摩擦力

n

f

s

x U‡

t w y

図3.14: 物体表面に作用する摩擦応力

3.4.4 形状係数

排除厚さδ1を運動量厚さδ2で割ったものを形状係数H（shapef actor)と呼ぶ。

H =δ₁ δ2

=δ₁ θ = δ^∗

θ (3.80)

この係数は境界層の中の速度分布の形状に関係する。平板境界層に対する形状係数の値は

• 層流平板境界層では、H= 2.59

• 乱流平板境界層では、H= 1.4（あるいはH = 1.3) となる。

形状係数はその値が大きくなると剥離を起こす前兆となる。形状係数が大きい流れとは、運動量 の損失を表す高さに比べて、相対的に排除厚さが増大する場合である。H は逆圧力勾配（adverse pressure gradient；流れ方向に圧力が増大する）が大きくなればなるほど大きくなる。以下の値に達 すると剥離が起こると予測されている。

• 層流では、H = 3.5

• 乱流では、H = 2.4

つまり、平板上の流れでは、剥離は生じないことが確認できる。

3.5. 摩擦力 73

3.5.1 局所摩擦力

壁でのせん断応力（shearing stress、あるいはfrictional stress）は、以下の式により定義される。

τw(x) =µ (∂u

∂y )

y=0

(3.81) ここでの座標yは、壁に垂直な方向の座標で、壁の曲率が小さいときにはこのような近似が可能で ある。これが、物体表面の局所で働き、場所によってその値が異なる摩擦応力（frictional stress）で ある。

第3.3節で述べた平板まわりの流れの場合には、Blasiusの解を上式に代入すると、平板流れに対 する局所摩擦応力は

τw(x) = µ

√U_∞ νx

( ∂

∂ηU_∞f^′(η) )

η=0

(3.82)

= αµU_∞

√U_∞

νx (3.83)

となる。ここで、表(3.1)の数値計算結果より，

α=f^′′(0) = 0.33 (3.84)

である。平板の前縁から下流側に遠ざかるほど摩擦応力は減少していく。

3.5.2 局所摩擦係数

式（3.83）の摩擦応力を無次元化すると、平板流れに対する無次元局所摩擦係数Cfが得られる。

Cf = τ_w(x)

ρU_∞²/2 =αν 2 U_∞

√U_∞ νx = 0.66

√ ν

U_∞x (3.85)

となる。先に定義した、xレイノルズ数Re_x(≡U_∞x/ν)を使用すると，

C_f = 0.66

√Re_x (3.86)

と書ける。これを見ると、局所せん断力係数C_f は，xレイノルズ数の平方根に反比例することが分 かる。

ちなみに、乱流境界層では、局所摩擦係数は

C_f = 0.0576 Re^1/5x

(3.87) となる。さらに、層流から乱流へ遷移する領域では、

Cf = 0.0576 Re^1/5x

− A Rex

, A=Rex,cr(Cf,turbulent−Cf,laminar) (3.88) と近似される。ここで、Rex,crは、臨界レイノルズ数である。

s

b

x

lx

図 3.15: 摩擦抵抗が作用する3次元物体

U‡

s

s p

p p

p p

ˆ³—Í‘å

p

ˆ³—͏¬

図 3.16: 圧力抵抗

3.5.3 摩擦抵抗

摩擦力により物体全体に掛かる粘性抵抗D_f（viscous drag）は、摩擦応力を物体表面全体にわた り積分することによって得られる。

D_f =b

∫ l s=0

τ_wcosϕ ds (3.89)

ここで，b はスパン方向の幅を，lは表面に沿う長さを表す。また、ϕは物体表面の接線ベクトルと x軸（主流方向）のなす角度である。sを表面に沿う方向とすれば、

cosϕ ds=dx (3.90)

より，Df は

Df =b

∫ l_x s=0

τwdx=bµ

∫ l_x x=0

(∂u

∂y )

y=0

dx (3.91)

