渡辺 5 章とその補足にかんする課題

演習5.1 (_参考) ある個人の効用(利得)を期待効用理論にもとづいて決めるため，以下のくじを考える．た

だしxはこの個人の受け取る金額を百万円単位で表したものである．

• くじA. 確率1/2でx= 1 (つまり100万円) となり，確率1/2でx= 0となる(つまり何ももらえ ない)．

• くじA^′. 確率1でx= 1/4となる (つまり確実に25万円もらえる)．

• くじB. 確率3/4でx= 1 (つまり100万円)となり，確率 1/4でx= 0となる (つまり何ももらえ ない)．

• くじB^′. 確率1 でx= 9/16となる(つまり確実に56.25万円もらえる)．

• くじC. 確率1/4でx= 1 (つまり100万円)となり，確率 3/4でx= 0となる (つまり何ももらえ ない)．

• くじC^′. 確率1 でx= 1/16となる (つまり確実に6.25万円もらえる)．

• くじD. 確率1でx= 1/2となる(つまり確実に50万円もらえる)． (i)くじA,A^′,B,C のxの期待値(期待金額)を求めよ．

(ii)横軸にx，縦軸に効用を取ってこの個人の効用をグラフに描くと点(0,0)と(1,1)を通るという(つま りx= 0のときの効用を0,x= 1のときの効用を1と正規化している)．これら2点以外にこの効用グラフが 必ず通る3点の座標を以下の記述から求めよ．ただしこの個人はくじAとくじA^′にたいして無差別(同等に 好む)であり，くじBとくじB^′にたいして無差別であり，くじCとくじC^′にたいして無差別である．

*18難病にかかった1人を含む10,000人を考えると，その1人に残り9,999人のうちの99パーセントである約9,899人を加えた約

9,900人程度が正しい判定を受けると予想できる．

(iii)この個人のくじA, B,Cにたいする確実性同値額とリスクプレミアムをそれぞれ求めよ．

(iv)この個人の効用が受け取り金額にたいして増加するとき，くじAとくじDのどちらを好むか．くじD の効用についてなにか言えるか．

正解例.

(i)期待金額にあたるxの期待値は次のように求められる:

• くじA. ¹₂×1 +¹₂×0 = ¹₂. [つまり期待金額が50万円．]

• くじA^′. 1×¹4 =¹₄. [つまり期待金額が25万円．]

• くじB. ³₄×1 +¹₄ ×0 = ³₄. [つまり期待金額が75万円．]

• くじC. ¹₄ ×1 +³₄×0 = ¹₄. [つまり期待金額が25万円．]

(ii)この個人のx= 1への効用が1でx= 0への効用が0であるから，くじAの期待効用は ¹₂×1 +¹₂×0 = ¹₂ となる．

この個人はくじA_とくじA^′にたいして無差別であることから，これらの(_期待)効用は等しいと考えられる．よって，く じA^′の効用も¹₂ となる．以上から，効用のグラフは点(¹₄,¹₂)を通る．同様に，くじBの期待効用は ³₄×1 +¹₄×0 = ³₄ で，くじB^′の効用に等しいため，グラフは点(₁₆⁹,³₄)を通る．最後に，くじCの期待効用は ¹₄×1 +³₄×0 = ¹₄ で，く じC^′の効用に等しいため，グラフは点(₁₆¹,¹₄)を通る．[金額の期待値ではなく効用の期待値で好みが決まるところがポ イント．実際にグラフを描くと理解が深まるだろう．]

(iii) くじAと無差別であるくじA^′では確実に¹₄ 百万円 (25万円) 受け取るので，くじAにたいする確実性同値額 はx= ¹₄ 百万円(25万円)．くじAの期待金額は ¹₂ 百万円(50万円)で，確実性同値額は¹₄ 百万円 なので，リスクプ レミアムは¹₂ −¹4 = ¹₄ 百万円(25万円)である．同様に，くじBの確実性同値額は₁₆⁹ 百万円で，リスクプレミアムは

