放物運動

地上で物を投げると重力により地上に落ちてくる。重力下での物体のこのような 運動を放物運動という。

O y

mg y

⁰

[

例題

2.5]

図のように，鉛直上向きに

y

軸をとり，原点

y = 0 m

を地表の高さとする。

y

0の高さから質量

m

の小 石を初速度

v

0で鉛直方向に投げた。小石を落とした瞬間を

t = 0,

重力加速度の大きさを

g

とする。

(1)

落下中の小石の運動方程式を書きなさい。

(2)

運動方程式を時間で積分することによって，小石の 速度および位置の時間変化を表す式を導きなさい。

(3) y

0

= 20 m

で小石の初速度が

v

0

= 0 m/s

のとき，小石が地表に落ちる までの時間を求めなさい。

(g ≃ 10 m/s

² として概算してよい。

) (4) y

0

= 20 m

で，小石が地表に落ちるまでの時間が

1 s

だった場合につ

いて初速度

v

₀の値を求めなさい。また，その符号から

t = 0

における 小石の運動の向きが上下どちら向きであったかを述べなさい。

[

解説

] (1)

小石の運動方程式は以下の通り^[∗]。

[∗]運動方程式をy¨=−gと書かないこと。

m¨ y = − mg (2.40)

重力の向きが座標軸と逆向きなので，重力項に

’ − ’

がついていることに注意せよ。

(2)

運動方程式

(2.40)

の両辺を

m

で割り，さらに積分をすることにより，順次速 度と位置を得ることができる。

∫

¨ ydt =

∫ ( − g)dt

˙

y = − gt + C

1

(2.41)

∫

˙ ydt =

∫

( − gt) + C

1

dt y = − g

2 t

²

+ C

₁

t + C

₂

(2.42)

式

(2.41)(2.42)

より，時刻

t = 0

での小石の速度と位置は

˙

y(0) = C

1

, y(0) = C

2

(2.43)

一方，題意より

y ˙

₀

(0) = v

₀

, y(0) = y

₀を上式と比べると

C

₁

= v

₀

, C

₂

= y

₀である ことがわかる。この結果を式

(2.42)

に代入すると

y = − 1

2 gt

²

+ v

₀

t + y

₀

· · · (

答

) (2.44)

2.3

万有引力

33

(3) y

₀

= 20 m, v

₀

= 0 m/s

を式

(2.44)

に代入し，

y(t) = 0 m

となる時刻

t

を求 める。

0 = − 1

2 gt

²

+ 20 m t

²

= 2 × 20 m

g

= 2 × 20 m 9.8 m/s

²

≃ 4 s (2.45)

以上より

t ≃ 2 s

を得る。

· · · (

答

) (4)

式

(2.44)

を

v

0について解くと，

v

0

= y − y

0

+

¹₂

gt

²

t (2.46)

上式に

y

₀

= 20 m, t = 1 s

を

y(1) = 0 m

となる初速度

v

₀を求める。

v

₀

= 0 m − 20 m +

¹₂

× 9.8 m/s

²

× (1 s)

²

1 s

≃ − 15 m/s · · · (

答

) (2.47)

v

₀

< 0

なので，

t = 0

での小石の運動の向きは座標軸の負の方向すなわち下向きで あったことがわかる。

· · · (

答

)

[

例題

2.6]

質量

m

のボールを，水平面に対して角度

θ

上方に向けて，初速度

v

₀で投げた。空気抵抗は無視して以下の問に答えよ。座標軸は，水平方向に

x

軸をとり，その正の方向はボールを投げ出した方向とする。また，鉛直上向 きに

y

軸をとり，ボールを投げ出した位置を原点，重力加速度の大きさを

g

と する。

(1)

ボールの運動方程式をたてよ。

(2)

運動方程式より，ボールの位置

(

高さおよび水平方向に飛んだ距離

)

を 時間

t

の関数として表しなさい。

(3)

ボールが地面に落ちる

(y = 0)

時刻を求めなさい。

(4)

ボールが地面に落ちるまでに飛ぶ距離を求めなさい

(5)

ボールを水平方向に一番遠くまで投げるには，どのような角度で投げ るのがよいか

?

また，このときのボールの飛距離はどれだけか

?

(6)

時速

100km

の初速度でボールを投げることのできる人が遠投に挑戦し

た。最長で何

m

投げられるだろうか

?

[

解説

]

θ

x y

mg v

0

v

0

cos θ v

0

sin θ

図

2.13 (1)

ボ ー ル に は 重 力 の み が 働 く の で

(

図

2.13)

，運動方程式は次式で与えられる。

{

m¨ x = 0

m¨ y = − mg · · · (

答

) (2.48)

(2)

運動方程式の各式の両辺を

m

で割り，

時間で積分すると次式が得られる。

{

˙ x = C

x

˙

y = − gt + C

y

(

積分定数

C

x

, C

y

) (2.49)

さらに積分すると

{ x = C

_x

t + C

_x2

y = − g

2 t

²

+ C

y

t + C

y2

(

積分定数

C

x2

, C

y2

) (2.50)

式

(2.49)(2.50)

より時刻

t = 0

のときの速度と位置は

{

˙

x(0) = C

x

˙

y(0) = C

y

{

x(0) = C

x2

y(0) = C

y2

(2.51)

で与えられる。一方題意より

{

˙

x(0) = v

₀

cos θ

˙

y(0) = v

₀

sin θ {

x(0) = 0

y(0) = 0 (2.52)

式

(2.51)(2.52)

を比べると積分定数は以下のようになることがわかる。

{

C

x

= v

0

cos θ C

y

= v

0

sin θ

{

C

x2

= 0

C

y2

= 0 (2.53)

上式を式

(2.49)(2.50)

に代入して

{

˙

x = v

0

cos θ

˙

y = − gt + sin θ (2.54)

 



x = v

0

cos θ · t y = − 1

2 gt

²

+ v

0

sin θ · t · · · (

答

) (2.55)

式

(2.54)

よりボールの水平方向の運動は等速度運動であることがわかる。また，

g = 0

ならば式

(2.54)

および

(2.55)

の第

2

式第

1

項はいずれも

0

になり，重力が 働かなければ鉛直方向も等速度運動であることがわかる。言いかえると

鉛直方向の運動

=

初速度で決まる等速度運動

+

重力による落下運動 である

(

図

2.14)

。

x

y 1

2 gt

²

図

2.14

重力が働かなければボールは直線 上を等速度運動をするが，重力の影響によ り時間t^{の間に 1}₂gt^{2だけ落ちる。落ちる} 距離は，初速度の向きやボールの質量とは 無関係に時間だけで決まる。

式

(2.55)

から時間

t

を消去すると二 次曲線

(y = ax

²

+ bx + c

の形

)

になる。

このため二次曲線はしばしば放物線とも 呼ばれる。

(3)

式

(2.55)

の第

2

式で

y = 0

となる 時刻

t

を求める。

0 = − g

2 t

²

+ v

₀

sin θ · t (2.56)

これを解くと

t = 0, 2v

₀

g sin θ (2.57)

ドキュメント内 2 (ページ 40-43)