グ(F,η)を求 め るこ とを関連 づ け る。
補題 2.2.4空間 RⅣ 内の単体F、 及 び 、 自然数 ηに対 して 、
第2章
錐 の 中の格 子 点
1.づ(F,η)=‖{(Z,η)∈
θ
lZ∈ZN}
2.グ(ft
η
)=‖{(Z,η)C(θ―∂θ
)IZ∈ ZⅣ} とな る。(図 2.7参照)図
2.7部
分集 合 θ証 明
まず、1につ いて考 える。 自然数 ηを1つ固定
‖
{(Z,η )∈θ
lZ∈ ZⅣ}=1(θ∩
{(″1,…・
,″N+1)￨″Ⅳ
+135
した とき
=η}∩ zN+1)(2.4)
∩Z/tr+1) (2.5)
づ
(二η
)=‖(ηF∩ ZA7)=‖({( ,η)￨"∈η F}
よ り、
σ∩
{(″1,.… ,χⅣ
+1)￨″N+1=η
}={(",η)￨"∈η F}
(2.oを示せ ば よい。
まず、θ∩{(・1,・ …,χⅣ+1)￨″Ⅳ
+1=嗜
の元が、{( ,η )lπ ∈ηF}に
含ま れることを考える。θの任意の元は、定義2.2.2よ り、あるFの
元 β、0以上の実数 rを 用いて、rβ と表すことができる。このとき、rβ の座標を
rβ =(″1,・ …,″Ⅳ+1)
第2章
錐 の 中の格子 点
とおくと、このとき、″Ar+1=η をみたすことはr
βが
Fの
元よりβ=( ′,1)(ただし、 ′はFの
元)36
=ηを意 味す る。 よつて、
とす る と、ηβ=(η ′,→
とな る。
逆に、
{( ,η )￨∈η F}の 元
(",2)に対し、ある元α∈Fが あつて、
"=η
α とな るか ら(π ,η)=(η α,η)=η (α,1)
となり、
(α,1)∈Fよ りθ∩
{(″1,・…メ
N+1)￨″N+1=η
}の元となる。し
たが つて、1が成 り立つ。
次 に、2につ いて考 える。 自然数 ηを1つ固定 した とき
‖{(Z,η )∈ (θ ― ∂θ)IZ∈ ZN}=1((θ 一 ∂θ)∩ {(・1,…・ ,″A7)￨″Ⅳ =η }∩ ZN+1) (2.7)
グ(二 η)=1(η(F― ∂F)∩ZAr)=‖({(",η)￨"∈ η(F一 ∂F)}∩ ZIV+1)
(2.8)
よ り、
(θ 一∂θ)∩ {(・1,・ …,″Ⅳ)lπⅣ
=分
={(",η)￨"∈ η(F― ∂F)}(2,9)
を示せ ば よい が、式 (2.9)は 式 (2.6)と 同様 に示 され る。
□
補題 2.2.4に よつて、づ(二η)、 づ*(二η)が θ や θ ―∂θ 内の格 子 点 を調 べ るこ とに帰着 され たが、次 の定理 に よって θ 内の点は一意的 な表示 を
もち、そ の こ とが格 子 点 の個数 のカ ウン トに重要 な役割 を果 たす。
定理 2.2.5θ 内の任意 の′点α は、非負 の実数rO,.… ,rdを 用 いて
α =Σ 甑
2=0
の形 に表 され る。また、この とき、rO,.… ,raは αに よつて一意的に定 まる。
証 明
島 とは、(υを,1)∈ RⅣ+1のこ とで あ るか ら、 まず、α が
α=Σ 亀
0ぉり ,① ≦ぼ 噂
づ=0
p.1の
第2章
錐 の 中の格 子点
と表すことができるのかを考える。Fの 頂′ 点は、
{(υo,1),… ,,(υぁ
1)}であるから、定理1.3.13に より、
F=θ
OⅣy((υO,1),…・,(υd,1))なので、
Pの
任意の元 βは定理1.2.5よ り、β=Σ ち C,⇒ ,0≦ ち∈ RΣ ち =1
を=0 づ=0
と表される。θの任意の元 α=rβ(0≦ r∈ R,β ∈F)に ついて、
α=rβ
=rΣ ち 鴎⇒
づ=0
d
=Σ
rち鶴 1) 0・
1⇒じ=0
と表 す こ とが で き る。 この とき、γ≧0、 ιづ≧0であ るか ら、rtづ ≧0であ り、式 (2.11)は 式 (2.10)の 形 の表示 の1つで ある。
次 に、一意性 につ いて考 えてい く。そのた めには、(υO,1),… .,(υd,1)が
1次独 立 に な る こ とを示せ ば よい。 そ こで 、い ま、実数 れ
(j=0,一
,α)につ いて、
Σん α ωら ⇒ =0 0.1幼
づ=0
と仮定 したとき、れ=0(づ =0,… ・,α)を示す。式(2,12)が成 り立つ とき、
Σん づ Q=0か つ Σた じ =0
を=0 づ=0
