|ρα(x)ρα(y)(e−α|x−y|−1
α )| ≤ ρα(x)ρα(y)|x−y|
≤ ρα(x)ρα(y)(|x|+|y|) ∈ L1(R3).
命題7.2から,各点xでραはαについて連続なので,
α→0limρα(e−α|x|−1
α )=−|x|ρ0(x),
α→0limρα(x)ρα(y)(e−α|x−y|−1
α )=−|x−y|ρ0(x)ρ0(y).
これでルベーグ収束定理が使えることがわかったので,式(126)でα→ 0と して,
d2Eα
dα2 |α=0=−Z
∫
|x|ρ0(x)dx+1 2
∫
|x−y|ρ0(x)ρ0(y)dxdy=:−C3. R3×R3空間でほとんどいたるところ|x−y|<|x|+|y|かつρ0正値なので,
C3=Z
∫
|x|ρ0(x)dx−1 2
∫
|x−y|ρ0(x)ρ0(y)dxdy
>Z
∫
|x|ρ0(x)dx−1 2
∫
(|x|+|y|)ρ0(x)ρ0(y)dxdy
=Z
∫
|x|ρ0(x)dx−Z
∫
|x|ρ0(x)dx=0.
step2.各エネルギーの漸近式を求める.
step1と命題7.2(2)の dEα
dα |α=0= 12Z2より, Eα = E0+1
2Z2α−1
2C3α2+o(α2), dEα
dα = 1
2Z2−C3α+o(α).
これらを命題8.1の3式に代入すれば結果を得る.
(証明) step1.u∗α ∈H1(R3)に対しh,0, h∈R3として,Dhu∗α:= u∗α(x+h|h)−|u∗α(x) と定める. D−h(Dhu∗α) ∈ H1(R3)よりvとしてD−h(Dhu∗α)がとれて, f, g ∈ H1(R3)に対し∇D−hg=D−h∇g,∫
f(D−hg)dx=∫
(Dhf)gdxに注意すれば,
∫
(|∇Dhu∗α|2+α2(Dhu∗α)2+6πV
1
α2(Dhu∗α)2)dx=−2α
∫
VαD−h(Dhu∗α)dx. よって,
min{1, α2}
∫
(|∇Dhu∗α|2+α2(Dhu∗α)2)dx ≤2α||Vα||L2(R3)||D−h(Dhu∗α)||L2(R3). 命題7.1よりVα(x) ≤min{|x|Z, π29|x|4}=:M(x) ∈L2(R3)であり,
min{1, α2}||Dhu∗α||2H1(R3)≤2α||M(x)||L2(R3)||D−h(Dhu∗α)||L2(R3).
補題4.11よりDhu∗α ∈H1(R3)なので||D−h(Dhu∗α)||L2(R3)≤ ||∇Dhu∗α||L2(R3),こ れより,
min{1, α2}||Dhu∗α||2H1(R3) ≤ 2α||M(x)||L2(R3)||∇Dhu∗α||L2(R3)
≤ 2α||M(x)||L2(R3)||Dhu∗α||H1(R3).
よって, ||Dhu∗α||H1(R3)≤ 2α||M(x)||L2(R3)
min{1, α2} (∀h,0∈R3) 特に||Dh∂u∗α
∂xj ||L2(R3)≤ 2α||M(x)||L2(R3)
min{1, α2} (∀h,0∈R3 j=1, 2, 3) (128) 補題4.11より,これから∂u∗α
∂xi ∈ H1(R3) (i=1, 2, 3).これとu∗α ∈H1(R3)より u∗α ∈H2(R3).さらにソボレフの埋め込み定理からu∗α ∈H2(R3) ⊂L∞(R3)なの でαによらない定数Cがあって,
||u∗α||L∞(R3)≤C||u∗α||H2(R3) (129) step2.u∈H1(R3)に対し,ある定数Cがあって,||Dhu||L2(R3)≤C(∀h,0∈ R3)ならば||∂x∂ui||L2(R3)≤C(i=1, 2, 3)であることを示す.Cc∞(R3)がH1(R3) で稠密なので,u ∈Cc∞(R3)として示せばよい.h =teiとしてh →0でt →0 なので,
h→0lim||Dhu||2L2(R3)=lim
t→0
∫
(u(x+tei) −u(x)
t )2dx≤C2. u∈Cc∞(R3)なのでルベーグ収束定理が使えて,
t→0lim
∫
(u(x+tei) −u(x) t )2dx=
∫ (∂u
∂xi)2dx=||∂u
∂xi||2L2(R3)≤C2.
