推定量の選び方

一般に、不偏推定量はたくさんありえるので、不偏であるだけでは、推 定量としては不十分である。一般に、推定量としては、最低でも不偏推 定量であることが望ましい。さらに、一致推定量であれば、サンプルを 増やすことで、良い推定量になる。与えられたデータを増やせない場合 には、その中で、最尤推定量をとるのが良い。

10.5. 推定量の選び方 45

Example 10.9. ある商品に関するアンケート調査を考える。この商品の満

足度の期待値µを求めたい。ランダムに抽出した２人に、アンケートをし て、商品の満足度(X₁,X₂)のデータを得た。推定値として、サンプル平均

µˆ2= X₁+X₂

2 (10.28)

をとると、不偏推定量であることがわかる。一方、ランダムに抽出する 人数をもっと増やして、1000人にした場合、

µˆ1000= 1 n

∑

X_i, (10.29)

としても、同じように不偏推定量である。

Problem 10.4. 上の二つの推定量が不偏であることを示せ。

しかし、直感的にもµˆ1000の方が、望ましい推定量であることがわかる。

これは、分散を比較することで定量的に、明らかにできる。

Problem 10.5. 二つの推定量の分散を比較せよ。

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第 11 _{章 信頼区間}

Chapter 10では、どのような推定量を使うのが適切かを学んだ。しかし、

「その推定量が、真の値にどれくらい近いのか？」

ということが、まだわかっていない。この章では、さまざまな場面を設 定し、この疑問に答える。

Problem 11.1(フロリダの降雨確率). あなたが、フロリダに一日滞在した

とする。その日がたまたま雨であったとする。あなたの滞在した日は、ラ ンダムサンプルと言えるから、フロリダの降雨確率は、

雨が降った日数

滞在した日数 =1, (11.1) という推定量で推定できる。この推定量が真のフロリダの降雨確率とど の程度かけ離れているだろうか？

Problem 11.2. ある企業の監査を行なった。１０の伝票をチェックしたら、

不正なく処理されていることがわかった。その企業が正当な会計処理を 行なっている確率を

不正のない伝票の数

チェックした伝票の数=1, (11.2) という推定量で推定できる。この推定は、正しいか？

11.1 正規分布を使って信頼区間を求める：分散既 知の場合

データX1,X2, ...,Xnが正規分布からのランダムサンプルであるとする。

すると、期待値µ^=E[X]の推定量として、サンプル平均x¯を使うのは自 然である。

¯ x= 1

n

∑

X_i. (11.3)

11.1. 正規分布を使って信頼区間を求める：分散既知の場合 47 Theorem 11.1. x¯も正規分布である。

Proof. Theorem 8.7より、独立な正規分布の和は、正規分布なので、x¯も 正規分布である。

この定理から、x¯の分布がわかった。しかし、我々が知りたいのは、x¯ がどの程度、真の値µから離れているかである。その距離をcと考える と、我々の目標は、

真の値µ^が[x¯−c,x¯+c]に入る確率

を評価することである。もし、この評価ができたとすると、これを逆に 使うことで、

真の値µ^が[x¯−c,x¯+c]に入る確率を95%とするようなc を求めることができる。

Definition 11.1 (信頼区間と信頼度). データX₁,X₂, ...,X_nを使って、パラ メータµ^をx¯で推定するとき、その推定値と真の値の誤差の大きさを信 頼区間[x¯−c,x¯+c]、その信頼区間の信頼度をCLとする。

より詳しくは、真の値µ ^{と推定値x¯}には次の関係が成立する。

P{x¯−c<µ ^<x¯+c}=CL. (11.4) Theorem 11.2(信頼区間). データX₁,X₂, ...,Xnが正規分布からのランダム サンプルであるとき、

P{x¯−c<µ ^<x¯+c}=0.95, (11.5) (11.6) を満たすcは、

c= 1.96_√ σ

n , (11.7)

で与えられる。すなわち、信頼度95%の信頼区間は、

[x¯−c,x¯+c] = [

¯

x−1.96_√ σ

n ,x¯+1.96_√ σ n

]

, (11.8)

となる。

48 第11章 信頼区間 はじめに、次のLemmaを証明しておく。

Lemma 11.1.

Z= _√x¯−µ σ^{2/n =}

√nx¯−µ

σ ^{, (11.9)}

は、標準正規分布N[0,1]に従う。

Proof. x¯の平均はµ^,分散はσ^2/nなので、Theorem 8.5の変形を使えばよ い。

Proof of Theorem 11.3. Lemma 11.1を使うと、

P{x¯−c<µ ^<x¯+c}=P{−c<x¯−µ ^<c}

=P{−c√ n σ ^<

√nx¯−µ σ ^<

c√ n σ ^}

=P{−c√ n

σ ^<Z<

c√ n σ ^}. ここで、標準正規分布の性質より、

P{−1.95<Z<1.95}=0.95. (11.10) したがって、

c=1.96_√ σ

n . (11.11)

Problem 11.3. 信頼区間の大きさは、何を表しているのか？どんなときに、

信頼区間は小さくなるか？

11.2 t 分布を使って信頼区間を求める：分散未知