様々な原子配置・相互作用領域における励起ダイナミ クスクス

節4.5では全ての原子がブロッケード領域よりも小さい範囲内に配置された条件、

節5.2や節5.3では隣り合う原子のみがブロッケード半径内に配置された条件における リュードベリ状態への励起ダイナミクスについて議論を行った。本節では、これらの 励起ダイナミクスの測定結果と数値計算結果との比較を行う。図5.22は、様々な原子 配置・相互作用領域におけるリュードベリ原子密度⟨nˆ⁽ⁱ⁾_↑ ⟩のサイト平均値f_n↑である。

プロットは実験結果であり、実線はイジングモデルの数値計算の結果である。イジン グモデルの数値計算では、以下に述べる3つの効果を考慮した。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

3 μm

z

x y

図 5.22: 様々な原子配置・相互作用領域における励起ダイナミクス. (a–e) の左側の図は原子配置とブロッケード半径R_b、右側のグラフはリュードベ リ原子密度⟨nˆ⁽ⁱ⁾_↑ ⟩のサイト平均値f_n↑である. プロットは実験結果、実線は イジングモデルの計算結果を示す. 数値計算では状態観測エラーと単一原 子から生じる緩和を考慮し、リュードベリ状態間の相互作用は式(5.18)を 用いて計算した.

状態観測エラー

波長850 nmのトラップ光はリュードベリ状態にアンチトラップポテンシャルを形成

するため、我々は原子をトラップから開放した後にリュードベリ状態への励起光を照 射している。その後、再度トラップ光を照射することでリュードベリ原子をアンチト ラップポテンシャルにより逃がし、基底状態原子のみを再キャッチすることで各原子 の状態を観測することが可能となる。従って、観測エラーは基底状態原子がロスする 確率ϵ_gとリュードベリ原子がトラップから逃げる前に基底状態に落ちる確率ϵ_rにより 制限される。先行研究[Labuhn et al. 2016]では、ϵ_rを無視しϵ_gのみを考えているが、

本論文で使用したリュードベリ状態は実効的な寿命が短いためϵrも考慮する必要があ る。本論文では、ϵ_g ̸= 0とϵ_r̸= 0であるとし、以下に示すように状態観測エラーを数 値計算に取り入れた。

ここでは、N 個の原子系において状態|ij· · ·⟩であると実験的に観測される確率に ついて考える。まず、真の状態は|i^′j^′· · ·⟩であるが実験的に|ij· · ·⟩であると観測する 確率は、各サイトi–i^′, j–j^′, · · · を比較し↓–↓, ↓–↑, ↑–↓, ↑–↑となる個数をそれぞれ n^(gg)_i′j^′···, n^(gr)_i′j^′···, n^(rg)_i′j^′···, n^(rr)_i′j^′···とすると、

ϵⁿ

(rg)i′j′···

g ·(1−ϵ_g)ⁿ

(gg)i′j′··· ·ϵⁿ

(gr)i′j′···

r ·(1−ϵ_r)ⁿ

(rr)i′j′···P˜_i′j^′···, (5.13) と表すことができる。ただし、状態|i^′j^′· · ·⟩の真の確率をP˜_i′j^′···とした。従って、実験 的に|ij· · ·⟩であると判断される確率P_ij···は、

P_ij··· =

2^N

∑

k

ϵⁿ

(rg)

gk ·(1−ϵ_g)^n(gg)k ·ϵⁿ

(gr)

rk ·(1−ϵ_r)^n(rr)k P˜_k, (5.14) となる。ここで、kは2^N 個の状態であり、状態|ij· · ·⟩であると判断される確率P_ij···

は2^N 個の状態P˜_kの真の確率が干渉することを意味する。観測エラーを低減させるた めには、サイドバンド冷却[Kaufman et al. 2012]により原子温度を冷やすことでϵgを 減らし、主量子数の大きなリュードベリ状態を用いることで寿命を延ばしϵ_rを減らす 必要がある。

