減衰項を持つラグランジアン

この節では，第5.2節での議論を考慮し，第5.3節で導入した力学変数を用いて，

ローレンツ・ディラック方程式を与えるラグランジアンを構成する．その後，実際 にそのラグランジアンからローレンツ・ディラック方程式が導かれることを示す．

力学変数としてx^µ, q^µ_i,λiµ,ξµを採用し，次のラグランジアンを与える:

LD= e^−kl (q²₁q₂²)^1/4

$1 2

&

˙ q²_1⊥

q₁² −q˙_2⊥² q²₂

'

−λ1µ(q^µ₁ −x˙^µ) +λ2µ(q₂^µ−x˙^µ) +ξµ(q₁^µ−q₂^µ)− 3

2eFµν(x)q^µ₁q₂^ν

%

. (5.4.1)

ここで，k := 3m/2e²，q˙_i²_⊥ := ˙qi⊥µq˙^µ_i⊥である．また，Fµν(= −Fνµ)は外部電磁場 を表している．ラグランジアン(5.4.1)には，第5.2節での議論が考慮され，q˙²_i⊥/q_i² が含まれている．式(5.4.1)における固有時lはτの関数として

l(τ) =

! τ τ0

d˜τ

;

˙

xµ(˜τ) ˙x^µ(˜τ) (5.4.2) と表すことができる．この式のx^µ(˜τ)は，後で得られるx^µに関する運動方程式の 解である．したがって，x^µ(˜τ)は，作用積分

SD=

! τ1

τ0

dτLD (5.4.3)

の変分に対して変化するような力学変数ではない．いま，ラグランジアンLDは減 衰因子e^−klを通してパラメーターτにあらわに依存している．固有時lは幾何学 的には粒子が描く世界線の長さを表しているので，lはパラメーターの付け替えの もとで不変である⁴．このことと変換則(5.3.2)，(5.3.3)，(5.3.4)，(5.3.5)，(5.3.7) を用いると，作用積分SDはパラメーターの付け替えのもとで不変であることを示 すことができる．また，ラグランジアンLDはゲージ変換

λ1µ →λ^!_1µ=λ1µ+θµ, λ2µ →λ^!_2µ =λ2µ+θµ, ξµ →ξ_µ^! =ξµ+θµ (5.4.4) のもとで不変であることを示すことができる．ここで，θµ = θµ(τ)は実ゲージ関 数である．さらに，ラグランジアンLDは

L_D(q₁^µ,q˙₁^µ,λ_1µ;q₂^µ,q˙₂^µ,λ_2µ) =−L_D(q₂^µ,q˙₂^µ,λ_2µ;q^µ₁,q˙₁^µ,λ_1µ) (5.4.5) という反対称性を持つ関数である．

ラグランジアンL_Dの各力学変数に関するオイラー・ラグランジュ方程式を導出 するために

K_i := q˙_i²_⊥

q_i² = q²_iq˙_i²−(qiq˙i)²

(q_i²)² (5.4.6)

を定義し，ラグランジアン(5.4.1)を LD= e^−kl

(q₁²q₂²)^1/4

$1

2(K1−K2)

−λ1µ(q^µ₁ −x˙^µ) +λ2µ(q₂^µ−x˙^µ) +ξµ(q₁^µ−q₂^µ)− 3

2eFµν(x)q^µ₁q₂^ν

%

(5.4.7)

4固有時l(τ)は，厳密にはτだけでなくτ0とx^µの関数であり，l(τ,τ0;x^µ)と表すべきである．

したがって，l(τ)のパラメーターの付け替えのもとでの不変性は，正確に書くと，次のようになる:

l(τ^",τ₀^";x^"µ) =l(τ,τ0;x^µ)．

と書き換える．まず，x^µに関するオイラー・ラグランジュ方程式を求める．先に 述べたように，固有時l(τ)の中に含まれているx^µ(˜τ)は変分に対して変化するよ うな力学変数ではないので，l(τ)は変分に対して不変である．このことに注意す ると，x^µに関するオイラー・ラグランジュ方程式は

d dτ

G e^−kl

(q₁²q²₂)^1/4 (λ1µ−λ2µ) H

+ 3e^−kl

2e(q²₁q₂²)^1/4∂µFνρ(x)q₁^νq₂^ρ= 0 (5.4.8) と求まる．式(5.4.8)にはラグランジアンLDが持つゲージ不変性に伴って，ゲー ジ不変な量λ_1µ−λ_2µが含まれている．このため，λ1µとλ_2µは一意的に定まらな い．次に，q₁^µに関するオイラー・ラグランジュ方程式は

e^−kl (q₁²q₂²)^1/4

$1 2

&

d dτ

∂K1

∂q˙₁^µ − ∂K1

∂q^µ₁ '

+λ1µ−ξµ+ 3

2eFµν(x)q₂^ν

%

+ . d

dτ

e^−kl (q²₁q₂²)^1/4

/1 2

∂K1

∂q˙₁^µ + q1µ

2q²₁LD = 0 (5.4.9)

となる．式(5.4.9)を部分ごとに計算すると次の式が得られる:

1 2

∂K₁

∂q˙₁^µ = q˙_1⊥µ q₁² = 1

:q₁² d dτ

q_1µ

:q²₁ , (5.4.10)

d dτ

∂K1

∂q˙₁^µ −∂K1

∂q₁^µ = 2 q²₁

&

¨

q1⊥µ− 2q1q˙1

q²₁ q˙1⊥µ

'

, (5.4.11)

d dτ

1

(q²₁q₂²)^1/4 =− 1 2 (q₁²q²₂)^1/4

&

q1q˙1

q²₁ + q2q˙2

q²₂ '

. (5.4.12)