37
第2章
錐 の 中の格 子点
となり 、Σκ j=0よ りた 0=Σ
E(一れ
)となる。よつて、
」=0 を=1 d
Σンを Q=た
oυo十た
lυl十た
2υ2+… 十考
aυd づ=0=嵯 閉 )中 山 動…伽
d=(一 た1‑ん
2 …
°たa)υO十 たlυl+た2υ2+…
°十 んdυd=た1(υl― υo)+た2(υ2 υO)+…・十 たd(υd一 υo)
=0
である。 F=θ
OⅣy({υo,・…
,υご
})がα次元単体なので、定理
1.4.3より ´
(υl― υo),… 。,(υd― υo)
は1次独 立 で あ る。 したが つて、
た1=た
2=…
・=たd=0
とな り、た
0=Σ
(―たを)=0で
あ るので、j=o
(υo,1),,… ,(υd,1)
は1次独 立 で あ る。
□
定理 2.2.6θ ―∂θ 内の任意 の点 α は正 の実数rO,.… ,raを用 い て
α=Σ 勉
2=0
の形に表される。また、このとき、r。,.… ,γαはαによって一意的に定まる。
証明
Fの
頂′点集合は(υO,1),… ,(υぁ1)である。補題2.2.3によりθ―∂θ の元をα とすると、α =rβ (r<0,β ∈F―
∂F)と 表す ことができる。定理
1.3.15より 、 j― ∂ クの元βはΣン
dj=1を みたす
0<ιづ ∈ Rを 用い
う=0
38
第2章
錐 の 中の格 子 点
てヽβ =Σ 〕
tt(υを
,1)と表すことができるので、
づ=0
α =rΣ ち しら
1)0=0
α
=Σ
rち0ぁつ
を=0
となる。 この とき、γ
>0,tj>0よ
り0<rιを∈Rと
なるので、rづ =rιぅと おけばα =Σ ・ しら
d⇒ ,0<ば R
を=0
と表す ことができる。また この とき、定理 2.2.5の 証 明によ り(υO,1),… ・,(υぁ1) が1次独 立で あ るか ら
α =Σ
d勉
ゼ=0
と表 した ときの rtは α に よつて、一意 的 に決 ま る。
□
定義 2.2.7 RN+1内 の2つの集 合Sと S*を次 の よ うに定 め る。
・ S={α ∈θ∩
ZⅣ+11α=Σ 亀 れ
,1),0≦亀
<1,吻∈ R}
̀=0 a
・ S*={α ∈θ∩
ZⅣ+11α=Σ 亀 鶴
,1),0<亀≦ 1,ぼ R}
づ=0
Ⅳ
=1と
して例 をあげてS,S*を説 明す る。膠 内の1単体Fと
は、R
内の線分で あ る。 この
Fに
対す るPを
図2.忌 では、"1軸に平行 な太線で 示 した。 この ときの、
Pの
端点が00,01に相 当 し、Sは
r000+γ
101(0≦ rO<1,0≦
rl<1,γO,rl∈ R) S*はr000+r101(0<rO≦ 1,0<rl≦
1,rO,rl∈ R)と表 され る元 の集合 で、図2.8では、斜線 の平行 四辺形 の部分 にな る。
39
第2章
錐 の 中の格 子 点
図 2.9:Sの格子 点 図 2.10:S*の格子 点 40
図 2.8:S
S
｀ヽ、、、、、、
。r・
´
第2章
錐 の 中の格子 点
ただ し、図2,9,図 2.10に 示す よ うに
Sは
下の点 を含み、S*は上の点を 含む。それ ゆえS,S*を平行移動 した図形 によつてそれぞれ θ,σ 一∂θを 重複 な くしきつ めることができる。N=2な
ら、S,S*は RⅣ+1=R3内
の平行六面体 となる。Ⅳ
>3の
ときは、それ に類す る高次元 の図形 (平行 多面体)と な り、Ⅳ
=1の
とき と同様 に、S,S*を平行移動 した図形 に よつてそれ ぞれが θ,σ 一∂θ を重複 な くしきつめることができる。だが、それ は直観 的には 明 らかではない。 しか し、その ことが次 の補題2.2.8とネ甫題 2.2.9のアイ デア となつてい る。補題 2.2.8θ に含 まれ る任意の整数点 α に対 して、
1.
α=Σ 銑
0ぉ⇒
+βづ=0
とな るよ うな 0≦ Q∈ Zと β ∈
Sが
存在す る。2.また、 この表示 は一意的であ る。つ ま り、α ∈θ∩ZⅣ+1に対 して、
式(2.13)を みたす整数Qと
Sの
元 βは1つに定まる。証明
θ∩ZAr+1の 元 α に対 して、定理2.2.5よ り、あるrづ ≧0があつて
α =Σ 亀 Q,1)
j=o
α