以下では状態観測エラーの計算方法の一例として、N = 6個の原子系においてN_↑ = 2 である状態|↑↓↓↑↓↓⟩について考える。状態|↑↓↓↑↓↓⟩の観測効率は(1−ϵ_g)⁴(1−ϵ_r)² となる。これは計4つの基底状態を観測する効率(1−ϵ_g)⁴ と計2つのリュードベリ 状態を観測する効率(1−ϵr)²から導出される。さらに、実際には他の状態であるが、

|↑↓↓↑↓↓⟩として観測されてしまう確率が存在する。例えば|↓↑↓↑↓↓⟩の寄与を考えると 確率ϵ_g(1−ϵ_g)³ϵ_r(1−ϵ_r) ˜P_{↓↑↓↑↓↓}だけP_{↑↓↓↑↓↓}に変化をもたらす。これは、サイト1の基 底状態原子がリュードベリ原子だと観測される確率がϵ_g、サイト3, 5, 6の基底状態原

子が基底状態原子として観測される確率が(1−ϵ_g)³、サイト2のリュードベリ原子が 基底状態原子だと観測される確率がϵr、サイト4のリュードベリ原子がリュードベリ 原子として観測される確率が(1−ϵ_r)となるためである。同様に、他の状態からの寄 与を考えていくと、実験的に観測される確率P_{↑↓↓↑↓↓}は、

P_{↑↓↓↑↓↓} = (1−ϵg)⁴(1−ϵr)²P˜_{↑↓↓↑↓↓}

+ ϵ²_g(1−ϵg)⁴P˜_{↓↓↓↓↓↓}

+ ϵ_g(1−ϵ_g)⁴ϵ_rP˜_{↑↓↓↓↓↓}+· · ·+ϵ²_g(1−ϵ_g)³ϵ_rP˜_{↓↓↓↓↓↑}

+ ϵ_g(1−ϵ_g)³ϵ_r(1−ϵ_r) ˜P_{↑↑↓↓↓↓}+· · ·+ϵ²_g(1−ϵ_g)²ϵ²_rP˜_{↓↓↓↓↑↑}

+ ϵ_g(1−ϵ_g)²ϵ²_r(1−ϵ_r) ˜P_{↑↑↑↓↓↓}+· · ·+ϵ_g(1−ϵ_g)²ϵ²_r(1−ϵ_r) ˜P_{↓↓↓↑↑↑}

+ (1−ϵ_g)²ϵ²_r(1−ϵ_r)²P˜_{↑↑↑↑↓↓}+· · ·+ϵ_g(1−ϵ_g)ϵ³_r(1−ϵ_r) ˜P_{↓↓↑↑↑↑}

+ (1−ϵ_g)ϵ³_r(1−ϵ_r)²P˜_{↑↑↑↑↑↓}+· · ·+ϵ_gϵ⁴_r(1−ϵ_r) ˜P_{↓↑↑↑↑↑}

+ ϵ⁴_r(1−ϵ_r)²P˜_{↑↑↑↑↑↑}, (5.15)

で与えられ、トータルで2^N個の項からなる。

単一原子レベルから生じる緩和の効果

節4.3.3で述べた単一原子レベルから生じるデコヒーレンスの効果を考慮するため、

緩和Lˆ[ ˆρ]を含んだリュービル方程式:

˙ˆ ρ =−i

ℏ

[H,ˆ ρˆ^]+ ˆL, (5.16)

を用いた。ただし、ˆρは密度行列、Hˆ はN 原子系のハミルトニアンである。緩和オペ レータLˆ[ ˆρ]は、

Lˆ[ ˆρ] = γ

2(2ˆσ_grρˆˆσ_rg−σˆ_rrρˆ−ρˆˆσ_rr), (5.17) であり、γは事前に単一原子系で測定した値を使用した。なお、γの測定方法は節4.3.3 を参照のこと。

実効的なリュードベリ状態間相互作用

前節での数値計算におけるリュードベリ原子間相互作用は、二次の摂動論により 計算したvan der Waals型相互作用(∝ 1/R⁶)を使用した。しかしながら、リュー ドベリ原子間の距離R が小さくなり双極子–双極子演算子 Vˆ_dip によるリュードベリ 原子ペア間のカップリングが大きくなると、1/R³ の距離依存性を持つ双極子–双極