F∈△
=ΣE(‑1メ m%に の
F∈△
=(△の0単体 の数)― (△の 1単体 の数)+(△の 2単体 の数)
=鶴 一(m十 鶴
‑3)̲+(m‑2)
=1
とな る。
●
dim P=3の
時 を示す。 この とき、Pの
頂 点 の 1つを υ として 、定理 4.1.5で 構成 したPの
単体分害1△ を考 える。∂P上
の △ の2単体、1単体、0単体 の個数 をそれ ぞれ
F個
、E個
、y個
と し、また ∂Pに
お ける υのま わ りの2単体 を 鶴 個 とす る。● △ の3単体 は、υを頂 点 に もたない ∂
P上
の2単体 と υに よつて決 ま るので 、そ の個数 は、υを頂 点 に もたない ∂P上
の2単体 の個数 で あ り、F一m個
で あ る。● △ の2単体 を、∂
P上
の2単体 と∂P上
にない2単体 に分 けて考 える。まず 、∂
P上
の2単体 の個数 は、F個
あ る。次 に、∂
P上
で ない2単体 の個数 を考 える。 ∂P上
で ない2単体 は、υ と ∂
P上
の1単体 で定 ま る2単体 で あ るが 、そ の際 υのま わ りの2単体 の辺 と υで決 ま る2単体 は ∂
P上
にな つて しま うか ら、 これ らをのぞ く必 要 が あ り、∂P上
でない2単体 の個数 は、E‑2鶴
個 で あ る。 したが つて、△ の2単体 の個 数 は、F+(E‑2m)個
で ある。● △ の1単体 も、∂
P上
の1単体 と ∂P上
で ない1単体 に分 けて考 え る。 ∂P上
の1単体 の個数 は、E個
で あ る。次 に、∂
P上
でない1単体の個数 を考 える。∂P上
でない1単体 は、υ と∂P上
の0単体で定まる1単体であるが、υ自身 とυでは1単体が定 ま らない こと、υのまわ りの0単体 とυを端 点 に もつ1単体 は ∂P上
にな る こ とを考慮すれ ば、∂
P上
でない1単体 の個数 は、T/―(m+1)
個 で あ る。 したが つて、△ の1単体 の個数 は、
E+(y―
π‑1)個
で あ る。
第4章
多面体 のエルハー ト多項式
● △ の頂 点集 合 は 、
Pの
頂 点集 合 と同 じな の で 、△ の0単体 の個 数 は 、y個
で あ る。以 上 よ り、
づ
(民0)=DEダ
(二 0)F∈△
=Σ ←⇒
dm旬にの
F∈△
=(△の0単体 の数)― (△の1単体 の 数)+(△の2単体 の数 )一 (△の 3単体 の 数)
=y―
(E tt y̲鶴 ̲1)十(F+E‑2π
)― (F―m)
=1
となる。
したがって、を
(P,0)=1と
なる。□
単体
Fの
とき、定理3.3.8よ り、づ(F,η)と がば,2)には、単体 のエル ハー ト多項式 の相互法則が成 り立ったが、凸多面体Pの
ときも、J(P,η)とj*(民 η)に 、凸多面体のエルハー ト多項式の相互法則が成 り立つ ことを 定理4.2.6に示す。
定理
4.2.6Pを RN内
の整 な凸多面体 とす ると、Pの
エルハー ト多項式 づ(P,η)ヽ ダ(P,η)に ついて、グ(P,η)=(‑1)dmPを(民 一η) とい う関係 が成 り立つ。
証明
まず、定理4.2.2、 定理3.3.8よ り、
ば
,→=Σ ダ に 0
F∈△
=Σ
(―⇒ dm%ば ,。
F∈△
となる。(‑1)( 1)も (‑1)1も
‑1な
ので、を
(民一 η )=Σ 〕
(‑1) dmFづ (F,η)F∈△ ‐
82
第4章
多面体 のエルハー ト多項式 として もよい。 よつて、定理4.2.3に よ り
(‑1)dmPJ(P,一 η)=Σ E(‑1)dim P dmFづ (二η)
F∈△
=ダ(P,η)
が成 り立つ。
83
□
4。
3 多面体 のエルハー ト多項式 と多面体の体積
まず 、 単 体 に 関 して 、 エ ル ハ ー ト多項 式 と体積 の 関係 を考 え る。
定 義 4.3.lη を 自然 数 とす る。Rd内に 分を単位 とす る格 子 をつ く り、そ の格 子 上 の
α=(αl,・ …,αα)∈ Rα (ηαゼ∈Z) に対 して 、
先 =μ … 励レ飢≦ Q十 1‑"→
とおき、Sα をαを角にもつRa内 の小立方体とい う。また、
現 =‖ α =件 … ,9島 ∈ 4
とお くと、Lれ の元 は互い に内点 を共有 しない小立方体で、Lπ の小 立方体 全 体 は、
Rdを
埋 め尽 くす。Pを Rd内
の多面体 とす る。 この とき、∪ 亀⊂ P ∪ 亀⊃ P
Sα ∈Lπ Sα Cttπ
Sα⊂P Sα ∩P≠0
とな るので、1辺が 分のRa内の小立方体 の体積 を ル と考 えて、
鳳 墜
毛 警 型 鳳 睡 憂 学 工 型
を考える。これが一致するとき、それを
Pの
体積という。実際、任意の 多面体に対して体積が定まることが知られている。(卜]参照)第4章
多 面体 のエルハー ト多項 式
84
体積 の性 質 と して、以下 の よ うな ものが あげ られ る。
・ 多面体
P⊂ Raが
dim P<α の とき、Pの
体積 は0であ る。・ 多面体 民P′ ⊂Rdが
dim P=dim P=α
かつ 、Pと
P′ は内点 を共 有 しな いな らば、ぱ ∪P′の体積
)=(Pの
体積)十 (P′の体積)である。
●
P⊂
Rd、 りをRdの合 同変換 とす る と、(Pの体積)=(ψ(P)の体積) となる。定理
4.3.2Pを Rd内
の α次元の整 な凸多面体 とす る1と 、凸多面体 のエ ルハー ト多項式 を(P,η)の ηdの 係数はPの
体積 とな る。証明