3

4−16⁹ =₁₆³ 百万円．くじCの確実性同値額は ₁₆¹ 百万円で，リスクプレミアムは¹₄ −16¹ = ₁₆³ 百万円．[リスクプレミ アムが正の数なので，この個人はこの問題の範囲の金額にかんしてはリスク回避的である．]

(iv)くじAの確実性同値額は ¹₄ 百万円で，くじDの確実性同値額である ¹₂ 百万円より小さいので，くじDのほうが くじAより好まれる．よってくじDの効用はくじAの期待効用である¹₂ 以上になる．(また，確実性同値額が₁₆⁹ 百万 円であるくじBよりもくじDの確実性同値額が低いので，くじBのほうがくじDよりも好まれる．よってくじDの効 用はくじBの期待効用である³₄ 以下となる．)

[この個人の効用はたとえばu(x) =√xで与えることができる．]

演習5.2 渡辺185頁の(i)「リスクの分担」の図の利益の求め方と，(ii)期待利得を計算して書き直したゲー ムの木の利得の求め方を説明せよ．

正解例. (i)印税15パーセントのときのリスクの分担の図: 出版社の利益は 売上げ×(0.3−0.15) =売上げ×0.15万円 となる．著者の利益は(出版社からの支払い−努力費用) = (売上げ×0.15−努力費用)万円となる．

• 下の終点．低努力のときの売上げは6000部×1000円= 600万円で，努力費用は20万円．よって出版社の利益 は600×0.15 = 90万円で，著者の利益は600×0.15−20 = 90−20 = 70万円．

• 真ん中の終点．高努力で運が悪かったときの売上げは600万円で，努力費用は50万円．よって出版社の利益は先 と同様の90万円で，著者の利益は600×0.15−50 = 90−50 = 40万円．

• 上の終点．高努力で運が良かったときの売上げは10000部×1000円= 1000万円で，努力費用は50万円．よっ て出版社の利益は1000×0.15 = 150万円で，著者の利益は1000×0.15−50 = 150−50 = 100万円．

(ii)期待利得を計算して書き直したゲームの木:

• 固定額の場合は183頁の図と同様．

• 印税15パーセントで低努力のばあいは，不確実性がないので(i)から利得列は(90,70).

• 印税15パーセントで高努力のばあいは，(i)から期待利益列は0.8×(150,100) + 0.2×(90,40) = (0.8×150 + 0.2×90,0.8×100 + 0.2×40) = (120 + 18,80 + 8) = (138,88). 出版社はリスク中立的なので，期待利益138 万円をそのまま利得と考えてよい．著者はリスク回避的なので，期待利益88万円からリスクプレミアムr万円を 引いた88−r万円を利得と考える．

演習5.3 武藤[10]の事例4-2 (p. 126)を展開形ゲームとして表現せよ．[正解: 図4-3．]^*19

*19演習5.3–5.7は演習5.11の類題である．

演習5.4 (_最重要) 武藤の図4-3のゲーム(p. 127)において，プレーヤーAの情報集合での A の信念が (r,1−r)で与えられている．このとき Aの期待利得をrの関数としてもとめ，その期待利得が最大になるよ うな行動をrの値におうじて決定せよ．[正解: 本文p. 128第4パラグラフ．]

演習5.5 (_最重要) 武藤の図4-3のゲーム(p. 127)において，プレーヤーAの情報集合での A の信念が (r,1−r)で表されている．強いタイプのBと弱いタイプのBのとりうる行動の組(４つある)のそれぞれに たいして整合的なA の信念をもとめよ．[正解: 本文p. 128第5パラグラフからp. 129．]

演習5.6 (最重要) 武藤の図4-3のゲーム(p. 127)において，強いタイプのBが「参入する」をとり，弱いタ イプのBが「参入しない」をとるような完全ベイジアン均衡をもとめよ．[正解: (Aの行動，強いBの行動，

