ペンローズ変換

Z_i^Aの正則関数はツイスター関数と呼ばれている．また，式(4.5.13)と式(4.5.14e) はそれぞれ

πiα˙π_j^α˙ = MJ

√29ij, (4.5.15a)

9^αβ ∂

∂ω^α_i

∂

∂ω_j^βF_J = MJ

√29^ijF_J (4.5.15b)

と等価であることがすぐにわかる．

いま，変数分離法を用いて式(4.5.14d)の一般解を求める．実際にFJ(Z₁^A, Z₂^A) = F_J⁽¹⁾(Z₁^A)F_J⁽²⁾(Z₂^A)とおき，これを式(4.5.14d)に代入すると，式(4.5.14d)は次の2 つの方程式に分けられる:

Z₁^A ∂

∂Z₁^AF_J⁽¹⁾ =−2(s_∗+ 1)F_J⁽¹⁾, (4.5.16a) Z₂^A ∂

∂Z₂^AF_J⁽²⁾ =−2(s_∗+ 1)F_J⁽²⁾. (4.5.16b) ここで，s_∗ は定数であり，F_J⁽ⁱ⁾はZ_i^Aだけに依存したツイスター関数である．式 (4.5.16a)と式(4.5.16b)の解は，次数−2s_∗−2のツイスター関数で与えられる．ま た，ツイスター関数F_J⁽ⁱ⁾は量子論における波動関数に相当しており，F_J⁽ⁱ⁾に1価性 を課すことは自然である．実際にこの条件を課すと，次数−2s_∗−2は整数でなけ ればならないので，s_∗の値は整数値または半整数値に制限される．これ以降，次 数−2s_∗−2のツイスター関数をF_Js⁽¹⁾_∗とF_Js⁽²⁾_∗ と表す．関数F_Js⁽¹⁾_∗とF_Js⁽²⁾_∗を用いる と，式(4.5.14d)の一般解は

FJ(Z) = =

s_∗∈1 2Z

CJs_∗FJs_∗(Z) (4.5.17)

と求まる．ここで，FJs_∗(Z) :=F_Js⁽¹⁾_∗(Z₁^A)F_Js⁽²⁾_∗(Z₂^A)を定義した．また，CJs_∗は複素 定数係数である．

の展開係数として得られる．(ここで，0¯^iαについてはこの節の式(4.6.3)で定義さ れる．) また，M上のスピナー場は，付加的な添字を持つ一般化されたディラッ ク・フィールツ・パウリ方程式を満たすことを示す．

まず，p+q階のスピナー場Φⁱ_α¹₁^...i_...α^p_{p;j1...jq,α˙1...α˙q} を得るために，ツイスター関数 FJ(Z)のペンローズ変換

Φⁱ_α¹₁^...i_...α^p_{p;j1...jq,α˙1...α˙q} = 1 (2πi)⁴

<

Σ

π_j1α˙1· · ·π_jqα˙q ∂

∂ω^α_i1¹ · · · ∂

∂ω_i^α_p^pF_J(Z)d⁴π (4.6.1) を考える．ここで，積分測度d⁴π :=dπ_{1 ˙0}∧dπ_{1 ˙1}∧dπ_{2 ˙0}∧dπ_{2 ˙1} を定義した．今後 Φⁱ_α¹₁^...i_...α^p_{p;j1...jq,α˙1...α˙q} をΦと略記する場合もある．式(4.6.1)は適切な積分路Σに沿っ て周回積分を行うことを表していて，その積分はπ_{1 ˙0},π_{1 ˙1}, π_{2 ˙0}, π_{2 ˙1}に関する4重の 周回積分である．さて，式(4.3.13)に式(4.5.13)を用いると，

ω₁^α =ix^αα˙π1 ˙α+ MJ

√2f gπ¯^1α = ˘ω₁^α+ ¯0^1α, (4.6.2a) ω₂^α =ix^αα˙π_{2 ˙α}+ MJ

√2γfg¯π¯^2α = ˘ω^α₂ + ¯0^2α (4.6.2b) が導かれる．ここで，

˘

ω_i^α:=ix^αα˙πiα˙, 0¯^1α := MJ

√2f g¯π^1α, 0¯^2α := MJ

√2γfg¯π¯^2α (4.6.3) を定義した．式(4.6.2)を用いると，(通常の)ナルツイスターZ˘_i^A:= (˘ω^α_i,π_iα˙)を中 心とするFJ(Z)のテイラー展開は