step3.(128)にstep2の結果を適用し,
|| ∂2u∗α
∂xi∂xj||L2(R3)≤ 2α||M(x)||L2(R3)
min{1, α2} (i, j=1, 2, 3) (130) 一方, (127)のvとしてu∗αをとれば,
∫
(|∇u∗α|2+α2(u∗α)2+6πV
1
α2(u∗α)2)dx=−2α
∫
Vαu∗αdx. これよりstep1と同様に計算し,
||u∗α||H1(R3)≤ 2α||M(x)||L2(R3)
min{1, α2} . (131)
(130), (131)から,
||u∗α||2H2(R3)=||uα∗||2H1(R3)+
∑3 i=1
∑3 j=1
|| ∂2u∗α
∂xi∂xj||L22(R3)≤10(2α||M(x)||L2(R3)
min{1, α2} )2.(132) 0<|τ| < α2 とすればα
2 < α+τ < 3α2 なので, (129), (132)からτによらない 定数Cαがあって,
||u∗α+τ||L∞(R3)≤C||u∗α+τ||H2(R3)≤Cα. 補題8.3 α >0で ∂V∂αα は次を満たす.
−∂Vα
∂α(x)=Z e−α|x|−
∫
ρα(y)e−α|x−y|dy
−
∫ (−∂ρ∂αα(y))e−α|x−y|
|x−y| dy(x∈R3\ {0}).
特に0<−∂Vα
∂α(x)<Z e−α|x|(∀α∈ (0, ∞), ∀x∈R3\ {0}).
(証明)定理2.1(2)のオイラーラグランジュ方程式から,
0<Vα(x) −Vα+h(x) h
= Z
|x|(e−α|x|−e−(α+h)|x|)
h ) −
∫ ρα(y)e−α|x−y|−ρα+h(y)e−(α+h)|x−y|
h|x−y| dy. (133) 右辺第2項にh→0でルベーグ収束定理が使えることを確認する.0< θ <1 として平均値の定理を使い,0<|h|< α2 として,
h→0lim
ρα(y)e−α|x−y|−ρα+h(y)e−(α+h)|x−y|
h|x−y|
=ρα(y)e−α|x−y|+−∂ρ∂αα(y)e−α|x−y|
|x−y| , I :=|ρα(y)e−α|x−y|−ρα+h(y)e−(α+h)|x−y|
h|x−y| |
≤ |ρα+θh(y)e−α+θh|x−y||+|(−∂ρ∂αα|α+θh(y))e−(α+θh)|x−y|
|x−y| |. (134)
命題7.1よりVα(y) ≤min{|y|Z, π29|y|4}=:M(y)なので,
|∂ρα
∂α (y)|=|3
2Vα(y)12∂Vα
∂α(y)|=3
2Vα(y)12|u∗α(y)| ≤ 3
2M(y)12|u∗α(y)|.
これと補題8.2からθ, hによらない定数Cαがあって||u∗α+θ
h||L∞(R3)≤Cαな ので,
sup
0,h∈(−α2, α2)
sup
0,y∈R3(M−12(y)|∂ρα+θh
∂α (y)|) ≤ sup
0,h∈(−α2, α2)
sup
0,y∈R3
3
2|u∗α+θh(y)|
≤3
2 sup
0,h∈(−α2, α2)||u∗α+θh||L∞(R3)≤ 3
2Cα. (135)
(134), (135)より,
I ≤ |ρα2(y)e−α2|x−y||+|
3
2CαM(y)12e−α2|x−y|
|x−y| | ∈L1y(R3).