となる。ここで、lxはx軸方向の物体の長さである(表面に沿う長さではない）。

一般的には、物体にはこれらの粘性抵抗のほかに，剥離などによる圧力抵抗が生じる。これらの形 状に依存する抵抗を形状抵抗（profile drag）と呼ぶ。もし，流れがポテンシャル流れであれば，一 様流U⃗_∞ 方向の力、つまり、抗力は0になる。これをダランベールの背理(d’Alembelt’s paradox) と呼ぶ。これに関しては、テキスト「非圧縮性流体力学」の第５章を勉強されたい。

２次元平板に作用する摩擦抵抗力Df は，(3.91),(3.83)より，

D = b

∫ l x=0

τ_wdx

= b

∫ l x=0

αµU_∞

√U_∞ νxdx

= 2bα√

ρµU_∞³l (3.92)

3.5. 摩擦力 75

( ) CDf=

10 10 10

4 5 6

Laminar

(Blasius)

Turbulent

(Plandtl)

transition

0.455

logRl 2.58 C

D f 10

-2

10 -3

10 -4

Re l

= 0.074Re -1/5

C D

f

= 1.328Re -1/2

C D

f

図 3.17: 平板の摩擦抵抗係数

となる。もし、平板の両面（上面と下面）に掛かる摩擦力を考慮するならば，

2D= 4bα√

ρµU_∞³l= 1.328b√

U_∞³µρl (3.93)

となる。

ここで、これらの式から、平板の摩擦抗力D_fに関して以下の特徴が得られる。

• 摩擦抗力D_f は，

– 速度に関して、U_∞^3/2に比例する。

– 長さに関して、l^1/2に比例する。

– 粘性係数に関して、µ^1/2に比例する。

– 密度に関して、ρ^1/2に比例する。

• l^1/2に比例することから，短い板ほど相対的に摩擦抵抗は大きくなる。下流部では境界層が厚 く，その分、壁での速度勾配が小さくなるために、壁に作用するせん断力が弱まる。

3.5.4 摩擦抵抗係数  C

_Df

摩擦抵抗Dを無次元化すると、一般性が生じ、種々の物体の抵抗を比較するのに便利である。こ れを摩擦抵抗係数と呼び、以下のように定義される。

C_Df = 2Df 1

2ρU_∞² ·S (3.94)

ここで、(1/2)ρU_∞² は動圧である。（動圧は単位体積の流体の運動エネルギーであるとも解釈できる）。

また、Sは濡れ面積（wetted surface area）と呼ばれ、流体が物体に接触する面積である。

平板の流れでは、上面と下面が流れに接触している場合、面積Sは

S= 2bl (3.95)

となる。

平板に対して求めた摩擦抵抗Dfである式(3.93)を式(3.94) に代入すると，抵抗係数は、

C_Df = 1.328

√U_∞l ν

= 1.328

√Re_l (3.96)

U‡

Stagnationi“b‚Ý“_j

Separation

i”—£“_j s

s

図3.18: 物体表面からの剥離現象

s

”—£“_

‹t—¬irecirculated flowj

•Ç‹ß‚­‚Å‚Í,kinetic energy‚ª¬‚³‚¢D

p p

1 2

1 2

p p

>

y

x

図 3.19: 剥離点近傍の流れ模様

となる。つまり、板の長さに基づいたレイノルズ数Relの平方根に反比例する。抵抗係数は、板が長 いほど小さくなる。

式(3.96)は，Rel<5×10⁵ ∼ 10⁶ の範囲で成立する。Relがそれ以上大きくなると、流れは乱 流となり，摩擦抵抗係数は増大する。

(参考)乱流の場合の摩擦抵抗係数は、解析的には得ることができず、経験式となる。例えば、

CDf = 0.074

Re^1/5 (3.97)

などがある。

また、乱流で、かつ圧縮性の影響を考慮した摩擦抵抗係数の式として、

C_Df = 0.455

(log₁₀Re)^2.58(1 + 0.144M²)^0.65 (3.98) などがある。この式を見ると、マッハ数Mが大きくなるにつれ、摩擦抵抗係数は減少する。つまり、

圧縮性は摩擦抵抗係数を減らす方向に作用する。(了)

ドキュメント内 2 (Preface) (potential flow) viscosty ( 0 (vorticity) (boundary layer) (shearing stress) (frictional stress) (frictional drag)) (laminar flow) (turbul (ページ 77-81)