F_J(Z) =

=∞ l1=0

=∞ l2=0

1

l1!l2!0¯^ip+1αp+1· · ·0¯^ip+lαp+l ∂

∂ω˘_i^α_p+1^p+1 · · · ∂

∂ω˘^α_ip+l^p+lF_J( ˘Z) (4.6.4) と求まる．ここで，l :=l₁+l₂である．また，式(4.6.4)において，添字i_p+1, . . . , i_p+l に含まれている1の数はl1個で，2の数はl2(= l−l1)個であることが仮定されて いる．式(4.6.4)を式(4.6.1)に代入して，

∂

∂ω_i^α₁¹ · · · ∂

∂ω^α_ip^pFJ(Z) = ∂

∂ω˘_i^α₁¹ · · · ∂

∂ω˘^α_ip^pFJ(Z) (4.6.5) が成り立つことを用いると，式(4.6.1)は

Φⁱ_α¹₁^...i_...α^p_{p;j1...jq,α˙1...α˙q} =

=∞ l1=0

=∞ l2=0

1

l1!l2!0¯^ip+1αp+1· · ·0¯^ip+lαp+l

× 1 (2πi)⁴

<

Σ

πj1α˙1· · ·πjqα˙q

∂

∂ω˘^α_i1¹ · · · ∂

∂ω˘_i^α_p+l^p+lFJ( ˘Z)d⁴π (4.6.6)

となる．この展開式は，Φが実際に座標(x^αα˙,0¯^iα)によって張られる空間上のスピ ナー場であることを意味している．したがって，Φは次のような(x^αα˙,0)を中心と するテイラー展開として表すこともできる:

Φⁱ_α¹₁^...i_...α^p_{p;j1...jq,α˙1...α˙q}(x,0)¯

=

=∞ l1=0

=∞ l2=0

1

l1!l2!0¯^ip+1αp+1· · ·0¯^ip+lαp+lΨ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(x) (4.6.7) ここで，展開係数を

Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(x)

:= ∂

∂0¯^ip+1αp+1 · · · ∂

∂0¯^ip+lαp+lΦⁱ_α¹₁^...i_...α^p_{p;j1...jq,α˙1...α˙q}(x,0)¯

**

**

¯ 3^iα=0

(4.6.8) と定義した．この展開係数は，ミンコフスキー空間M上のスピナー場そのもので ある．今後この展開係数もΨと略記する場合がある．式(4.6.7)と式(4.6.6)を比較 し，0¯^iαが任意の複素変数であることを考慮すると，次の式が得られる:

Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(x) = 1 (2πi)⁴

<

Σ

πj1α˙1· · ·πjqα˙q

∂

∂ω˘_i^α₁¹ · · · ∂

∂ω˘_i^α_p+l^p+lFJ( ˘Z)d⁴π. (4.6.9) こうして，p+l+q階のスピナー場ΨをFJ( ˘Z)のペンローズ変換として表すこと ができた．ペンローズ変換(4.6.9)は文献[67]で議論されたペンローズ変換に相当 している．しかしながら，式(4.6.9)のx^µは複素数ではなく実数である．スピナー 場Ψは，点付きと点なしのスピナー添字に加えて，付加的な添字iとjも持つこと をここで指摘しておく．式(4.6.9)右辺の構造から，Ψが持つ上付き(下付き)の付 加的な添字の数と(点付き)のスピナー添字の数は，同じである．また，式(4.6.9) から，スピナー添字と付加的な添字について次の完全対称性が成り立つことがわ かる:

Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^m_m^...i_...α^n...i_n...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q} =Ψ_αⁱ¹₁^...i_...αⁿ_n^...i_...α^m_m^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}, (4.6.10a) Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...ja...jb...jq,α˙1...α˙a...α˙b...α˙q} =Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jb...ja...jq,α˙1...α˙b...α˙a...α˙q}. (4.6.10b) 式(4.6.10a)の完全対称性が，1 ≤ m < n ≤ p+lを満たす任意のmとnに対し て成り立つことは，式(4.6.8)から見出すことはできない．式(4.6.8)からは，式

