従来の計算アルゴリズムの問題点

第2章で述べた3-OTPEの計算アルゴリズム(以下では，従来法3-OTPE，あるいは単 に従来法と呼ぶ)では，3 階テンソルA と，任意に選んだ正規直交初期ベクトル

) 0 ( ) 0 ( ) 0

( ,~ , ~

~

n n

n v w

u との縮約[4]によって得られる3個の行列について，それぞれべき乗法を 適用して展開ベクトルu_n,v_n,w_nを求める．

テンソルのサイズをLMNとしてL,M,Nの最小の値を_mとすると，第 2 章の Algorithm 2.2に示したように3-OTPEの計算では，まずm個の1次独立な展開ベクト ルの組を求める．しかし，サイズL,M,Nのいずれか 1個，あるいは複数個が_mより

大きい場合には残りの1次独立な展開ベクトルを得るために付加的な処理を行う必要 があった．即ち，Gram-Schmidtの直交化法による残項の計算である[1]．

Gram-Schmidtの直交化法は，ベクトル空間上で線型独立なベクトルの組が与えられ

たとき，そこから直交するベクトルの組を作り出す一般的な手法である[5, 6]．3-OTPE はこの手法を，mを超える次元のベクトル空間内でm個以降の展開ベクトルを求める のに利用している．その際，_Lm1であれば残りのベクトルは1個であり一意に定 まるが，Lm1のときには直交化の際に与える初期ベクトルに依存して，求める直 交ベクトルが一意に定まらないため，それらのベクトルのテンソル積で構成した展開 項にも一意性がなくなる．従って，元のテンソルとの相対残差を最小にする展開項を 構成する展開ベクトルを求めたことにはならない[7]．

本章では 3-OTPEの計算法を改良し，この問題を解決する．この問題は，特にテン

ソルの次元のサイズが異なる場合に生じると考えられるため，_LMNテンソルを，

全ての次元のサイズが等しい場合には立方体テンソル，どれか1個でも次元のサイズ が異なる場合には非立方体テンソルと呼ぶことにして，数値実験により従来の3-OTPE と改良計算法の計算精度と計算時間について有効性を調べる．

4.3 3 階直交テンソル積展開の計算アルゴリズムの改良

4.2節で述べた問題を解決するために，3-OTPEの展開ベクトルの計算法を次のよう に変更する．

テンソルAR^I1I2I3，(I₁L,I₂ M,I₃ N)について，従来法と同様に_m個の1次 独立な展開ベクトルを求める．各次元のサイズのうち最も小さいサイズをm，

) , , min(L M N

m とすると，I₁の次元に対応する展開ベクトルu₁,u₂,,u_m，I₂の次 元 に 対 応 す る 展 開 ベ ク ト ル v₁,v₂，,v_m ，I₃の 次 元 に 対 応 す る 展 開 ベ ク ト ル

wm

w

w₁, ₂,, がそれぞれm個得られる．mNと仮定すると，I₃の次元に対応する展 開ベクトルについてはw₁,w₂,,w_N全てが求まる．第3章で示したように，第1展開 ベクトルu₁,v₁,w₁は元のテンソルを最良近似する項を構成するベクトルで，これから 最も大きな展開係数が得られる．そこで，展開ベクトルが全て求まった次元の第 1展 開ベクトルw₁を用いて，元のテンソルAとの縮約から得られるLM行列Fˆを

ˆ w1

F A (4.1)

により求め，この行列Fˆの特異値分解(SVD)[8, 9]を計算して，

VT

U

Fˆ  ˆ  ˆ (4.2)

と分解すると，行列_U^ˆ_,V^ˆ の列ベクトル_uˆ₁,_uˆ₂,,_uˆ_L，_vˆ₁,_vˆ₂,,_vˆ_Mはそれぞれ，L個，

M 個の展開ベクトルとなる．これらのベクトルはSVDの定義から互いに正規直交基底 であり，これを改良手法における展開ベクトルとする．この手順を3階直交テンソル積 展開の計算法の改良アルゴリズムとして，Algorithm 4.1に示す．

Algorithm 4.1: 3階直交テンソル積展開の改良計算法

(1) 第 2 章 Algorithm 2.2 のm個の 1 次独立な展開ベクトルの組の計算により，

3 2 1 I I I 

R

A ，(I₁L,I₂M,I₃N)のmmin(L,M,N)項までの展開ベクトル を求める．

(2) (1)で求めた展開ベクトルのうち，L,M,Nのうち最も小さいサイズを持つ次元 に対応する第1展開ベクトルを使用して，元のテンソルAとの縮約を取り，行 列Fˆ を求める．(ここでは，m Nの場合について記述する．)

ˆ . w1

FA (4.3)

(3) 行列Fˆ を次のように特異値分解する．

ˆ . ˆ

ˆ U V^T

F  (4.4)

ここで，ˆ (ˆ ˆ ˆ ₎

2

1 u uL

u

U  ， ˆ (ˆ ˆ ˆ ₎

2

1 M

T v v v

V   である．u_i uˆ_iとし て次元I₁に対応する展開ベクトル，v_i vˆ_iとして次元I₂に対応する展開ベクト ルとする．ただし，次元I₃に対応する展開ベクトルは(1)で得られた展開ベクト ルw₁,w₂,,w_Nをそのまま利用する．

(4) 元の3階テンソルAと(3)の展開ベクトルのテンソル積との内積から展開係数

ijkを求める．

).

( _{i j k}

ijk  A u v w

 (4.5)

(Algorithm 4.1 終わり)