これでルベーグ収束定理が使えるので, (133)でh→0として, 0<−∂Vα
∂α (x)=Z e−α|x|−
∫
ρα(y)e−α|x−y|dy−
∫ (−∂ρ∂αα(y))e−α|x−y|
|x−y| dy.(136) これから,−∂ρ∂αα(y)>0なので,
0<−∂Vα
∂α <Z e−α|x|(∀α∈ [0, ∞), ∀x∈R3\{0}) もわかる.
定理2.3(3)の証明. step1.命題7.2(7)より十分小さいα > 0ではρ0(x)>
ρα(x) (x ∈ R3\{0})なのでV0(x) = ρ0(x)23 > ρα(x)23 = Vα(x). よって,定理
2.1(2)のオイラーラグランジュ方程式から
0<V0(x) −Vα(x)
α = 1
α{Z(1−e−α|x|)
|x| −
∫ ρ0(y) −ρα(y)e−α|x−y|
|x−y| dy}.
Z =∫
ρ0(y)dyとρ0(y) −ρα(y)e−α|x−y| ≥ρ0(y)(1−e−α|x−y|)から, 0<V0(x) −Vα(x)
α ≤
∫
ρ0(y){(1−e−α|x|)
α|x| −(1−e−α|x−y|) α|x−y| }dy
=:
∫
ρ0(y){f(α|x|) − f(α|x−y|)}dy. (137) 但し f(t)は次のように定め, f′(t)も定まり,
f(t)=
1−e−t
t (t >0)
1 (t =0), f′(t)=
−1−e−tt2−te−t (t >0)
−12 (t =0).
ここで f′(t)は[0, ∞)で連続関数で,limt→∞ f′(t) = 0であり,さらに −1
2 ≤
f′(t) ≤ 0である.なぜなら1−e−t−te−t =: g(t)とおくと, g(0)=0, g′(t) =
te−t≥0よりg(t) ≥0なのでf′(t)=−gt2(t) ≤0となる.またg(t) −12t2 =:h(t)と おくとh(0)=0, h′(t)=te−t−t ≥0よりh(t) ≤0なので0≤ −h(t)t2 = f′(t)+12 となるからである.これよりmaxt≥0|f′(t)|=12 であることに注意して,平均値 の定理で0< θ <1として
|f(α|x|) − f(α|x−y|)| = |f′(α|x|+θα(|x−y| − |x|))| ·α||x| − |x−y||
≤ 1
2α|y|. (138)
(137), (138)から
0<V0(x) −Vα(x)
α ≤1
2α
∫
|y|ρ0(y)dy. 命題7.1より0<|y|ρ0(y) ≤min{Z32
|y|12, π327|y|5} ∈L1(R3)なので∫
|y|ρ0(y)dyは 有限値であり,C1:=∫
|y|ρ0(y)dyとおくと, V0(x)>Vα(x) ≥V0(x) −1
2C1α2(x∈R3\{0}).
ところで,V0 >VαのときV0+V
1 2 0 V
1 α2+Vα
V 1 2 0 +Vα12
< 32V
1 2
0 である.なぜならp(t) := 32t−
1+t+t2
1+t とおくと,t>0でp′(t)=t2(1+t)2+2t+32 >0よりp(t)は狭義単調増加関数なの でt>1でp(t)>p(1)=0.t=V
1 2 0 V
1 α2
>1をとれば結果を得る,これを使って,
0< ρ0(x) −ρα(x)
α2 =V0(x)32 −Vα(x)32
α2 =(V0(x) −Vα(x)
α2 )(V0(x)32−Vα(x)32 V0(x) −Vα(x) )
=(V0(x) −Vα(x)
α2 )(V0+V
1 2 0V
1 α2+Vα V
1 2 0 +V
1 α2
)< 3
4V0(x)12C1
∫
|y|ρ0(y)dy.
