凸 多面体のエルハー ト多項式 と相互法則

第3章で得 た単体 のエルハー ト多項式 を用いて、 この節 では、凸多面 体 についてのエルハー ト多項式 と、その相互法則 について考 えてい く。

73

□

詢 詢     翻 ︑

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Ｍ     Ｍ は    謙

＞  一一   と   格

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匹 融 靱

なる

と

第4章

 

多面 体 のエルハー ト多項 式

       74

定義 4.2.l α_{l,.… ,α}N∈

Zを

用 いて、_(号,…・

,7)と

表 され る RⅣ 内の′点 を 券格子 点 とい うことにす る。

定理 ^4。

2.2Pを

RⅣ 内の整 な凸多 面体 と し、定理 4.1.5で 構成 した △ の 頂 点集 合 が

Pの

頂 点集 合 に一致す る

Pの

単体分割 △ を考 え る と、 自然数 ηに対 して 、

j(民

η _)=DEダ

_(二

η )      (4.1)

F∈△

が成 り立つ。

証明

 

単体

Fに

対 して、

FO=F―

∂

Fと

お くと、定義^1.3.4に従 つて考 えれ ば、

とな るので、

1.△ _∋二F′(F≠ ^F′)に^{対 して 、FO∩ FЮ}

=0 2.∪ FO=P

F∈△

を示せ ば よい。

まずは、1について考える。△ ∋二^F′(F≠

「

)と す ると、F∩^F′ は

Fの

面かつ^F′ の面である。FO∩

「

0の 元を

"と^{す ると、 ∈FO∩FЮ ⊂F∩F′}

よ り、

"は Fの

面上かつ^F′ の面上 となる。 この とき、

1.dim F>0ま

たはdim F′

>0の

ときを考 える。

dim F>0と

す る と、 この とき、

Fの

面上の点は

FOに

含 まれ ないので矛盾。

2.dim F=dim F′

=0の

^とき、

"=F=F′

^{となるので、}

^F≠

^{F′ に}

矛盾。

第4章

 

多面体 のエルハー ト多項式

       75

と な る の で 、FO∩ FЮ の 元

"は存 在 し な い 。 し た が っ て 、FO∩FЮ =0と なる。

次に、

^2に

ついて考える。まず、∪ ^{F=￨△ ￨=Pよ} り 、 明らかに∪

^F0

F∈△       FC△

が

Pに

含 まれ る。次 に、

Pが

_∪

FOに

含 まれ ることを考 える。

Pの

任意

F∈△

の元を

"と

すると、 P=∪ ^Fよ り 、

"∈

Fと なる

^F∈

△が存在する。

"∈

Fと

な るF∈ △ の うち、最 も次元の低 い ものを

Fと

す る。

1.dim F=0の

とき、

"∈

F=FOと

な る。

2.dim F>0の

とき、FOブ

"と^{す ると、}

"は Fの

境界上 とな る。 よつ て、dim F>dim F′ となる

Fの

面

「

に

"が

含 まれ る。 これ は

Fの

取 り方 に矛盾す るので、

"∈ FOと な る。

よって、づ_(P,η

)=Σ

^{づ*(二η)が 成 り立つ。}

      

^□

F∈△

定理

4.2.3Pを

RⅣ 内の整 な凸多面体、△ を定理^4.1.5で構成 した単体分 割 とす る と、 自然数 ηに対 して、

づ

^*(鳥

η _)=Σ

E(‑1)dmP dmFJ(F,η⁾

F∈△

が成 り立つ。

この定理 4.2.3の 証 明は一般 の次元 では難 しいので、 こ こでは

dim P=

2,3の時 を示 す。 実 際 には一般 の次元 で成 り立つ こ とが知 られ て い る。

証 明

 

命題 2.1.5を 用 いて考 えれ ば、示 した い こ とは、

(P― ^∂

P)の

中の

方格 子点 の数

=Σ

_〕‑1)dimP dimF(Fの 中の

力格 子′点の数 ) とな る。

● まず 、

dim P=2の

ときを考 え る。

dim P=2な

ので、

ダ に→ =Σ ^づ

^(二

_{→一 Σ Eづ}

^(二

→ +Σ _{Eり に→} 0

FがF∈ △1単体

FがF∈ △2単体

FがF∈ △0単体

第4章

 