(4.6.10a)の完全対称性の一部だけが見出される．

式(4.5.17)は，Z_i^AをZ˘_i^Aに置き換えることで，FJ( ˘Z) = F

s_∗∈1

2ZCJs_∗FJs_∗( ˘Z) と 表すことができる．この式を式(4.6.9)に代入すると，

Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(x) = =

s_∗∈1 2Z

CJs_∗

(2πi)⁴

<

Σ

πj1α˙1· · ·πjqα˙q

∂

∂ω˘^α_i1¹ · · · ∂

∂ω˘_i^α_p+l^p+lFJs_∗( ˘Z)d⁴π (4.6.11) が得られる．ここで，i1, . . . , ipに含まれている1の数をp1個として2の数をp2(=

p−p1)個と仮定する．このとき，i1, . . . , ip+lに含まれている1の数はp1+l1個に なり2の数はp₂+l₂(=p+l−p₁−l₁)個になる．同様に，j1, . . . , j_pに含まれてい る1の数をq1個として2の数をq2(=q−q1)個と仮定する．いま，適切な積分路Σ に沿って，式(4.6.11)における無限級数の中の積分を実行する．すると，この積分 は，FJs_∗( ˘Z)がZ˘₁^A = (˘ω₁^α,π1 ˙α)とZ˘₂^A= (˘ω₂^α,π1 ˙α)それぞれについて次数−2s_∗−2 の斉次関数であることより，

s_∗ = 1

2{q1−(p1+l1)}, (4.6.12a) s_∗ = 1

2{q₂−(p₂+l₂)} (4.6.12b) のときだけ0にならないことを示すことができる．したがって，式(4.6.11)は

Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(x) = C_Js∗ (2πi)⁴

<

Σ

πj1α˙1· · ·πjqα˙q

∂

∂ω˘^α_i1¹ · · · ∂

∂ω˘_i^α_p+l^p+lFJs_∗( ˘Z)d⁴π (4.6.13) に帰着し，s_∗は式(4.6.12)を満たす値に制限される．いま，s_∗は式(4.6.12)を満た しているので，式(4.6.12a)と式(4.6.12b)を用いると，q1−(p1+l1) =q2−(p2+l2) が求まる．さらに，この式を用いると，

N+ :=q+ (p+l) = 2(q1+p2+l2) = 2(q2+p1+l1), (4.6.14a) N₋ :=q−(p+l) = 2(q1−p1−l1) = 2(q2−p2−l2) = 4s_∗ (4.6.14b) が導かれる．ここで，N+はΨの階数を表し，N₋はΨが持つ点付き添字と点なし 添字の個数の差を表している．式(4.6.14)から，N+とN₋は同時に偶数になるこ とがわかる．さて，スピン量子数Jは，関係式

J = N₊

2 (4.6.15)

を満たしていることが第4.8.2項において証明される．式(4.6.15)とN+が偶数 であることから，スピン量子数J は，0または正の整数値だけをとることがわか る:J = 0,1,2, . . . .したがって，剛性を持つ有質量粒子模型は，整数のスピン量子数 を持つ有質量粒子のみを記述できることが結論される．この結果は，Plyushchayに よる結論 [9]に一致している．

次に，スピナー場Ψ は付加的な添字を持つ一般化されたディラック・フィール ツ・パウリ方程式を満たしていることを示す．いま，

∂

∂x_ββ˙

FJ( ˘Z) =9^βα9^β˙α˙ ∂ω˘_k^γ

∂x^αα˙

∂

∂ω˘_k^γFJ( ˘Z) = iπ^β_k^˙9^βγ ∂

∂ω˘^γ_kFJ( ˘Z) (4.6.16) と計算できる．式(4.6.16)と式(4.6.9)を用いると，Ψ のx_ββ˙に関する微分が次の ように求まる:

∂

∂x_ββ˙

Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(x)

= 1

(2πi)⁴

<

Σ

πj1α˙1· · ·πjqα˙q

∂

∂ω˘_i^α₁¹ · · · ∂

∂ω˘_i^α_p+l^p+l

∂

∂x_ββ˙

FJ( ˘Z)d⁴π

= i

(2πi)⁴

<

Σ

πj1α˙1π_k^β˙πj2α˙2· · ·πjqα˙q

∂

∂ω˘_i^α₂² · · · ∂

∂ω˘_i^α_p+l^p+l9^βγ ∂

∂ω˘_i^α₁¹

∂

∂ω˘^γ_kFJ( ˘Z)d⁴π. (4.6.17) 式(4.6.17)において，添字β˙とα˙₁の縮約をとり式(4.5.15a)を用いると，次の式が 導かれる:

∂

∂x_ββ˙

Ψ_α^i1...ip+l

1...αp+l;j1...jq,β˙α˙2...α˙q(x)

