第 3 章 境界層理論 57
3.6 境界層の剥離
U
StagnationibÝ_j
Separation
i£_j s
s
図3.18: 物体表面からの剥離現象
s
£_
t¬irecirculated flowj
ÇßÅÍ,kinetic energyª¬³¢D
p p
1 2
1 2
p p
>
y
x
図 3.19: 剥離点近傍の流れ模様
となる。つまり、板の長さに基づいたレイノルズ数Relの平方根に反比例する。抵抗係数は、板が長 いほど小さくなる。
式(3.96)は，Rel<5×105 ∼ 106 の範囲で成立する。Relがそれ以上大きくなると、流れは乱 流となり，摩擦抵抗係数は増大する。
(参考)乱流の場合の摩擦抵抗係数は、解析的には得ることができず、経験式となる。例えば、
CDf = 0.074
Re1/5 (3.97)
などがある。
また、乱流で、かつ圧縮性の影響を考慮した摩擦抵抗係数の式として、
CDf = 0.455
(log10Re)2.58(1 + 0.144M2)0.65 (3.98) などがある。この式を見ると、マッハ数Mが大きくなるにつれ、摩擦抵抗係数は減少する。つまり、
圧縮性は摩擦抵抗係数を減らす方向に作用する。(了)
3.6. 境界層の剥離 77
y
d
d : «Ewú³ u
( )
Ýu
Ýy y=0
( )
Ýu
Ýy y=0
>0 =0
( )
Ýu
Ýy y=0
<0
£_ t¬
図 3.20: 剥離点近傍の速度分布
3.6.1 剥離点
ここでは、まず剥離点を定義しよう。以下のように定義される。
(∂u
∂y )
y=0
= 0 (3.99)
つまり、物体表面から垂直方向に、主流方向uの速度勾配がゼロになるところである。別の言い方を すれば、せん断力τがゼロになるところである。
剥離が実際に物体表面上のどこで起きるかは，境界層方程式を解いてみないと分からない。そのと き、上流からマーチングして計算していき、境界層方程式が解けなくなったところ、より正確には、
その付近に剥離点が存在する可能性がある。つまり、一般的に境界層方程式は剥離点の近くまでしか 計算できない。なぜならば、剥離点付近では境界層近似が成立しなくなるためである。つまり、剥離 点付近では境界層が厚くなり，もはや境界層近似、言いかえれば、
∂
∂y ≫ ∂
∂x (3.100)
が成立しなくなる。主流方向(x方向)の変化も大きくなる。つまり、
∂
∂y ∼ ∂
∂x (3.101)
となる。この場合には、ナビエ・ストークス方程式を解く必要がある。
3.6.2 圧力勾配と剥離との関係
剥離は常に減速流において起こる。つまり、式(3.19)より, dp
dx >0 (3.102)
の流れである。
式(3.28)より，y= 0（壁面上）では，
µ (∂2u
∂y2 )
y=0
= dp
dx (3.103)
となる。これは一つの大事な性質である。
y
u 0
y
0
y
u
ÔÍ
X[YÉ
ÂȪé
0ÉÈé
ùzÍ0 u̪zªãÉÊ
Ýu
Ýy
Ýu
Ýy 2
2
Ýu
Ýy 2
2
0
図 3.21: 物体表面に沿って加速流の場合
また，もう一つの性質として，運動方程式(3.28)をyで微分する。
∂u
∂y
∂u
∂x +u ∂2u
∂x∂y +∂v
∂y
∂u
∂y +v∂2u
∂y2 =−1 ρ
∂2p
∂x∂y +ν∂3u
∂y3 (3.104)
となる。この式で、y→0にする。そのとき、
u= 0, v= 0 , ∂u
∂x = 0 , ∂v
∂y =−∂u
∂x = 0, ∂2p
∂x∂y = 0 (3.105)
を式（3.104）に代入すると，次式が得られる。
(∂3u
∂y3 )
y=0
= 0 (3.106)
つまり，uの2階微分∂2u/∂y2 の勾配は壁で0になる。
式(3.103)より，壁のところでの速度分布の曲率は，圧力勾配にのみ依存する事が分かる。
• 逆圧力勾配(adverse pressure gradient)のとき dp
dx >0 →
(∂2u
∂y2 )
y=0
>0 (3.107)
• 順圧力勾配(favorable pressure gradient)のとき dp
dx <0 →
(∂2u
∂y2 )
