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全微分の公式
よく見かける論法として，微小量∆x≪1で議論を始めて，途中で
• ∆xを無限小と仮定して∆x→dxとする．ゆえに(dx)2= 0である．
とするものがある．多くの場合，∆xが突然dxに変身するので，なにが「ゆえに」な のか，著者などは学生のころ完全に思考停止に追い込まれた．この論法の正体に思いを はせながら，少しずつ議論を精密化していくことにしよう．
11.1 独立変数の微分 — (dx)
2= 0
まず問題提起として，直観的には，例えば
∆x (∆x)2
1 1
0.1 0.01
0.01 0.0001 0.001 0.000001 0.0001 0.00000001 0.00001 0.0000000001
であるから，∆xが十分に小なら近似(∆x)2 ≑0は納得できる．しかし，どんどん
∆xを小さくしていくと，そもそも∆x≑0になりはしないか？
この問題を解明するために，1次関数y=∆xと2次関数y= (∆x)2 の原点付近 の振舞いを10倍ずつ拡大しながら観察してみる．
11.1. 独立変数の微分— (dx)2= 0 87
0 1
0 1
0 0.1
0 0.1
0 0.01
0 0.01
∆x y
y=∆x y=(∆x)2
y=∆x
y=∆x y=(∆x)2
y=(∆x)2
∆x y
∆x y
このように原点付近を拡大していくと，直線y=∆x の形状は全く変化しないが，
2次曲線y= (∆x)2 のグラフは猛スピードで水平線y= 0に近づく．
ところで，微分dxとは，小さくないと文句を言われたら相手が納得するまで小さ くなれる変数のことであった．これを踏まえて上述の∆xをdxで置きかえると，2 次関数y= (dx)2は定数関数y= 0と見なせる．なぜなら「その程度のdxの小ささ ではy= (dx)2はy= 0に見えない」と文句を言われたら，y= 0に見えるまでdx を小さくすればよい．そうできる約束である．一方で1次関数y=dxの方は，dxを いくら小さくしても1次関数のままである．すなわち，dxも(dx)2も共に無限小で はあるが，両者の性質は明らかに異なる．
以上の観察結果を踏まえて，これ以降は次の算法を認めることにする．
(d3) 無限小dxを基準長さとみなす世界では，(dx)2= 0．
専門用語的には，dxを1位の無限小，(dx)2を2位の無限小と呼ぶ．以上の議論か ら，1位の無限小を基準に寸法を測るときは，2位の無限小は0とみなせる．ようす るに，まっすぐなdxはそのままだが，曲った(dx)2はいくらでも平らになる．ゆえ に，曲ったもの(dx)2は無視(dx)2= 0できる．
2位の無限小の例をもう1つだけ挙げる．曲面z=∆x∆yを考え，先ほどと同様 に，原点(∆x, ∆y) = (0,0)付近を10倍ずつ拡大していく．
-1.
0
∆x 1.
-1.
0
∆y 1.
-1.
0 1.
z
1.
0 1.
0
-0.1
0
∆x 0.1 -0.1
0
∆y 0.1
-0.1 0 0.1
z
0.1
0 0.1
0
-0.01
0
∆x 0.01 -0.01
0
∆y 0.01
-0.01 0 0.01
z
0.01
0 0.01
0
このように原点付近を拡大していくと，曲面z=∆x∆yは猛スピードで水平面z= 0に近づく．したがって，∆x, ∆yをdx, dyで置きかえ，dxとdyがともに無限小 であると仮定すると，dxdy= 0と見なせる．なぜなら「その程度のdxやdyの小さ さでは曲面z=dxdyは水平面z= 0に見えない」と言われたら，平面z= 0に見え
るまでdx, dyを(独立に)どんどん小さくすればよい．したがって，次の規約も認め
ざるを得ない．
(d4) 無限小dxとdyを基準長さとみなす世界では，dxdy= 0．
以上，(d1)から(d4)までの議論を認めると，
算法8 (独立変数の微分): x, yを独立変数とする．このとき，x, yの微分dx, dyに ついて，次の算法が成立する．
(dx)2= 0, (dy)2= 0, dxdy= 0
この他，従属変数の微分は算法9(p.90)に従う． □ Note (2位の無限小が基準の場合—その1): 本書には出てこないが，2辺の長さ がdxとdyであるような長方形の面積dxdyの大きさを基準に考える場合もある．
こんどはdxdyが基準なのでdxdy= 0だと何も議論できない．そこでdxdy̸= 0と して議論を進めるのだが，すると歪(わい)対称性