よって,
ρ0(x)> ρα(x)> ρ0(x) −3
4C1V0(x)12α2(x∈R3\{0}).
∂ρα
∂α (x)|α=0 =0(x∈R3\{0}).
step2. 補題8.3とZ =∫
ρ0(y)dy, ρ0(y)> ρα(y)から, 0<−∂Vα
∂α (x) < Z e−α|x|−
∫
ρα(y)e−α|x−y|dy
= Z e−α|x|−
∫
ρ0(y)e−α|x−y|dy+
∫
(ρ0(y) −ρα(y))dy
−
∫
(ρ0(y) −ρα(y))(1−e−α|x−y|)dy
<
∫
ρ0(y)|e−α|x|−e−α|x−y||dy+
∫
(ρ0(y) −ρα(y))dy.
定理2.3(1)より∫
(ρ0(y) −ρα(y))dy=4π1 ∫
ρ0(x)23dxα2+o(α2).平均値の定理 より0< θ <1として|e−α|x|−e−α|x−y||=αe−(α|x|+θα(|x−y|−|x|) | |x| − |x−y| |≤
α|y|なので,
0<−∂Vα
∂α(x)< α(C1+ 1 4π
∫
ρ0(x)23dxα+o(α)).
よってαを十分小さくとれば, 0<−∂Vα
∂α(x) ≤C1α(x∈R3\{0}).
これより0> ∂ρ∂αα(x)=32V
1 α2∂Vα
∂α(x)>32V
1 2 0
∂Vα
∂α(x)=32ρ013∂V∂αα(x)なので, 0> ∂ρα
∂α (x)>−3
2C1ρ013(x)α(x∈R3\{0}),
α→0lim
∂ρα
∂α (x)=0(x∈R3\{0}).
9 定理 2.4( α → ∞ における漸近挙動 ) の証明 .
定理2.4(1)と定理2.4(2)の証明.
定理2.1(1)より,
ρα23(x)= Z e−α|x|
|x| −
∫ ρα(y)e−α|x−y|
|x−y| dy. となる.これより,
Z e−α|x|
|x| > ρα23(x). (139)
この2式から,そして次に補題4.13から, ρα23(x)> Z e−α|x|
|x| −
∫ Z32e−32α|y|
|y|32
e−α|x−y|
|x−y| dy
= Z e−α|x|
|x| −
∫ Z32e−32α|y|
|y|32
dy
α|x||y|max{sinh(αeα|x|y|)| , sinh(α|x|)eα|y| }
≥ Z e−α|x|
|x| −Z32e−α|x|
|x|
∫ e−32α|y|sinh(α|y|)dy α|y|52
= Z e−α|x|
|x| −Z32e−α|x|
|x| C4
α32. (140)
但し,C4 :=∫ e−3
2|x|sinh(|x|)
|x|52 dx.式（139)（140)より,以下 C4 < α32 として, (Z e−α|x|
|x| )32 > ρα(x)>(Z e−α|x|
|x| )32(1−Z12C4
α32 )32. (141)
特にα→ ∞で,
ρα(x)=(Z e−α|x|
|x| )32(1+O( 1 α32)).
式（141)をR3で積分すれば,
2(2πZ
3α )32 > λα >2(2πZ
3α )32(1− Z12C4 α32 )32. 特にα→ ∞で,
λα=2(2πZ
3α )32 +O( 1 α3).
定理2.4(3)の証明.