= MJ

√29^βγ9j1k

i (2πi)⁴

<

Σ

πj2α˙2· · ·πjqα˙q

∂

∂ω˘_k^γ

∂

∂ω˘_i^α₁¹ · · · ∂

∂ω˘^α_ip+l^p+lFJ( ˘Z)d⁴π

= iMJ

√29^βγ9j1kΨ_γα^ki1₁^...i_...α^p+l_{p+l;j2...jq,α˙2...α˙q}(x). (4.6.18) 同様に，式(4.6.17)において，添字βとα1の縮約をとり式(4.5.15b)を用いると，

次の式が得られる:

∂

∂x_ββ˙

Ψ_βα^i1...i_2...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(x)

= MJ

√29^β˙γ˙9^i1k i (2πi)⁴

<

Σ

πkγ˙πj1α˙1· · ·πjqα˙q

∂

∂ω˘^α_i2² · · · ∂

∂ω˘_i^α_p+l^p+lFJ( ˘Z)d⁴π

= iMJ

√2 9^β˙γ˙9^i1kΨ_αⁱ²₂^...i_...α^p+l_{p+l;kj1...jq,˙γα˙1...α˙q}(x). (4.6.19)

ここで，Ψの階数N+は，式(4.6.18)と式(4.6.19)の計算の前後で変わらないこと を指摘しておく．式(4.6.18)と式(4.6.19)から，スピナー場Ψは付加的な添字iと jを持つ一般化されたディラック・フィールツ・パウリ方程式

i√ 2 ∂

∂x_ββ˙

Ψ_α^i1...ip+l

1...αp+l;j1...jq,β˙α˙2...α˙q +MJ9^βγ9j1kΨ_γα^ki1₁^...i_...α^p+l_{p+l;j2...jq,α˙2...α˙q} = 0, (4.6.20a) i√

2 ∂

∂x_ββ˙

Ψ_βα^i1...i_2...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q} +MJ9^β˙γ˙9^i1kΨ_αⁱ²₂^...i_...α^p+l_{p+l;kj1...jq,˙γα˙1...α˙q} = 0 (4.6.20b) を満たしていることがわかる．式(4.6.20a)と式(4.6.20b)および

∂

∂x^αβ˙

∂

∂x_ββ˙

= 1 2δ_α^β ∂

∂x^γγ˙

∂

∂xγγ˙

(4.6.21) が成り立つことを用いると，クライン・ゴルドン方程式

. ∂

∂x^ββ˙

∂

∂x_ββ˙

+M_J² /

Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q} = 0 (4.6.22) が得られる．この式は，スピナー場Ψが質量MJを持つ場であることを示してい る．したがって，式(4.6.15)を考慮すると，質量M_Jを持つ2J階のスピナー場Ψ をペンローズ変換(4.6.9)として求めることができた．

この節の終わりに，完全対称化されたΨとペンローズ変換のブラ・ケット記法 について述べておく．

完全対称化されたΨ

いま，Ψが持つ付加的な添字すべてが完全対称化された次の関数を考える:

Ψ_α^(S)i_1...α^1...i_p+l^p+l+q_{; ˙α1...α˙q} := 1 N+!

=

ς

9^iς(p+l+1)j1· · ·9^iς(p+l+q)jqΨ_α^iς(1)_1...α^...i_p+l^ς(p+l)_{;j1...jq,α˙1...α˙q}. (4.6.23) ここで，ς は(i1, . . . , ip+l+q)に対して置換を施すことを表している．また，F

ς は (i1, . . . , ip+l+q)の置換すべてについて和をとることを表している．（場Ψ_α^(S)i_1...α^1...i_p+l^p+l+q_{; ˙α1...α˙q} をΨ^(S)と略記する場合もある．）式(4.6.23)のΨ^(S)が付加的な添字に関して完全対 称であることと式(4.6.10)を用いると，次の式を示すことができる:

Ψ_α^(S)i_1...α^1...i_m...α^p+l+q_{n...αp+l; ˙α1...α˙q} =Ψ_α^(S)i_1...α^1...i_n...α^p+l+q_{m...αp+l; ˙α1...α˙q}, (4.6.24a) Ψ_α^(S)i_1...α^1...i_p+l^p+l+q_{; ˙α1...α˙a...α˙b...α˙q} =Ψ_α^(S)i_1...α^1...i_p+l^p+l+q_{; ˙α1...α˙b...α˙a...α˙q}. (4.6.24b)