多面体のエルハー ト多項式

       76

が成 り立てば よい。 そ こで、

Pの

内点

"と^、

Pの

_境界点

"に

^{ついて考 え}

る。式 _(4.2)の左辺 は、(P― ∂P)内_{の 分格子′}点の数 を数 えているので、右 辺 において も点

"が

内点の ときは数 えて、点

"が

境界上 にあるときは数 えない よ うにすれ ば よい。 よつて、

1,点

"が Pの

内点 となるとき、

("を^含む2単_体

Fの

数_)―( を含 む1単体

Fの

数₎

+(■ を含 む0単体

Fの

数

)=1 (4,3)

2.点 が境界上 にある とき、

("を^含む2単体

Fの

数)―("を^{含 む}1単体

Fの

数₎

+( を含 む0単体

Fの

数

)=0 (4.4)

となれば よい。以下、

P内

の点

"を

^{考 え、}

"を

含む △ の η単体の数 を^sπ と表す とす る。

まず は、1について考 える。

●

"が

^{△ の2単体}

Fの

内点 とな るとき、s2=1ヽ Sl=0、

sO=0と

な り、

s2 Sl+SO=1‑0+0=1と

な る。

●

"が

^{△ の1単体}

Fの

内点 となるとき、

Fは

2つの2単体の面 にある ので、s2=2、 sl=1、

sO=0と

な り、

s2 Sl+SO=2‑1+0=1

とな る。

●△ の頂 点集合 は

Pの

頂 点集 合 と一 致す るの で、△ の

0単

体

Fは

(P一 ^∂

P)に

含 まれ ない。 よつて、

"が

^{△ のO単体}

Fの

内点 になる ときは考 えな くて よい。

以上 によ り、_(4.3)が成 り立つ。

次 に、2について考 える。∂

Pは

^1単体 と0単体 か らな るので、

"が

^△

の2単体

Fの

内点 になるときは考 えな くて よい。

● が △ の1単体

Fの

内′点になるとき、

Fの

片側_(内側_)に 2単_体があ り、s2=1ヽ Sl=1、

sO=0と

なるので、

s2 Sl+SO=1‑1+0=0

とな る。

第4章

 

多面体 のエルハー ト多項式

図 4.4:π が 鶴 個 の三角形 の頂 点

● が △ の0単体

Fの

内部 に あ る とき、

"が m個

の三角形 の頂 点 に なって い る もの とす る と、

s2=鶴

ヽ

Sl=π

+1、

sO=1と

な り

S2 Sl+SO=m― (m+1)+1=0と

^{な る。}(図 4,4参照₎ とな るので 、(4.4)も 成 り立 ち、式 (4.2)は 示 され た。

●

dim P=3の

ときを考 え る。

dim P=3な

ので 、

77

ダ P,0=Σ ^{づ に→}

FがF∈ △3単体

― Σ ズニ→ +Σ ^づ

(二

→ Σ

^J(二

→

F∈△       F∈ △      F∈ △

Fが2単体      Fが 1単体      Fが 0単体 (4.5)

が示すべ き式 である。

dim P=2と

同様 に、

Pの

内点 と、

Pの

境界上 の点

"に

^{つ いて考 える。式(4.5)の左辺 は、(P― ∂}

^P)内

^{の 分格子点の数}

を数 えてい るので、式_(4.5)の右辺 において も、点

"が

^{内点の ときは数 え}

て、点

"が

境界上 にあるときは数 えない よ うにすれ ばよい。 よつて、

1,点 が

Pの

内点 となるとき、

("を^含む3単体

Fの

数_{)― (π} を含 む2単_体

Fの

数₎

十("を^{含 む}1単体

Fの

数_{)一 (■} を含む0単体

Fの

数

)=1(4.6)

2.点 が

Pの

境界点 となるとき、

("を^{含 む}3単体

Fの

数_{)― (■} を含 む2単_体

Fの

数)

+("を

含む1単体

Fの

数_)― ("を^含む0単体

Fの

数

)=0(4,7)

となれ ば よい。

"を

含む △ の η単体の数 を^sη と表す とす る。 まず は、¹ について考 える。

第4章

 