定理2.4(1)から,Zα∗ :=Z(1−Z12C4
α32 )とおけば, (Z e−α|x|
|x| )32 > ρα(x)>(Zα∗e−α|x|
|x| )32. (142)
これより,Eα,K(ρα)は, 3
5
∫
(Z e−α|x|
|x| )52dx>Eα,K(ρα)>3 5
∫
(Zα∗e−α|x|
|x| )52dx. 変数変換αx=yを行い,
3 5
Z52α α32
∫ e−52|y|
|y|52 dy>Eα,K(ρα)>3 5
(Zα∗)52α α32
∫ e−52|y|
|y|52 dy. C5:=25∫ e−5
2|y|
|y|52 dyとおけば, 3C5Z52
2α12 >Eα,K(ρα)> 3C5(Zα∗)52
2α12 =3C5Z52
2α12 (1− Z12C4 α32 )52. α→ ∞で,
Eα,K(ρα)=3C5Z52 2α12 +O( 1
α2). (143)
式(142)よりEα,A(ρα)は,
−
∫
(Z e−α|x|
|x| )32Z e−α|x|
|x| dx<Eα,A(ρα)<−
∫
(Zα∗e−α|x|
|x| )32Z e−α|x|
|x| dx. Eα,K(ρα)と同様に計算し,
Eα,A(ρα)=−5C5Z52 2α12 +O( 1
α2). (144)
式(142)よりDα(ρα, ρα)は, 1
2
∫
(Z e−α|x|
|x| )32(Z e−α|y|
|y| )32e−α|x−y|
|x−y| dxdy>Dα(ρα, ρα)
>1 2
∫
(Zα∗e−α|x|
|x| )32(Zα∗e−α|y|
|y| )32e−α|x−y|
|x−y| dxdy. 変数変換αx =z, αy=wを行い,C6 := 12∫
(e|z|−|z|)32(e−|w||w| )32e|z−w−|z−w|| dzdwとおけ ば,(e−||zz||)32 ∈L53(R3)より補題4.14からC6<∞であり,
C6Z3
α2 >Dα(ρα, ρα)> C6(Zα∗)3
α2 =C6Z3
α2 (1−Z12C4 α32 )3,
Dα(ρα, ρα)=C6Z3 α2 +O( 1
α72). (145)
Eα=Eα,K(ρα)+Eα,A(ρα)+Dα(ρα, ρα)なので式(143), (144), (145)から, Eα=−C5Z52
α12 +O( 1
α2). (146)
命題8.1のビリアル定理より,dEdαα =α1(Eα,K(ρα)+Eα)なので,式(143), (146) より,
dEα
dα = C5Z52 2α32 +O( 1
α3).
10 定理 2.5 の証明 .
(証明) step1. (1)のρα(x) (x∈R3\{0})についての証明.命題7.2(7)と命題 7.2(7)より0≤αでρα(x)はαについて狭義単調減少.定理2.4(1)よりα→ ∞ でρα(x) →0.命題7.2(7)と定理2.3(3)より0≤αでρα(x)はαについてC1 級.
step2. (1)のλαについての証明.命題7.2(7)と命題7.2(7)より0≤αでλα
はαについて狭義単調減少.定理2.4(2)よりλ→ ∞でλα →0.命題7.2(3)よ り0≤αでλαはαについて連続.α >0で,
h→0lim
λα+h−λα
h = lim
h→0
∫ ρα+h−ρα
h dx.
ここでルベーグ収束定理が成り立つことを確認する.命題7.2(7)よりραは微 分可能で,平均値の定理から0< θ <1として,
h→0lim
ρα+h−ρα h = ∂ρα
∂α, ρα+h−ρα h = ∂ρα
∂α
α=α+θh.
命題7.1のVα(x) ≤min{|x|Z, π29|x|4}=:M(x) ∈L2(R3)と補題8.3より, 0<−∂ρα
∂α
α=α+θh=3 2V
1
α+θh2 (−∂Vα
∂α
α=α+θh) ≤ 3
2M(x)12Z e−α2|x| ∈L1(R3).
以上よりルベーグ収束定理が使えて,
h→0lim
λα+h−λα
h = lim
h→0
∫ ρα+h−ρα
h dx=
∫ ∂ρα
∂α dx.
