定理8.1を証明する前に，ゴルトン-ワトソン過程に関するいくつかの性質を示す必要がある．まず，母関数f から帰納的にfnを，f1=f そして任意のn≥1に対してfn+1=f◦fnと定義する．
命題 8.2 n≥1に対して，Z0= 1という条件のもとでのZnの母関数はfnである．
《証明》
帰納法で示す．
gnをZ0= 1のもとでのZnの母関数とするとgn(s) =E(sZn|Z0= 1) (i)n= 1のとき
g1(s) =E(sZ1|Z0= 1) =E(s∑1i=1Yi) =E(sYi) =f1(s) が成り立つ．
(ii)gn(s) =fn(s)が成り立つと仮定する．
まず，はじめにZn =kで条件を付けると，Zn+1の分布は∑k
i=1Yiの分布と同じである．ただし，Yiは分布 (pk)k≥0に従う独立同分布の確率変数である．
ゆえに，
E(sZn+1|Zn=k) =E(s∑ki=1Yi)
=E(sY1+Y2+···+Yk)
=
∏k i=1
E(sYi)
=f(s)k
よって，
gn+1(s) =E(
sZn+1|Z0= 1)
=
∑∞ k=0
E(
sZn+1,1{Zn=k}|Z0= 1)
=
∑∞ k=0
∑∞ j=0
P(Zn+1=j, Zn =k|Z0= 1)·sj
=
∑∞ k=0
∑∞ j=0
P(Zn+1=j, Zn=k, Z0= 1) P(Z0= 1) ·sj
=
∑∞ k=0
∑∞ j=0
P(Zn+1=j, Zn=k, Z0= 1)
P(Zn=k, Z0= 1) ·P(Zn=k, Z0= 1) P(Z0= 1) ·sj
=
∑∞ k=0
∑∞ j=0
P(Zn+1=j|Zn =k)P(Zn=k|Z0= 1)·sj
=
∑∞ k=0
P(Zn=k|Z0= 1)
∑∞ j=0
P(Zn+1=j|Zn=k)·sj
=
∑∞ k=0
P(Zn=k|Z0= 1)·E(sZn+1|Zn=k)
=
∑∞ k=0
P(Zn=k|Z0= 1)·f(s)k
=gn(f(s))． 仮定より
gn(f(s)) =fn(f(s)) =fn+1(s) より，すべてのnについて成り立つ．
命題 8.3
E(Zn|Z0= 1) =mn (n≥0) が成立している．
《証明》
まず，明らかに次の式が成り立つ．
E(Zn|Z0= 1) =∑
k≥1
E(Zn|Zn−1=k)P(Zn−1=k|Z0= 1)
また，m=E(Y) =E(Z1|Z0= 1)であることと，{Yi}は独立でY と同分布であることに注意すると，任意の k≥1に対して
E(Zn|Zn−1=k) =E ( k
∑
i=1
Yi )
=E(Y1+Y2+· · ·+Yk)
=km が成り立つ．
したがって，
E(Zn|Z0= 1) =∑
k≥1
E(Zn|Zn−1=k)P(Zn−1=k|Z0= 1)
=∑
k≥1
kmP(Zn−1=k|Z0= 1)
=m∑
k≥1
kP(Zn−1=k|Z0= 1)
=mE(Zn−1|Z0= 1) これを繰り返せば
E(Zn|Z0= 1) =mn−1·E(Z1|Z0= 1)
=mn−1·E1(Z1)
=mn これで定理8.1を証明する準備ができた．
《定理8.1の証明》
まずm <1の場合を考える．
任意の非負の整数値をとる確率変数Xの期待値に関して E(X) =∑
k≥0
kP(X =k)≥∑
k≥1
P(X=k) =P(X≥1) の不等式が得られる．この不等式と命題8.3を用いると
P(Zn≥1|Z0= 1) =E(Zn|Z0= 1) =mn が成立する．
ここで，nを大きくするとm <1より
(8.2.1) lim
n→∞P(Zn ≥1|Z0= 1) = 0 が得られる．また，事象列{Zn≥1}は単調に減少する．
したがって
nlim→∞P(Zn≥1|Z0= 1) =P
∩
n≥0
{Zn≥1}|Z0= 1
=P(任意のn≥0に対してZn ≥1|Z0= 1)． ゆえに，m <1のとき(8.2.1)より，
P(任意のn≥0に対してZn≥1|Z0= 1) = 0 が成り立つ．
次に，m= 1，m >1の場合について
Z0= 1の条件のもとでのZnの母関数はfnであったので
P(Zn= 0|Z0= 1) =fn(0)
そして，事象{Zn= 0}はnに関して増加しているので lim