したがって，場Ψ^(S)は点付きと点なしのスピナー添字それぞれに関して完全対称 であることがわかる．また，場Ψ^(S)はスピンJの既約表現に属するスピナー場と 等価である．さて，式(4.6.23)と式(4.6.20a)，式(4.6.20a)を用いると，次の式が 成り立つことを証明できる:

i√ 2 ∂

∂x_ββ˙

Ψ_α^{(S)i1...ip+l+q}

1...αp+l; ˙βα˙2...α˙q −MJ9^βγΨ_γα^(S)i_1...α^1...i_p+l^p+l_{; ˙α2...α˙q} = 0, (4.6.25a) i√

2 ∂

∂x_ββ˙

Ψ_βα^(S)i_2...α^1...i_p+l^p+l+q_{; ˙α1...α˙q} +MJ9^β˙γ˙Ψ_α^(S)i_2...α^1...i_p+l^p+l+q_{; ˙γα˙1...α˙q} = 0. (4.6.25b) これより，Ψ^(S)は(通常の)ディラック・フィールツ・パウリ方程式を満たしてい ることがわかる．この結果は，Ψ^(S)がスピナー添字について完全対称化されてい ることと整合している．式(4.6.22)と式(4.6.23)から，Ψ^(S)が質量MJを持つクラ イン・ゴルドン方程式を満たしていることは明らかである．

ペンローズ変換のブラ・ケット記法

式(4.5.13)の下で定義されたFJ(Z, a₋, h,h) =¯ )Z, a₋, h,¯h|FJ(と同じように，ツ イスター関数F_J( ˘Z)を

FJ( ˘Z) :=)Z˘|FJ( (4.6.26) と定義する．ここで，

)Z˘|:=)0|exp

&

−Z˘_i^AZˆ¯ⁱ_A '

=)0|exp"

−ω˘^α_iπˆ¯_αⁱ −πiα˙ωˆ¯^iα˙#

(4.6.27) である(式(4.5.7)参照)．式(4.6.27)を用いると，次の式がすぐに求まる:

)Z˘|πˆiα˙ =πiα˙)Z˘|, (4.6.28a) )Z˘|πˆ¯_αⁱ =− ∂

∂ω˘^α_i )Z˘|. (4.6.28b) いま，式(4.6.26)を式(4.6.9)に代入し，式(4.6.28a)と式(4.6.28b)を繰り返し用い ると，ペンローズ変換(4.6.9)は

Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(x) = 1 (2πi)⁴

<

Σ)Z˘|Pˆαⁱ¹1^...i...α^p+lp+l;j1...jq,α˙1...α˙q|FJ(d⁴π (4.6.29) と書き換えられる．ここで，Pˆαⁱ¹1^...i...α^p+lp+l;j1...jq,α˙1...α˙q は

Pˆαⁱ¹1^...i...α^p+l_p+l;j1...jq,α˙1...α˙q := (−1)^p+lπˆj1α˙1· · ·πˆjqα˙qπˆ¯ⁱ_α¹₁· · ·πˆ¯ⁱα^p+l_p+l (4.6.30)

である．さらに，式(4.6.29)は形式的に

Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(x) = )x|Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}( (4.6.31) と表される．ここで，次の式を定義した:

)x|:= 1 (2πi)⁴

<

Σ)Z˘|d⁴π = 1 (2πi)⁴

<

Σ)ix^αα˙π_iα˙,π_iα˙|d⁴π, (4.6.32)

|Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(:= ˆPαⁱ¹1^...i...α^p+lp+l;j1...jq,α˙1...α˙q|FJ(. (4.6.33) いま，|Ψ_αⁱ¹₁^...i_...α^p+l_{p+l;j1...jq,α˙1...α˙q}(の完全対称化は，式(4.6.23)に従って実行され，

|Ψ_α^(S)i_1...α^1...i_p+l^p+l+q_{; ˙α1...α˙q}(:= ˆPα^(S)i1...α^1...i_p+l^p+l+q; ˙α1...α˙q|FJ( (4.6.34) と与えられる．ここで，

Pˆα^(S)i1...α^1...i_p+l^p+l+q; ˙α1...α˙q := 1 N+!

=

ς

9^iς(p+l+1)j1· · ·9^iς(p+l+q)jqPˆα^iς(1)1...α^...i_p+l^ς(p+l);j1...jq,α˙1...α˙q (4.6.35) である．この演算子は，第4.8.2項において，Pˆ^(S)と省略される場合もある．

ドキュメント内 目 次 (ページ 93-100)