これで∂λ∂αα の存在がわかった.最後に∂λ∂αα の連続性を確認する.今と同様にル ベーグ収束定理が使えるので,
h→0lim
∂λα
∂α
α=α+h= lim
h→0
∫ ∂ρα
∂α
α=α+hdx=
∫ ∂ρα
∂α
α=αdx= ∂λα
∂α
α=α. step3. (1)のEαについての証明.命題7.2(5)より0≤αでρα(x)はαにつ いて狭義単調減少でC1級.命題7.2(1)よりα→ ∞でρα(x) →0.
step4. (1)のEα,K(ρα)についての証明.命題7.2(7)と命題7.2(7)より0≤α でρα(x)53 はαについて狭義単調減少.これよりでEα,K(ρα)= 35∫
ρα(x)53dx も狭義単調減少.定理2.4(3)よりα→ ∞でEα,K(ρα) →0.
0≤αで命題7.2(2)よりlimh→0ρα+h53 (x)=ρα53(x),また命題7.1より ρα+h53 (x) ≤min{ Z52
|x|52, π53|x|510}=:M(x)52 ∈L1(R3)なのでルベーグ収束定理が使 えて,
h→0lim 3 5
∫
ρα+h(x)53dx=3 5
∫
ρα(x)53dx. よって0≤αでEα,K(ρα)はαについて連続.
0≤αで
h→0lim
Eα+h,K(ρα+h) −Eα,K(ρα)
h = lim
h→0
3 5
∫ ρα+h53 −ρα53 h dx.
ここでルベーグ収束定理が成り立つことを確認する.命題7.2(7)よりραは微 分可能で,平均値の定理から0< θ <1として,
h→0lim 3 5
ρα+h53 −ρα53
h =ρα23∂ρα
∂α, 3 5
ρα+h53 −ρα53
h =ρα+θ23 h∂ρα
∂α
α=α+θh. 命題7.1のVα(x) ≤min{|x|Z, π29|x|4}=:M(x) ∈L32(R3)と補題8.3より,
0<−ρα+θh23 ∂ρα
∂α
α=α+θh =V
3
α+θh2 (−∂Vα
∂α
α=α+θh) ≤M(x)32 ∈L1(R3).
以上よりルベーグ収束定理が使えて,
h→0lim
Eα+h,K(ρα+h) −Eα,K(ρα)
h =lim
h→0
3 5
∫ ρα+h53 −ρα53 h dx=
∫
ρα23∂ρα
∂α dx.
これで ∂Eα, K(ρα)
∂α の存在がわかった.最後に0 ≤αでの∂Eα,K(ρα)
∂α の連続性を 確認する.今と同様にルベーグ収束定理が使えるので,
h→0lim
∂Eα,K(ρα)
∂α
α=α+h = lim
h→0
∫
ρα+h23 ∂ρα
∂α
α=α+hdx=
∫
ρα23∂ρα
∂α
α=αdx
= ∂Eα,K(ρα)
∂α
α=α.
step5. (1)の−Eα,A(ρα)についての証明. 命題7.2(7)と命題7.2(7)より 0 ≤ α で Zρα(x)e−α|x|
|x| は αについて狭義単調減少. これより−Eα, A(ρα) =
∫ Zρα(x)e−α|x|
|x| dxも狭義単調減少.定理2.4(3)よりα→ ∞で−Eα,A(ρα) →0.
step3, step4から0 ≤αで,Eα, Eα,K(ρα)はαについてC1級.このことと ビリアル定理の命題8.1の第1式からαdEdαα は0≤αでαについてC1級.こ のこととビリアル定理の命題8.1の第2式から−Eα,A(ρα)は0≤αでαにつ いてC1級.
step6. (1)のDα(ρα, ρα)についての証明.命題7.2(7)と命題7.2(7)より 0≤αで ρα(x)ρα|x−y|(y)e−α|x−y| はαについて狭義単調減少.これよりDα(ρα, ρα)=
1 2
∫ ρα(x)ρα(y)e−α|x−y|
|x−y| dxdyも狭義単調減少.定理2.4(3)よりα→ ∞でDα(ρα, ρα)
→0.