n→∞P(Zn= 0|Z0= 1) = lim
n→∞fn(0) =P
∪
n≥0
{Zn = 0}|Z0= 1
が得られる．
ここで，
q= lim
n→∞fn(0)
=P
∪
n≥0
{Zn = 0}|Z0= 1
=P(あるn≥0に対してZn= 0|Z0= 1) で定義する．fn+1(0) =f(fn(0))であるのでnを大きくするとf の連続性により
f(q) =q m= 1の場合
f′(s) =∑
k≥1
k·pksk−1
<∑
k≥1
k·pk
=m= 1 (0< s <1) が得られる．f(s) =∑∞
k=0pkskは[s,1]で連続，(s,1)で微分可能であるから平均値の定理により f(1)−f(s)
1−s =f′(c) となる c(s < c <1) が存在する ゆえに
f(1)−f(s) =f′(c)(1−s)
<1−s
⇔1−f(s)<1−s
⇔f(s)> s (s <1) を得る．
ゆえに，f(s) =sを満たす解は閉区間[0,1]ではs= 1のみとなる．したがってq= 1となる．
次にm >1の場合
f′(1) =m >1でf′の連続性から，もし1−η < s <1ならば1< f′(s)< f′(1) =mとなるようなηが存在 する．したがって平均値の定理により
f(1)−f(s)
1−s =f′(c) となる c(s < c <1) が存在する ゆえに
f(1)−f(s) =f′(c)(1−s)
>1−s
⇔1−f(s)>1−s
⇔f(s)< s (s <1)
を得る．
ところで，s= 0でf(0) =p0 ≥0となるので中間値の定理によりf(s) =sを満たす解は半開区間[0,1)で少 なくとも1つ存在する．この解をs1とする．(f(s1) =s1を満たす)
ここでこの解は半開区間[0,1)で一意的に決まることを背理法により示す．
そのために，半開区間[0,1)でs1とは異なる解t1が存在すると仮定する．ところで，f(1) = 1であるので平均 値の定理により，開区間(0,1)で
f′(ξ1) =f′(ξ2) = 1 を満たす解ξ1，ξ2(ξ1̸=ξ2)が存在する．（グラフの挿入）
一方，p0+p1<1より開区間(0,1)内の任意のsについて f′′(s) =∑
k≥2
k(k−1)pksk−2>0
となるので，f′(s)は0< s <1で狭義単調増加となるが，これは上のf′(ξ1) =f′(ξ2) = 1に矛盾する．
ゆえに，f(s) =sの解はq=s1かq= 1の2つしかない．さらに，背理法を用いるためにq= 1とすると 1 =q= lim
n→∞fn(0)
であった．このことより，nが十分大きくなるとfn(0)>1−ηが成り立つ．
ゆえに，
1−η < s <1なら，f(s)< sよりf(fn(0))< fn(0)
が導かれる．しかしこれ，f(fn(0)) =fn+1(0)< fn(0)は，fn(0)がnに関して単調増加であることに反する．
よってq=s1．
そして，q=s1<1なので0< q <1 ゆえに，
P(任意のn≥0, Zn≥1|Z0= 1) = 1−P(あるn≥0, Zn= 0|Z0= 1)
= 1−q
>0． よって示された．
さて，次にゴルトン-ワトソン過程は0にいくか無限大にいくかのいずれかであることを示そう．
系 8.4 p0+p1<1と仮定する．ゴルトン-ワトソン過程Znのすべての状態k≥1は非再帰的である．さらに P( lim
n→∞Zn = 0) =q P( lim
n→∞Zn=∞) = 1−q が成り立つ．
《証明》
p0= 0とする．
このとき，粒子の数は第1世代から次の世代へ移るにつれて増加するだけである．したがって，任意のk≥1 に対して
pn(k, k) ={(p1)k}n
が成り立つ．いまq1<1なので
nlim→∞pn(k, k)<∞． ゆえに，任意のk≥1に対して非再帰的である．
次に，p0>0とする．
このとき，ある状態k≥1に対して状態kにはじめて戻ってくる時刻を Tk= inf{n≥1 :Zn=k} で定義する．
もし第1世代に粒子が存在しなければ状態kには戻れないので
P(Tk <∞|Z0=k)≤1−p0k<1 定義によりこれは非再帰的を表す．
次に，事象A={nが無限大になっても，Znは無限大にならない}について