弱いBの行動，A の信念)の組が(阻止，参入する，参入しない，(1,0))となるのが均衡．本文 p. 130ケー ス2を参照．演習5.10の類題．]

演習5.7 (_最重要) 武藤の図4-3のゲーム(p. 127)において，強いタイプのBが「参入しない」をとるよう な完全ベイジアン均衡は存在しないことをしめせ．[正解: 強いBが参入しなければ利得は0で，参入すれば 利得は1または3となり，いずれにせよ参入したほうが利得が高い．本文pp. 130-1ケース3, 4を参照．] 演習5.8 (完全ベイジアン均衡と弱支配される戦略) [武藤IV章 練習問題1 (135頁)から]次の展開形ゲーム (演習4.6と同じ)の完全ベイジアン均衡を求め，弱支配される戦略は含まれないことを確かめよ．

正解例. Player 2の情報集合における信念を(r,1−r)とする．ただしrはこの情報集合が実現したという条件のもとで

Player 2が上の点にいる確率である．この信念のもとでPlayer 2_はdを選ぶことが直ちに分かる．上の点でも下の点で

もdを選ぶ方がeを選ぶより利得が高いからである．[詳細: dを選んだときの期待利得は3r+ 2(1−r) =r+ 2．eを選 んだときの期待利得は2r+ 1(1−r) =r+ 1_．よってr_{の値にかかわらず}dの方が高い利得を与える．]

このとき，点1_におけるPlayer 1_{の最適な選択は}aである:

• aをとれば1の利得は(Player 2がdをとるため) 4

• bをとれば1の利得は(Player 2がdをとるため) 1

• cをとれば1の利得は3

Player 1の上記の行動と整合的なPlayer 2_の信念は(1,0)である．情報集合の下の点に至らず上の点には至るため．

以上から完全ベイジアン均衡は，「1はaを，2はdを選び，Player 2の情報集合における信念は(1,0)となる」よう な行動と信念の組み合わせである．この均衡には弱支配される戦略e(eがdに弱支配されることは演習4.6の正解例を 参照)は含まれない．

リマーク5.1 上記の解答例より長くなるが，Player 1がaを選ぶケース，bを選ぶケース，cを選ぶケースに分けて考え てもいい．いずれのケースでもPlayer 2はdを選ぶことから，Player 1がaを選ぶケース以外は場合分けの条件が不合 理であることがしめせる．

演習5.9 (_最重要; 完全ベイジアン均衡と逆選抜) [武藤IV章 練習問題2 (135頁)から] 次の図の左側のゲー ムは，武藤の図4-4 (133頁)の中古車市場の展開形ゲームと同じ構造を持つ．^*20 終点にはPlayer 1の利得

とPlayer 2の利得をこの順序で記入している．このゲームの完全ベイジアン均衡を求め，2Gはnを，2Bは

(0,2) (2,3) (4,1) (−1,3)

(1,1) (0,0) r h

l h

l b

b n

2B n 2G (1/2)

(1/2) Nature

1−r 1

(0,2) (2,3) (4,1) (−1,3)

(1,1) (0,0) r= 0h

l h

l b

b n

2B n 2G (1/2)

(1/2) Nature

1−r 1

bを，1はlを選ぶ(すなわち「良いタイプのPlayer 2 は持ち込まず，悪いタイプのPlayer 2のみが持ち込

み，Player 1は低い価格で買う」となる)ことを確かめよ．

正解例. Player 1の情報集合における信念を(r,1−r)とする．ただしrはこの情報集合が実現したという条件のもと

でPlayer 1 が上の点にいる確率で，1−rは同条件のもとでPlayer 1 が下の点にいる確率である．この信念のもとで

Player 1_はlを選ぶことが直ちに分かる．上の点でも下の点でもlを選ぶ方がhを選ぶより利得が高いからである．[詳

細: hを選んだときの期待利得は2r−1(1−r) = 3r−1．lを選んだときの期待利得は4r+ 1(1−r) = 3r+ 1．よって rの値にかかわらずlの方が高い利得を与える．]

