= ¯Z_A, (3.7.17a)

)χ^(e),φ¯^A+

=Z^A. (3.7.17b)

二次の拘束量χ^(e)と一次の拘束量の間のその他のポアソン括弧は0となる．また，

二次の拘束量χ^(e)と正準ハミルトニアン(3.7.4)とのポアソン括弧は )χ^(e), HC

+ = 0 (3.7.18)

となる．いま，χ^(e)の時間発展は，式(3.7.11)，式(3.7.17)，式(3.7.18)を用いると，

˙

χ^(e) =)

χ^(e), HT

+ ≈u^AZ¯A+ ¯uAZ^A (3.7.19) と求まる．式(3.7.19)から，式(3.7.14a)と式(3.7.14b)を用いて，ラグランジュ未 定係数u^A,u¯_Aを消去すると，χ˙^(e)は

˙

χ^(e) ≈0 (3.7.20)

となる．この式は，χ˙^(e)が恒等的に0となり式(3.7.19)から新たな拘束条件が現れ ないことを意味している．以上のことから，ラグランジアン(3.7.2)から得られる 拘束条件をすべて導くことができた．

すべての拘束量間のポアソン括弧を計算して，式(3.7.8)と式(3.7.17)が得られ た．しかしながら，これらの結果を基に拘束条件を第一類拘束条件か第二類拘束 条件かに分類することは難しい．そこで，拘束量間のポアソン括弧がより簡単に なるように，次の一次結合を考える [61]:

˜

χ^(e) :=χ^(e)+iZ¯Aφ¯^A−iφAZ^A. (3.7.21)

このとき，新しい拘束条件の全体"

φ_A,φ¯^A,φ^(e),χ˜^(e)#

≈ 0 は元の拘束条件の全体

"

φA,φ¯^A,φ^(e),χ^(e)#

≈ 0 に等しいので，式(3.7.21)はχ^(e) ≈ 0に代わる拘束条件と して採用される．新しい拘束量の間のポアソン括弧は，

)φA,φ¯^B+

=−iδ_A^B, (3.7.22)

を除いてすべて0になることを示すことができる．こうして，˜χ^(e)を用いて拘束量 間のポアソン括弧を簡単にすることができたので，拘束量間のポアソン括弧を行 列にまとめると次のようになる:











φ_B φ¯^B φ^(e) χ˜^(e) φA 0 −iδ^B_A 0 0 φ¯^A iδ^A_B 0 0 0

φ^(e) 0 0 0 0

˜

χ^(e) 0 0 0 0











. (3.7.23)

この行列から，φ^(e) ≈ 0, χ˜^(e) ≈ 0 は第一類拘束条件に分類され，一方，φA ≈ 0, φ¯^A≈0 は第二類拘束条件に分類される．

ここで，ディラックの方法に従って，第二類拘束条件を処理できるように，ディ ラック括弧を定義する．まず，第二類拘束条件からなる行列Cを行列(3.7.23)の 部分行列として次のように与える:

C =

. 0 −iδ^B_A iδ_B^A 0

/

. (3.7.24)

この行列Cには逆行列C⁻¹が存在して，C⁻¹はCに等しいことがわかる．このこ とより，正準変数の任意関数FとGに対するディラック括弧は次のように定義さ れる:

{F,G}D :={F,G}+i{F,φA})φ¯^A,G+

−i)

F,φ¯^A+

{φA,G} . (3.7.25) 第二類拘束条件はすべて，このディラック括弧を用いる限り，強い等号(=)で0に おくことができる: φ_A= 0, φ¯^A= 0．この第二類拘束条件から次の式が導かれる:

PA = i

2Z¯A, P¯^A=−i

2Z^A, (3.7.26a)

したがって，PA, P¯^Aは式(3.7.26)によって定まる従属変数で，残りのZ¯A, Z^A, e, P^(e) は独立な正準変数であることがわかる．正準変数Z¯A, Z^A, e, P^(e) の間のディ ラック括弧は，式(3.7.25)と式(3.7.6)を用いると，次のよう求まる:

)Z^A,Z¯_B+

D=−iδ^A_B, (3.7.27a)

)Z^A, Z^B+

D= 0, )Z¯A,Z¯B

+

D= 0, (3.7.27b) )e, P^(e)+

D= 1. (3.7.27c)