この事象A∋ω上ではZn(ω)が無限回，集合{0,1, . . . , N(ω)}を訪れるような整数N(ω)が存在する．Znは 非再帰的なので定理7.7よりZnがどの状態k≥1にも有限回だけ確率1で戻ってくることが分かる．
ゆえに，これが可能なのはZn がA上で0に収束するときに限る．このことは，Aが起こってZnが0に収束 するか，Aが起こらないでZnが無限大になるかのいずれかを示す．
したがって，Znが確率qで0に収束するので，Znが確率1−qで無限大になる．
9 ツリー上における臨界確率の一意性
第5章において，Z2上の臨界確率pcとpT の一意性を示すことができた．この章では臨界確率の一意性がツ リー上において成り立つこと，およびそのときの臨界確率の値を示す．ツリーにはZ2にはない性質がある．それ はツリー上においてループが存在しないということである．つまり，ある点xからスタートしてある点xに戻る 開路は，ツリーの性質上同じ点を2度通過しなければならないので，ループは存在しない．
また，ツリー上におけるパーコレーションは前章の分子過程に帰着することが知られている．
9.1 ツリーについて
はじめに，2分ツリーを例にとってツリーの説明をする．
まず，ルートと呼ばれる特別な点が存在する．ルートには2人 ルート の子どもがいて，またその2人の子どもにはそれぞれ2人の子
どもがいるという状況が以下同様に続いていく．つまり，ルート は第0世代，その子どもは第1世代，· · · と続く．第k世代では 2k個の点が存在する．ルートには2個の最近接点が存在し，他
のすべての点には3個の最近接点が存在する．したがって各点から出発するボンドは(ルートを除いて)3個存在 する．
次に，これをもとにn分ツリーについて説明する．まず，同様にルートと呼ばれる特別な点が存在する．ルー トにはn人の子どもがいて，またそのn人の子どもにはそれぞれn人の子どもがいる．という状況が以下同様に 続いていく．一般に第k世代ではnk個の点が存在する．ルートにはn個の最近接点が存在し，他のすべての点 にはn+ 1個の最近接点が存在する．したがって各点から出発するボンドは(ルートを除いて)n個存在する．
ここで，p∈[0,1]とする．各ボンドはすべて他のボンドとは独立に，確率pで開き確率1−pで閉じていると する．そしてCをツリー上のオープンパスでルートにつながっている点の集合とする．言い換えれば，Cはルー トを含む開クラスターである．
9.2 n 分ツリーでの臨界確率の一意性
2分ツリー，3分ツリーを考えた後，n分ツリーの場合，そして分岐の数が各世代において変数x(2≤x≤n) である場合について臨界確率の一意性およびその時の値を考える．
9.2.1 2分ツリーの場合
まず，はじめにいくつか記号を決める．
Znをオープンパスでルートにつながっている第n世代の個体の数とし，Z0= 1(ルートの個数)とする．
ある親が与えられると，開いたボンドでその親につながっている子どもの数Y は，2項分布B(2, p)に従う確率
変数となる．すなわち次のように表せる．
P(Y =k) = 2Ckpk(1−p)2−k (k= 0,1,2) また，n≥1に対してZnは
Zn=
Z∑n−1
i=1
Yi
と書ける．ただし，YiはB(2, p)に従う独立同分布な確率変数とする．したがってZnはゴルトン-ワトソン分枝 過程となる．また，ZnとCとの関係は
|C|=∑
n≥0
Zn
で与えられる．これより，
θ(p) =P(|C|=∞) =P(すべてのn≥1に対して，Zn≥1) が導かれる．また定理8.1により
θ(p) =P(すべてのn≥1に対して，Zn≥1)>0 とE(Y) = 2p >1とは同値であることが分かる．
したがって，2分ツリー上のパーコレーションに対する臨界確率pc= 12となる．
次に臨界確率pT について．pT = inf{p∈[0,1];Ep(|C|) =∞}であったのでE(|C|)について考える．命題 8.3より
E(|C|) =E
∑
n≥0
Zn
=∑
n≥0
E(Zn)
=∑
n≥0
(2p)n． このE(|C|)の値とpT の定義から，pT = 12であることがわかる．
つまり，2分ツリーにおいて臨界確率pcとpT の一意性が示され，その値はpc=pT =12 である．