このとき，点2G_におけるPlayer 2_{の最適な選択は}nである:

• nをとれば2Gの利得は2

• bをとれば2Gの利得は(Player 1がlをとるため) 1 また，点2B_におけるPlayer 2_{の最適な選択は}bである:

• nをとれば2Bの利得は0

• bをとれば2Bの利得は(Player 1がlをとるため) 1

2Gと2Bの上記の行動と整合的な Player 1_の信念は(0,1)である．情報集合の上の点に至らず下の点には至るため．

以上から完全ベイジアン均衡は，「1はlを，2Gはnを，2Bはbを選び，Player 1の情報集合における信念は(0,1) となる」ような行動(図の右側のゲームに赤い矢印で示している)と信念の組み合わせである．この均衡で「2Gはnを，

2Bはbを，1はlを選ぶ」ことは明らか．

演習5.10 (重要) 渡辺203頁の展開形ゲームで「どちらの属性も資格を取得しない」(能力の高い金太郎も低

い金太郎も資格を取らない)ような完全ベイジアン均衡(ベイジアンナッシュ均衡)が存在することをしめせ．

正解例. 渡辺208頁の最終段落にある主張をしめす問題である．演習5.6の類題である．^*21どちらの属性の金太郎も資格 を取得しないとすると，有資格者にたいする情報集合(点有高と点有低からなる情報集合)には到達しない．到達しない情 報集合における信念はいかなるものも戦略と整合的であるから，^*22 それを(r,1−r)とする．ただしr はこの情報集合内

*20最初にNature (自然)がPlayer 2のタイプ(属性)を選び(確率1/2で良いタイプG，確率1/2で悪いタイプBとなる)，

Player 2は自分のタイプを知った上でb(bring;持ち込む)またはn(not;持ち込まない)を選択し，Player 1はPlayer 2の (タイプを知らずに)bという選択のみを知ったうえで，h(high;高い)またはl(low;低い)を選ぶ．Player 2の情報集合は点 2G(タイプGに対応)と点2B(タイプBに対応)であり，Player 1の情報集合は左から3列目の2点からなる集合(Player 2 の選択bに対応)である．

*21一般に，属性のちがいが行動のちがいに現れる均衡を「分離均衡」と呼び，行動のちがいに現れない均衡を「一括均衡」と呼ぶ．

205頁にしめされた均衡は分離均衡で，この問題であつかう均衡は一括均衡である．

*22完全ベイズ均衡の定義で明示すべきであったが，均衡において到達しない情報集合では，任意の信念が戦略と整合的であるとみな す．武藤129頁参照．

の点が実現したという条件のもとでの点有高が実現する条件付き確率，1−rは点有低が実現する条件付き確率である．

一方で，無資格者にたいするホヤの情報集合(点無高と点無低からなる情報集合)におけるホヤの信念は (s,1−s) = (1/2,1/2)となる(s= 1/2は点無高の条件付き確率，1−s= 1/2は点無低の条件付き確率;この情報集合には確率1で 到達し，点無高も点無低も確率1/2で到達することに注意^*23)．よってこの情報集合におけるそれぞれの行動にたいする ホヤの期待利得は以下のようになる．

• 1100万円を選んだときの利得: ¹₂×100 +¹₂×(−150) =−25.

• 900万円を選んだときの利得: ¹₂ ×0 +¹₂×50 = 25.