式(5.4.10)–(5.4.12)を式(5.4.9)に代入すると，式(5.4.9)は次のようになる:

kdl dτ

:1 q₁²

d dτ

q1µ

:q₁² = 3

2eFµν(x)q₂^ν +(q²₁q₂²)^1/4q1µ

2q²₁e^−kl LD

+q¨1⊥µ

q₁² −

&

5q1q˙1

q₁² + q2q˙2

q²₂

'q˙1⊥µ

2q₁² +λ1µ−ξµ. (5.4.13) ここで，q¨1⊥µとq¨2⊥µを

¨

qi⊥µ:= ¨qiµ−qiµ

qiq¨i

q_i² (5.4.14)

と定義した．また，¨q_iµ:=d²q_iµ/dτ², q_iq¨_i :=q_iµq¨^µ_i である(添字iについては和をと らない)．式(5.4.13)を得たのと同様の手順を行うことで，q^µ₂ に関するオイラー・

ラグランジュ方程式は kdl

dτ :1

q₂² d dτ

q_2µ :q₂² = 3

2eF_µν(x)q₁^ν −(q₁²q₂²)^1/4q_2µ 2q₂²e^−kl L_D +q¨2⊥µ

q₂² −

&

q1q˙1

q₁² +5q2q˙2

q₂²

'q˙2⊥µ

2q₂² +λ2µ−ξµ (5.4.15) と求まる．さらに，λ1µ, λ2µ, ξµに関するオイラー・ラグランジュ方程式はそれぞ れ次のようになる:

q₁^µ= ˙x^µ, (5.4.16)

q₂^µ= ˙x^µ, (5.4.17)

q₁^µ=q₂^µ. (5.4.18)

式(5.4.18)は，式(5.4.16)と式(5.4.17)からも求められる．

式(5.4.16)と式(5.4.17)を式(5.4.13)に代入し，

LD(q^µ₁,q˙₁^µ,λ1µ;q^µ₂,q˙₂^µ,λ2µ) = LD( ˙x^µ,x¨^µ,λ1µ; ˙x^µ,x¨^µ,λ2µ) = 0 (5.4.19) が成り立つことを用いると，

kdl dτ

√1

˙ x²

d dτ

˙ x^µ

√x˙² = 3

2eF^µν(x) ˙xν+ ...x^µ_⊥

˙

x² − 3( ˙x¨x)¨x^µ_⊥

( ˙x²)² +λ^µ₁ −ξ^µ (5.4.20) が得られる．同様に，式(5.4.16)と式(5.4.17)を式(5.4.15)に代入し，式(5.4.19) を用いると，

kdl dτ

√1

˙ x²

d dτ

˙ x^µ

√x˙² = 3

2eF^µν(x) ˙xν+ ...x^µ_⊥

˙

x² − 3( ˙x¨x)¨x^µ_⊥

( ˙x²)² +λ^µ₂ −ξ^µ (5.4.21) が求まる．式(5.4.21)と式(5.4.20)を比較すると，

λ^µ₁ =λ^µ₂ (5.4.22)

が導かれる．式(5.4.22)はゲージ変換(5.4.4)に対して共変的である．式(5.4.22)

から，式(5.4.8)は恒等的に満たされることがわかる．なぜなら，式(5.4.16)と式

(5.4.17)を用いると，∂µFνρ(x)q^ν₁q^ρ₂ =∂µFνρ(x) ˙x^νx˙^ρ= 0 が計算できるからである．

いま，式(5.4.22)を考慮して，λ^µ₁ とλ^µ₂ をλ^µと書くと，式(5.4.20)と式(5.4.21)は 次の1つの式に帰着する:

kdl dτ

√1

˙ x²

d dτ

˙ x^µ

√x˙² = 3

2eF^µν(x) ˙xν + ...x^µ_⊥

˙

x² − 3( ˙x¨x)¨x^µ_⊥

( ˙x²)² +Λ^µ. (5.4.23)

ここで，Λ^µ:=λ^µ−ξ^µを定義した．このΛ^µは，明らかに，ゲージ変換(5.4.4)のも とで不変である．式(5.4.23)は，式(5.4.2)の下で述べたx^µについての運動方程式 である．固有時lの中のx^µは式(5.4.23)の解に等しいので，式(5.4.2)のτ微分は

dl(τ) dτ =

;

˙

xµ(τ) ˙x^µ(τ) (5.4.24) と求まる．式(5.4.24)を式(5.4.23)に代入し，k = 3m/2e²を代入すると，

m d dτ

˙ x^µ

√x˙² =eF^µν(x) ˙xν + 2 3e²

&...

x^µ_⊥

˙

x² − 3( ˙x¨x)¨x^µ_⊥ ( ˙x²)²

' + 2

3e²Λ^µ (5.4.25) が得られる．この式は，ローレンツ・ディラック方程式にソース項2e²Λ^µ/3を加 えた式になっている．実際に式(5.4.25)でΛ^µ= 0とおくと，その式は世界線上の 任意のパラメーターτ を用いて書かれたローレンツ・ディラック方程式そのもの であることがわかる(式(5.7.8)参照)．このことより，式(5.4.25)をソース項を持 つローレンツ・ディラック方程式と呼ぶことができる．このようにして，ラグラ ンジアンLDからソース項を持つローレンツ・ディラック方程式が導出された．

いま，固有時ゲージτ = lを採用する．すると，x˙^µ =u^µ,x˙² = 1, x¨˙x = 0 が成 り立つので，式(5.4.25)は

mdu^µ

dl =eF^µν(x)uν + 2

3e²(δ^µν −u^µuν)d²u^ν dl² + 2

3e²Λ^µ (5.4.26) となる．この式は(本来の)ローレンツ・ディラック方程式(5.1.2)にソース項2e²Λ^µ/3 を加えた式である．

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