9.2.2 3分ツリーの場合
2分ツリーの場合と同様に考えると次の定理を得る．
定理 9.1 3分ツリーにおける臨界確率pcとpT は一致し，その値は 1
3である．
《証明》
2分ツリーのときと同様に，Znをオープンパスでルートにつながっている第n世代の個体の数とし，Z0= 1(ルー トの個数)とする．
ある親が与えられると，開いたボンドでその親につながっている子どもの数Y は，2項分布B(3, p)に従う確率 変数となり，
P(Y =k) = 3Ck·pk·(1−p)3−k (k= 0,1,2,3)
と表せる．
また，n≥1に対してZnは
Zn=
Z∑n−1
i=1
Yi
と書ける．ただし，YiはB(3, p)に従う独立同分布な確率変数とする．したがってZnはゴルトン-ワトソン分枝 過程となる．ZnとCとの関係は
|C|=∑
n≥0
Zn で与えられる．
このとき，2分ツリーのときと同様にしてθ(p)の定義と，定理8.1により，
θ(p) =P(|C|=∞)
=P(∑
n≥0
Zn=∞)
=P(すべてのn≥1に対して，Zn≥1)>0
⇔E(Y) = 3p >1
よって3分ツリーの上のパーコレーションに対する臨界確率はpc = 13となる．2分ツリーのときと同様に臨界確 率pT について考えると，
E(|C|) =E
∑
n≥0
Zn
=∑
n≥0
E(Zn)
=∑
n≥0
(3p)n このE(|C|)の値とpT の定義から，pT =13 であることがわかる．
つまり，3分ツリーにおいて臨界確率pcとpT の一意性が示され，その値はpc=pT =13 である．
9.2.3 n分ツリーの場合
n分ツリーのとき，次の定理が成立する．
定理 9.2 n分木において，臨界確率pcとpT は一致し，その値は 1nである．
《証明》
文字が混同するため，m分ツリーとして考える．Znをオープンパスでルートにつながっている第n世代の個体 の数とし，Z0= 1(ルートの個数)とする．
ある親が与えられると，開いたボンドでその親につながっている子どもの数Y は，2項分布B(m, p)に従う確 率変数となり，
P(Y =k) = mCk·pk·(1−p)m−k (k= 0,1,2, . . . , m) と表せる．
また，n≥1に対してZnは
Zn=
Z∑n−1
i=1
Yi
と書ける．ただし，YiはB(m, p)に従う独立同分布な確率変数とする．したがってZnはゴルトン-ワトソン分枝 過程となる．ZnとCとの関係は
|C|=∑
n≥0
Zn
で与えられる．
このとき，θ(p)の定義と，定理8.1により，
θ(p) =P(|C|=∞)
=P(∑
n≥0
Zn=∞)
=P(すべてのn≥1に対して，Zn≥1)>0
⇔E(Y) =mp >1
よってm分ツリーの上のパーコレーションに対する臨界確率はpc =m1 となる．臨界確率pT について考えると，
E(|C|) =E
∑
n≥0
Zn
=∑
n≥0
E(Zn)
=∑
n≥0
(mp)n このE(|C|)の値とpT の定義から，pT =m1 であることがわかる．
つまり，m分ツリーにおいて臨界確率pcとpT の一意性が示され，その値はpc =pT =m1 である．
9.2.4 各世代における分岐の数が変数x(2≤x≤n)の場合
ツリー上の各世代における分岐の数がそれぞれ2からnのいずれかの値をとる場合について考える．このとき 次の定理が成り立つ．
定理 9.3 あるi世代の分岐の数をxi (2≤xi ≤n)とする．このxi分ツリーにおいて，臨界確率pcとpT は一 致し，その値はsup
i
1
xi である．
《証明》
ルートをZ0= 1とし，あるi世代の分木の数をxiとする．第n世代の全サイト数は
∏n i=1
xi ただし2≤xi≤n
あるi世代において，両親が与えられたとき，開いたボンドでその両親につながっている子どもの数Y は二項分 布B(xi, p)に従う確率変数となる．すなわち
P(Yi =k) = xiCk·pk·(1−p)xi−k (k= 0,1, . . . , xi)
Znをオープンパスでルートにつながっている第n世代の個体の数とする．このとき，n≥1に対して Zn=
Z∑n−1
i=1
Yi