第 2 章 非線形力学系モデルによる大域的最適化手法 6
2.6 非線形力学系最適化計算モデルの計算特性とその課題
2.6.1 探索軌道の様子
Table 2.6 Parameters of DHA
Parameter Explanation How to set
kmax Maximum search steps Fixed value
aii, aij Coefficients that gives mixing Fixed value ϵg
Gradient norm value used as the
crite-rion for local search converegence Fixed value ϵv
Velocity norm value used as the
crite-rion for local search converegence Fixed value ϵE
Error tolerance with respect to objec-tive function value used as the criterion for convergence to global minima
Fixed value µ Dissipative rate of Hamiltonian Fixed value T Period of Hamiltonian dissipation Fixed value
∆T Sampling parameter It is set in order to search for the whole feasiable region.
まず，DGCMの探索軌道Fig.2.9をみると，離散化幅のアニーリングによって，カオス 的探索軌道が安定化していくことで，探索点の挙動は，大域的探索から局所的探索へと遷 移し，最も安定であると考えられる局所解（この場合は大域的最適解）へ収束している様 子が確認できる．
つぎに，DGCMを利用した手法であるIDMの探索軌道Fig.2.10をみると，カオス的探 索軌道が，貯水変換によってカオス的探索軌道に対して安定化された領域へ収束すること を繰り返しながら，各カオス的探索の離散化幅初期値∆Tmax′ を徐々に小さくすることで，
探索可能領域を小さくしていき，最終的に大域的最適解を得ている様子が確認できる．な お，Fig.2.10では，見易さのために探索後期の様子のみを示している．
つぎに，IDMに対して探索履歴の中で最良の点への引き寄せを付加したIDMwSHの探 索軌道Fig.2.11をみると，脱出した谷近傍への探索の集中化の強化により，IDMと同様 な探索軌道を発現しながら，各カオス的探索の収束期において，脱出した谷の中でもより 目的関数値が小さかった谷へ引き寄せられつつ，最終的にIDMと比較して少ない探索ス テップ数で大域的最適解へ収束している様子が確認できる．
つぎに，DNDM (C)の探索軌道Fig.2.12をみると，非線形抵抗の安定・不安定の周期に
対応して局所解近傍からの収束・発散を繰り返しつつ，離散化幅のアニーリングにより探 索軌道の安定化が図られ，最終的にある局所解へ収束している様子が確認できる．なお本 論文では，ωをω= 10.0と比較的大きく設定することで，Fig.2.8のようにsinの値を激 しく変化させ，軌道の収束・発散を激しく切り替え，より多様性を持った探索軌道を発生 させることを意図した．Fig.2.12からは，このωの設定の効果が反映されていることも確 認できる．なお，ω= 0.5でのシミュレーションも行ったが，ω= 10.0の場合より劣った 結果となっており，よりカオス的なω= 10.0の設定に有意性があることを付記しておく．
つぎに，DNDM(A)の探索軌道Fig.2.13をみると，探索点は局所解に近づくことで速度
を失いかけると非線形抵抗によってエネルギーを受けとることで収束を回避しつつ大域的 探索を実行し，非線形抵抗の強さを決定するd0と離散化幅のアニーリングにより探索軌 道の安定化が図られ，最終的にある局所解（この場合は大域的最適解）へ収束している様 子が確認できる．
最後に，DHAの探索軌道Fig.2.14をみると，探索点は，エネルギーが保存されている ので，ハミルトニアン散逸が起こる周期ごとに一様な探索を行いつつ，総探索ステップ数 6000∼8000付近において，目的関数値の低い領域を集中的に遷移した後，最終的にハミ ルトニアン散逸によってエネルギーを失い探索を終了している様子が確認できる．なお，
最良解の更新が行われない探索後期においては，同じ初期点にリセットされながら，徐々 に探索領域を狭めている．
Table 2.7 Parameter Settings inSim 2.1
max
max
4 max
4 4
4 4
m ma
x 1
x
a 0 2
0.03 0.03 Model Parameter Settings
4000, 10 DGCM
10.0, 0.01, 10 , 10 , 20 IDM
10.0, 0.01, 10 , 10 , 10, 20 IDMwSH
4000, 4.0, 1.0, DND
0.03, 0.05 M (C)
g
g E
g E
k
T
T
T
T T
k d d d
T c
ε
β δ ε ε
β δ ε ε
−
− −
− −
= =
= = = = =
= = = = = =
= = =
∆ =
∆ =
=
=
=
−
∆
ɶ
4
4
max 0 max 1 2
4 6 4
ma m
x ax
max
0.5, 10.0, 1.0, 10
4000, 4.0, 1.0, 2.0, 1.0, 10 DNDM (A)
50000, 12.
0.02, 1.0
0.02,
0, 2.0, 10 , 10 , 10 , 0.5, 500
DH
0.1 A 0.0
04
g
g
ii ij g v E
k
T m
d d d
k a a T
T m
T
ω ε ε
ε ε
ε ε ε µ
−
−
− − −
= = =
= = = =
∆ = =
∆ =
= =
= = =
∆
=
=
= =
=
= =
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 20 40 60 80 100
ω = 10 ω = 0.5
k
Fig. 2.8 sin(ωk)(ω= 10,0.5)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 20 40 60 80 100 120 140
1
x
k
pbE
Fig. 2.9 Search Trajectory of DGCM forProb.6(N = 10).
Red plots show the search trajectory ofx1.
Blue plots show the transition of the best objective function value of the search history.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
55000 60000 65000 70000 75000 80000 85000 90000 95000-2 0 2 4 6 8 10 12 14
1
x
Search Steps
pbE
Fig. 2.10 Search Trajectory of IDM forProb.6(N = 100).
Red plots show the search trajectory ofx1.
Blue plots show the transition of the best objective function value of the search history.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 0 500 1000 1500 2000 2500
1
x
k
pbE
Fig. 2.11 Search Trajectory of IDMwSH forProb.6(N = 100).
Red plots show the search trajectory ofx1.
Blue plots show the transition of the best objective function value of the search history.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 50 100 150 200 250
1
x
k
pbE
Fig. 2.12 Search Trajectory of DNDM (C) forProb.6(N = 10).
Red plots show the search trajectory ofx1.
Blue plots show the transition of the best objective function value of the search history.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 50 100 150 200 250
1
x
k
pbE
Fig. 2.13 Search Trajectory of DNDM (A) forProb.6(N = 10).
Red plots show the search trajectory ofx1.
Blue plots show the transition of the best objective function value of the search history.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
1
x
Search Steps
bestE
Fig. 2.14 Search Trajectory of DHA forProb.6(N = 100).
Red plots show the search trajectory ofx1.
Blue plots show the transition of the best objective function value of the search history.
Table 2.8 Parameter Settings inSim 2.2
c
DGCM DHA
∆Tmax ∆Tmax ∆Tmax m ∆Tmax m ∆T Prob.1 0.02 0.02 0.01 0.01 0.25 0.01 0.01 0.002
Prob.2 150.0 20.0 0.01 20.0 80.0 4.0 10.0 0.7
Prob.3 0.002 0.002 0.01 0.01 1.0 0.002 0.001 0.002
Prob.4 0.02 0.1 0.01 0.02 1.0 0.02 0.01 0.004
Prob.5 0.07 0.2 0.5 0.05 5.0 0.03 0.1 0.008
Prob.6 0.03 0.03 0.05 0.02 1.0 0.03 0.05 0.004
Problem IDM, DNDM (c) DNDM (A)
IDMwSH