多面体 のエルハー ト多項式

●

"が

^{△ の}

^3単

^体

Fの

内点 とな る とき、s3=1ヽ S2=0ヽ Sl=0、

sO=oと

な り

s3 S2+Sl SO=1‑0+0‑0=1と

な る。

●

"が

^{△ の2単体}

Fの

内点 とな る とき、

Fの

両側 には3単体 が あ る ので 、s3=2、 s2=1ヽ Sl=0、

50=0と

な り

s3 S2+Sl SO=

2‑1+0‑0=1と

な る。

●

"が

^{△ の1単体}

Fの

内点 とな る とき、1単体

Fを

辺 とす る3単体が

Fの

周 りを取 り囲んでい る。その3単体 の数 を 動 とす る と、

s3=m、

S2=π ヽSl=1、 SO=0と な り s3 S2+Sl SO=η ―m+1‑0=1 とな る。

● △ の頂 点集 合 は

Pの

頂 点集 合 と一 致 す るの で 、△ の

0単

体

Fは

(P一 ^∂

P)に

含 まれ ない。 よつて、

"が

^{△ のO単体}

Fの

内点 となる ときは考 えな くて よい。

とな るので、 (4.6)が 成 り立つ。

次 に、2につ いて考 える。∂

Pは

2単体 と1単体 と0単体 か らな るので、

"が

^{△ の3単体}

Fの

内点 にな る ときは考 えな くて よい。

● が △ の 2単体

Fの

内点 とな る とき、

Fの

片側 に3単体 が あ るの

で 、 S3=1ヽ S2=1ヽ Sl=0、 sO=0と な り s3 S2+Sl SO=

1‑1+0‑0=0と

なる。

● が △ の

1単

体

Fの

内点 とな る とき、 が 鶴 個 の3単体 に含 ま れ る とす る と、

s3=m、 S2=m+1、 Sl=1、 sO=0と

な り

S3 S2+Sl SO=鶴

―

177b+1)+1‑0=0と

^なる。

● が △ の0単体

Fの

内部 にあるとき、定理4,1.5の よ うに

Pの

1つ の頂 点 υを固定 して、

Pの

境界の面 を三角形分害^1した際、

1."≠

υで、 が境界上の1単体で υとつ なが らない とき、∂

P

において

"の

^{周 りに 鶴 個 の2単}体があ るとす る と、

s3=m、

S2=2m、

sl=鶴

+1、

SO=1と

な り

S3 S2+Sl SO=m‑2鶴 十 (鶴 +1)‑1=0

とな る。

78

第4章

 

多面体 のエルハー ト多項式

2."≠

_{υで、 が境界上の}1単体で υとつ ながっているとき、∂

P

において"の^{周 りに鶴 個の}2単体があるとすると、

s3=鶴

^2、

S2=鶴 +い

^3)、

^sl=鶴

、

So=1と

な り

S3 S2+Sl SO=(鶴 ‑2)― _(鶴 +(m̲3))十 m‑1=0

とな る。

3."=υ

の ときを考 える。 この とき、∂

P上

^の2単体 を

F個

、∂

P

上 の1単体 を

E個

、∂

P上

の0単体 を1/個 と し、 また 、∂

Pに

お け る υのまわ りの2単体 を

m個

とす る。

υを含 む △ の3単体 は、υと ∂

P上

の2単体 で定 ま る3単体 で あるが、そ の個数 は ∂

P上

^の2単体の個数 か ら υのまわ りの

2単体 をのぞいた個数 だ けあ るので、

s3=F mと

な る。

υを含 む △ の2単体 は、υ と ∂

P上

の1単体 で定 ま る2単体 で あ るが、そ の個数 は ∂

P上

の1単体 の個数 か らυを端 点 とす る1単体 をのぞ いた個数 だ けあ るので、

s2=E mと

な る。

υを含 む △ の 1単体 は、υ と ∂

P上

^の0単体 を結 ん だ線分 で あ り、その個数 は ∂

P上

の0単体 か ら υをのぞ いた数 なので

sl=y̲1と

な る。

υを含 む △ の0単体 は、υの1点なの で、

sO=1と

な る。

多面体 の表 面 のオイ ラー数 (頂′点数 ―辺数 十 面数)は ^{2、 つ}

ま り、

F一 E+y=2と

な る こ とを用 い る と、

S3 S2+Sl SO=(F―

m)―_(E―

m)+(y‑1)‑1=F― E+y̲2=0

とな る。

以上 に よ り (4.7)も 成 り立 ち、式 (4.5)は 示 され た。

定理^4.2.2、 定理^4.2.3よ り、^J(P,η)、 づ^*(P,η)は 、ηに関す る多項式 づ(二 η_)、

づ

^*ば_,η)の

和となり、ηに関する多項式で表される。無限数列

{α

π

}の

一般

項 が ηの多項式で表 され るとき、その よ うな多項式 は唯一つ に定 ま るか ら、^j(P,η_)、 ^j*(P,η)の 値 を表す ηに関す る多項式 を、凸多面体

Pの

エル ハー ト多項式 とい う。

定理 4.2.4Pを

^RⅣ

内の整な凸多面体とするとき、

,P,η )は (dim P)次

ドキュメント内 多面体内の格子点の個数と体積について ： エルハート多項式と相互法則 (ページ 74-80)