正準変数間のその他のディラック括弧は0となる．また，第二類拘束条件はすべて 強い等号(=)で0になるので，式(3.7.21)はχ˜^(e) =χ^(e)に帰着する．したがって，

第一類拘束条件は次のようになる:

φ^(e) ≈0, (3.7.28a)

χ^(e) ≈0. (3.7.28b)

正準量子化

ここでは，ディラック括弧(3.7.27)を基に無質量粒子の正準量子化を実行する．

量子力学に移行するために，関数FとGをそれぞれ対応する演算子FˆとGˆに置 き換えて正準交換関係

[ ˆF,Gˆ] =i{F",G}D (3.7.29) を設定する．ここで，{F",G}Dはディラック括弧{F,G}Dに対応する演算子を表し ている．式(3.7.29)と式(3.7.27)から，次の正準交換関係が定まる:

8Zˆ^A,Zˆ¯B

9=δ_B^A, (3.7.30a)

8Zˆ^A,Zˆ^B9

= 0, 8

Zˆ¯A,Zˆ¯B

9

= 0, (3.7.30b)

8 ˆ e,Pˆ^(e)9

=i . (3.7.30c)

正準変数間のその他の正準交換関係は0である．式(3.7.30a)と式(3.7.30b)の正準 交換関係は，いわゆるツイスター量子化 [41, 42, 45, 46]に一致している．

量子化の手続きにおいて，第一類拘束条件(3.7.28)は，第一類の拘束量を対応す る演算子に置き換えた後，物理的状態|F(を定義する条件式として読み替えるこ

とで処理される:

φˆ^(e)|F(= ˆP^(e)|F(= 0, (3.7.31a) ˆ

χ^(e)|F(=

@1 2

,Zˆ^AZˆ¯A+ ˆ¯ZAZˆ^A

-−2k A

|F(

=,

Zˆ^AZˆ¯A−2k−2

-|F(= 0, (3.7.31b) ここで，χˆ^(e)に関してはワイル順序(Weyl order)がとられていて，その後，交換 関係(3.7.30a)を用いて簡潔な形に書き換えられている．演算子φˆ^(e)とχˆ^(e)は互い に可換である．このため，物理的状態|F(は演算子φˆ^(e)とχˆ^(e)の同時固有状態で あり，さらなる条件式は発生しないことが言える．

いま，ブラベクター)Z, e|を

)Z, e|:=)0|exp,

−Zˆ^AZˆ¯A+iePˆ^(e)

-(3.7.32) と定義する．ただし，)0|は

)0|Zˆ^A=)0|ˆe= 0 (3.7.33) を満たすとする．さて，交換関係(3.7.30)を用いると，次の式が求まる:

)Z, e|Zˆ^A=Z^A)Z, e|, (3.7.34a) )Z, e|ˆe=e)Ze|. (3.7.34b) 式(3.7.34a)は

)Z, e|ωˆ^α =ω^α)Z, e|, (3.7.35a) )Z, e|πˆα˙ =πα˙)Z, e| (3.7.35b) と分けて表すこともできる．また，次の式もすぐに求まる:

)Z, e|Zˆ¯A=− ∂

∂Z^A)Z, e|, (3.7.36a) )Z, e|Pˆ^(e)=−i ∂

∂e)Z, e|. (3.7.36b)

式(3.7.36a)もまた

)Z, e|πˆ¯α =− ∂

∂ω^α)Z, e|, (3.7.37a) )Z, e|ωˆ¯^α˙ =− ∂

∂πα˙)Z, e| (3.7.37b)

と分けて表すことができる．式(3.7.31a)–(3.7.31b)のそれぞれに左から)Z, e|を乗 じ，式(3.7.34)–(3.7.37)を用いると，関数F(Z, e) :=)Z, e|F(に対する連立微分方 程式が次のように得られる:

∂

∂eF = 0, (3.7.38a)

&

−Z^A ∂

∂Z^A −2k−2 '

F = 0. (3.7.38b)