step3, step4から0 ≤αで,Eα, Eα,K(ρα)はαについてC1級.このことと ビリアル定理の命題8.1の第1式からαdEdαα は0≤αでαについてC1級.こ のこととビリアル定理の命題8.1の第3式からDα(ρα, ρα)は0≤αでαにつ いてC1級.
step7.(2)の証明.命題7.2(6)よりEαはαについて狭義凸関数.定理2.3(2) と定理2.4(3)より,−Eα,AとDα(ρα, ρα)はα →0でもα→ ∞でもαにつ いて狭義凸な関数に漸近していく.定理2.3(2)と定理2.4(3)より,λαとEα,K はα→0ではαについて狭義凹な関数に漸近していき,α→ ∞ではαにつ いて狭義凸な関数に漸近していく.
step8.(3)の証明.α→0のときのエネルギー比は定理2.3(2)による.α→ ∞ のときのエネルギー比は定理2.4(3)による.
11 定理 3.1(BTF 模型のミニマイザーの一意存在と基
本的性質 ) の証明 .
11.1 定理 3.1(1) の証明 .
(証明) step1. ERは下限を持つことを示す.∀ρ∈TRで,ヘルダーの不等式 より,
E(ρ) ≥ 3 5
∫ ρ53 −
∫ ZρχB(R)(x)
|x|
≥ 3
5
∫ ρ53 − (
∫
(ZχB(R)(x)
|x| )52)25(
∫ ρ53)35.
右辺第2項でRy=xとし∫
(ZχB|x|(R)(x))52dx=Z52R12 ∫
B(1) 1
|y|52dy=:Z52R12C′と なる.これを使い,次にヤングの不等式を使い,
E(ρ) ≥ 3 5
∫
ρ53 − (Z52R12C′)25(
∫ ρ53)35
≥ 3
5
∫
ρ53 − {3 5ϵ53(
∫
ρ53)+2
5(C′Z52R12 ϵ52 )}.
ϵ53 = 12 とし, E(ρ) ≥ 3
10
∫
ρ53 −C Z52R12 ≥ −C Z52R12 ∀ρ∈T. (147) ここでCはZ, Rによらない定数.これよりER≥ −C Z52R12.
step2.
step1よりE(ρ1) ≥E(ρ2) ≥ · · · →ERとなる最小化列{ρn}∞n=1 ⊂TRがあ る.{ρn}∞n=1はstep1よりE(ρ1) ≥E(ρn) ≥ 103 ∫
ρn53 −C Z52R12 なので,L53(R3) 有界列である.これより部分列（部分列も{ρn}∞n=1で表記する）{ρn}∞n=1 ⊂TR
とρ0∈ L53(R3)が存在しρn⇀ ρ0とL53(R3)で弱収束する.以上は補題4.18(2) の仮定を満たすので,ρ0∈TR, ER=limn→∞E(ρn) ≥E(ρ0).逆にρ0 ∈TRよ りE(ρ0) ≥ ER.以上よりρ0はERのミニマイザーρRである.
step3.ミニマイザーの一意性とρR(x)が|x|の関数であることを背理法で
示す.
一意性を示す.ρについて∫
ρ53dxは狭義凸関数,∫ ρ(x)ZχB(R)
|x| dxは広義凸関 数([6, 定理2. 6]).また補題4.16(3)からD(ρ, ρ)は狭義凸関数.これらから E(ρ)は狭義凸性を持つ.ミニマイザーが ρ0とσ0と2つあれば, ρ0+σ2 0 ∈TR
かつ狭義凸性よりE(ρ0)+E(σ0)
2 >E(ρ0+σ2 0)となり矛盾.
次にρ(x)は|x|の関数である.もしそうでないと,エネルギー汎関数の回転 対称性から, ρ(x)を直交変換したものもミニマイザーとなり, 一意性と矛盾 する.