したがって，ホヤは900万円を選ぶのが最適．

有資格者にたいする情報集合に戻ろう．ここでホヤが1100万円を選んでしまうと，能力の高い金太郎は資格を取るほう が有利になってしまい(取れば利得1050,取らなければ利得 1000)，題意に反する．よってこの情報集合ではホヤが900 万円を選ぶはずで，たとえばホヤの信念を(0,1)とすればたしかにホヤにとって900万円を選ぶのが最適となる(この信 念のもとで1100万円を選んだときの利得は−150，900万円を選んだときの利得は50)．^*24

いずれの情報集合でも900万円を選ぶというホヤ商事の以上の行動を前提として，金太郎の最適な行動を求めよう:

• 能力の高い金太郎は資格を取らないのが最適(取れば利得は950,取らなければ利得は1000)．

• 能力の低い金太郎は資格を取らないのが最適(取れば利得は550,取らなければ利得は900)． これらの戦略にたいするホヤの信念の整合性はすでに検討した．

以上をまとめると，以下で記述される均衡が問題の条件を満たす:^*25

• 能力の高い金太郎も低い金太郎も資格を取らない．

• ホヤ商事はいずれの情報集合でも900万円を選ぶ．

• 有資格者にたいする情報集合での信念(0,1);無資格者にたいする情報集合での信念(1/2,1/2).

演習5.11 (_重要) 渡辺209 頁の展開形ゲームには完全ベイジアン均衡(ベイジアンナッシュ均衡)が存在し，

そのいずれの均衡においても「どちらの属性も資格を取得しない」(能力の高い金太郎も低い金太郎も資格を 取らない)となることをしめせ．^*26

正解例. 渡辺208頁の第2段落にある主張をしめす問題である．演習5.3–5.7を複合した問題はこの問題の類題である．

有資格者にたいする情報集合(点有高と点有低からなる情報集合)におけるホヤの信念を(r,1−r)とする(rは点有高 の条件付き確率，1−rは点有低の条件付き確率)．この情報集合におけるそれぞれの行動にたいするホヤの期待利得は以 下のようになる．

• 1100万円を選んだときの利得: 100r−150(1−r) = 250r−150.

• 900万円を選んだときの利得: 0r+ 50(1−r) = 50−50r.

したがって，ホヤ が900万円を選ぶのが唯一の最適となる必要十分条件は: 250r−150<50−50rから，300r <200， つまりr <2/3である．また，ホヤ が1100万円を選ぶのが唯一の最適となる必要十分条件はr >2/3である．

無資格者にたいする情報集合(点無高と点無低からなる情報集合)におけるホヤの信念を(s,1−s) とする(sは点無高 の条件付き確率，1−sは点無低の条件付き確率)．この情報集合におけるそれぞれの行動にたいするホヤの期待利得は以 下のようになる．

• 1100万円を選んだときの利得: 100s−150(1−s) = 250s−150.

• 900万円を選んだときの利得: 0s+ 50(1−s) = 50−50s.

したがって，ホヤ が900万円を選ぶのが唯一の最適となる必要十分条件は上と同様に，s <2/3である．

*23 ゲームの初期点から均衡経路(均衡戦略のしめす経路)に沿って1単位の水を流したと想像するとよい．どちらの属性も資格を 取得しないばあい，点無高には1/2単位，点無低には1/2単位の水が流入してくるはずである．各点の条件付き確率はその点に おける流入量をこの情報集合全体への流入量で割れば求まる．いまの場合，この情報集合全体には合計1単位の水が流入している から，1/2と1/2がそのまま点無高と点無低の条件付き確率になる．たとえば点無高の条件付き確率は _1/2+1/2^1/2 = 1/2となる．

(やや高度—かつ，テキストによって定義が一定しない—であるが，もし情報集合が均衡経路上にないばあいは，その情報集合のす べての点に通じるような適当な点(先祖)から，1単位の水を均衡戦略のしめす部分的経路に沿って流したと想像するとよい．ギ ボンズ(1995)『経済学のためのゲーム理論入門』[5, 180-182頁]を参照．)

*24より一般的にはr≤2/3のとき900万円を選ぶのが最適．演習5.11参照．

*25 すでに述べたように，有資格者にたいする情報集合での信念はこれ以外も考えられる．

*26渡辺の古い刷には誤植がある．能力の高い金太郎にたいする利得は上から1050, 950, 1100, 1000となるのが正しい．