y=0
<0 (3.108)
• 圧力勾配がないとき，
dp
dx = 0 →
(∂2u
∂y2 )
y=0
= 0 (3.109)
となる。圧力勾配が無いときには（つまり、平板流）、速度分布の曲率半径は無限大になる、つまり、
直線的な分布になる。これに関しては、図(3.9)を参照のこと。
以上の特徴を図的にまとめると，
• 加速流(∂p/∂x <0)の場合は第3.21図になる。
• 減速流(∂p/∂x >0)の場合は第3.22図になる。
3.6. 境界層の剥離 79
y
u 0
y
0 u
K¸ÏÈ_ª
Å«é
(inflexion point)
y
0 0ÉÈé
Åålª
²Ìr
ÅN«é
ùzÍ0
Ýu
Ýy
Ýu
Ýy 2
2
図 3.22: 物体表面に沿って減速流の場合
q x
U
o f
図 3.23: 円柱表面を表す座標
第3.21図と第3.22図を比較すると，境界層が剥離するときは壁面上で ∂u∂y = 0となるから，dpdx >0
，つまり第3.22図の場合のみ剥離が起こる可能性がある。
外部流の例として、この後、円柱周りの流れについて述べるが、内部流の例として、ダクトの中の 流れが考えられる。
• 縮流筒では、流れが加速し、圧力勾配が主流方向に負となり、剥離現象は生じない
• 拡散筒では、圧力勾配が主流方向に正となり、剥離が生じる可能性が大である。拡がり角を大 きくすると、剥離が生じ、総圧損失が増大する。
[参考]航空宇宙機の翼などにおいては、流れの速度が速くなって、局所的に超音速になると、その 下流で衝撃波が発生する。流れが衝撃波を横切ると、圧力が増加するために、この圧力上昇がそこで の境界層内を浸透していき、翼表面に到達する。境界層内はおおよそ亜音速であるために、この圧力 が上がったという擾乱情報は境界層内を上流に伝わっていく。この結果、境界層内では、圧力勾配が 正となり（dp/dx >0）、逆圧力勾配の結果、境界層が剥離する。層流の場合には、この剥離がはな ばなしく現れ、λ型衝撃波が剥離点より発生する。一方、乱流では、この剥離現象が小さめにおさえ られる。
3.6.3 円柱まわりの剥離
円柱は単純な形状をしているので、むかしから2次元問題として良く研究されている。円柱まわり の剥離に関係して，以下の有名な図3.24を示す。横軸のθは、円柱の前縁からの角度である。この 図では、比較のために、ポテンシャル流の圧力分布が示されている。これは，
Cp= p−p∞
1
2ρU∞2 = 1−4 sin2θ (3.110)
で表される。
図 3.24: 円柱周りの圧力分布
sub
super
subcritical : ¬êªw¬£
supercritical : ¬êª¬£
図3.25: 亜臨界流れと超臨界流れ
粘性のある実際の流れでは、ポテンシャル流の場合のように円柱表面に沿ったまま付着して流れる ことはできない。それはここで述べたように流れ方向に圧力勾配が存在するからである。また、剥 離する場合でも、その剥がれ方は、流れが層流と乱流では異なってくる。層流の場合、図3.25で示 すように、亜臨界（subcritical）の状態では、より上流側の表面で剥がれてしまう。一方、乱流にな ると、つまり、超臨界（supercritical）の場合にはより下流側まで剥がれずに持続し、その後剥がれ る。これらは、表面に作用する圧力を積分すると、結果として抵抗が違ってくる。これが圧力抵抗
（pressure drag）である。つまり、層流では抵抗は大きく、乱流では小さい。このちょうど変わり目 を、あるいは、臨界(critical)状態を抵抗急変（drag crisis）と呼ぶ。乱流になると、流れが下流側ま で物体表面に付着し、その結果圧力回復が生じ、後ろから押してくれる力の成分が増えることにな る。これにより抵抗は減少する。
図3.24から分かるように、亜臨界状態では、ベース圧力(物体後ろ側の圧力）の圧力係数がCp=−1 程度に減少し、超臨界状態では、ベース圧力の圧力係数がCp= 0ぐらいに上昇する。この分、後ろ から押し返す力が増大する。ちなみに、ポテンシャル流では、後縁で澱点となり、そこでは圧力係数 がCp= +1になる。
3.7. 空力係数 81