その上で等式1については，例えばf=x3なら高校流にdf /dx=f′= 3x2 となる わけだ．等式2が見慣れないかも知れないが，こう書いてよい．というよりむしろ，
df=adxと書いたときの係数aを微分係数と呼ぶのである．
Note (微小量と無限小): 多くの教科書では，微小な数を∆xなどと表記する．こ
のいわゆる微小量∆xと，無限小dxとの違いは
• 微小量∆xは小さいだけの単なる数値．
• 無限小dxは「相手に合せてどんどん小さくなれる」知能を有する自動変数．
である．ようするに，∆xは数値だから具体的に∆x= 0.001などと書けるが，dx は数値では書けない．なぜなら，もしdx= 0.000001などと固定してしまったら「俺
的には0.000001は小さくない」という人が現れたときに無限小でないことがバレて
しまう．ようするに，どんな微小量∆xを持ってきても勝手にdx < ∆xとなって くれるようなオートマチックな変数dxを微分または無限小と呼び，単なる微小量と 区別するわけだ．
∆x dx
0 0.0001 0.0005
10.2. 曲率(3.3)の導出 83
普通の変数でも成立する関係式である．弧度法であるからグラフ用紙は極座標系である (細い点線)．これより曲率1/ρは
1 ρ =dθ
ds
と測られる．とはいえ，上式にはxもy=f(x)も無いので，このままでは曲線y= f(x)と曲率1/ρの関係は不明である．上式をx方向とy方向の無限小dy, dxのみ で書きたい．
STEP 2 dθ, dx, dsは普通の変数として扱えるから，上式は次のように変形できる．
1 ρ = dθ
dx dx ds
ここでようやくdxが出てきた．あとはdsとdθを消せればよい．
STEP 3 そこでいったん，グラフ用紙を直交座標系に切り換え，次のようなx方向 とy方向の微分dx, dyを考える．
x d y d
x y
s d
これに基づき，3本の直線で直角三角形を構成する(下図の右)．曲りを無視する無限 小世界のなせる技である．
x d
y d s
d θ θ
θ ds
グラフ用紙 の切り換え
まず，三平方の定理より
(ds)2 = (dx)2+ (dy)2 であるが，ds, dx, dyを普通の変数と考えて
(ds dx
)2
= 1 + (dy
dx )2
同じく普通の変数として逆数の平方根を取り dx
ds= 1
√ 1 +(dy
dx
)2
これで1個片付いた．なぜなら，右辺に含まれるdy/dxはy=f(x)を微分すれば 求まる．次に，図の三角形についてtanの定義より次式が成立する．
tanθ=dy dx 同じことを逆関数tan−1で書くと
θ= tan−1 dy dx
である．tan−1の微分公式と，合成関数の微分公式を使うと (tan−1g(x))′=g′(x) 1
1 +g2(x) なので，したがって
dθ dx= d2y
dx2 1 1 +(dy
dx
)2
となり，全部片付いた．
曲率(3.3) 以上から 1 ρ = dθ
dx dx
ds = 1
√ 1 +(dy
dx
)2 d2y dx2
1 +(dy
dx
)2 =
d2y dx2
( 1 +(dy
dx
)2)3/2
を得る．以上，曲線の曲率(3.3)の導出が完了した．
無限小の論理で曲りを無視したら「曲線自体の曲り」まで無視されそうだが，そう ならない理由を述べよう．曲率(3.3)の導出過程をよく吟味すると，次の性質を用い ていたことが分かる．
1) 直交座標系の無限小世界では，曲線は直線で近似される．
2) 極座標系の無限小世界では，曲線は円弧で近似される．
すなわち，どんな曲線であっても，その一部を拡大していくと，いつかは直線で近似
できる(直交座標系)，または円弧で近似できる(極座標系)と仮定して曲率(3.3)を
求めたことになる．
さて，性質1)は直観的によいとして，性質2)に違和感があるかも知れない．これ は次のように考えるとよい．まず性質2)の必要性について，もし性質1)だけを使っ て全ての曲線を直線近似してしまうと，曲線の「曲っている」という性質が扱えなく なる．その対策として，直交座標系に描いた曲線をいったん極座標変換し，この極座 標系で直線近似してから元にもどすという作戦をとる．極座標系における直線(に相当 するもの)は，元の直交座標系では円になる．(下図)
r θ
0 2π
r
θ r θ
0 2π
r
θ
円＝直線