式(3.7.38a)は，関数F がeに依らないことを示している．したがって，関数F は

ツイスター変数Z^Aのみに依存した関数になり，F =F(Z^A)と表せる．このよう なZ^Aの正則関数はツイスター関数と呼ばれている．また，式(3.7.38b)は，ツイ スター関数F(Z^A)がZ^Aについて次数−2k−2の斉次関数であることを示してい る．いま，ツイスター関数F は量子論における波動関数に相当しており，F に1 価性を課すことは自然である．実際にこの条件を課すと，次数−2k−2は整数で なければならないので，ヘリシティーkの値は整数値または半整数値に制限され る．これ以降，次数−2k−2のツイスター関数をF_kと表す．

ペンローズ変換

ここでは，ツイスター関数Fk(Z)のペンローズ変換を行い，一般化されたワイ ル方程式を満たすスピナー場を求める．

まず，p+q階のスピナー場Ψ_{α1...αp; ˙α1...α˙q}を得るために，ツイスター関数F_k(Z) のペンローズ変換

Ψα1...αp; ˙α1...α˙q(x) = 1 (2πi)²

<

Σ

πα˙1· · ·πα˙q

∂

∂ω^α1 · · · ∂

∂ω^αpFk(Z)d²π (3.7.39) を考える．ここで，積分測度d²π:=dπ_˙0∧dπ_˙1 を定義した．式(3.7.39)は，ミンコ フスキー空間M上のp+q階のスピナー場である．今後Ψα1...αp; ˙α1...α˙q をΨと略記 する場合もある．式(3.7.39)は適切な積分路Σに沿って周回積分を行うことを表 していて，その積分はπ_˙0, π_˙1 に関する2重の周回積分である．

さて，適切な積分路Σに沿って，式(3.7.39)における積分を実行する．すると，

この積分は，Fk(Z)がZ^Aについて次数−2k−2の斉次関数であることから，

k = 1

2(q−p) (3.7.40)

のときだけ0にならないことを示すことができる．式(3.7.40)は，ヘリシティーk とスピナー場Ψ の階数p+qの間に成り立つ関係式である．

スピナー場Ψ は一般化されたワイル方程式を満たしていることを示す．いま，

∂

∂x_ββ˙

Fk(Z) = 9^βα9^β˙α˙ ∂ω^γ

∂x^αα˙

∂

∂ω^γFk(Z) =iπ^β˙9^βγ ∂

∂ω^γFk(Z) (3.7.41) と計算できる．式(3.7.41)と式(3.7.39)を用いると，Ψのx_ββ˙に関する微分が次の ように求まる:

∂

∂x_ββ˙

Ψα1...αp; ˙α1...α˙q(x)

= 1

(2πi)²

<

Σ

π_α˙1· · ·π_α˙q ∂

∂ω^α1 · · · ∂

∂ω^αp

∂

∂x_ββ˙

F_k(Z)d²π

= i

(2πi)²

<

Σ

πα˙1π^β˙πα˙2· · ·πα˙q

∂

∂ω^α2 · · · ∂

∂ω^αp9^βγ ∂

∂ω^α1

∂

∂ω^γFk(Z)d²π. (3.7.42) 式(3.7.42)において，添字β˙とα˙1の縮約をとり2成分スピナーの性質πβ˙π^β˙ = 0を 用いると，次の式が導かれる:

∂

∂x_ββ˙

Ψ_{α1...αp; ˙βα˙2...α˙q}(x) = 0. (3.7.43) 同様に，式(3.7.42)において，添字βとα1の縮約をとり

9^βγ ∂

∂ω^β

∂

∂ω^γF_k(Z) = 0 (3.7.44)

が成り立つことを用いると，次の式が得られる:

∂

∂x_ββ˙

Ψβα2...αp; ˙α1...α˙q(x) = 0. (3.7.45)

式(3.7.43)と式(3.7.45)は，スピナー場Ψが一般化されたワイル方程式を満たして

いることを意味している．いま，式(3.7.43)と式(3.7.45)および

∂

∂x^αβ˙

∂

∂x_ββ˙

= 1 2δ_α^β ∂

∂x^γγ˙

∂

∂xγγ˙

(3.7.46) が成り立つことを用いると，クライン・ゴルドン方程式

∂

∂x^ββ˙

∂

∂x_ββ˙

Ψ_{α1...αp; ˙α1...α˙q}(x) = 0 (3.7.47) が得られる．この式は，スピナー場Ψ が無質量場であることを示している．した がって，p+q階の無質量スピナー場Ψをペンローズ変換(3.7.39)として求めるこ とができた．

第 4 章 剛性を持つ有質量粒子の

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