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-第 4 章 圧電デバイスのエネルギーハーベステ
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𝑥
0= −𝑥𝑒
−ℎ𝜔𝑡cos(𝜔𝑡) = −
𝑚𝑔𝑘𝑒
−ℎ𝜔𝑡cos (𝜔𝑡)
(振幅減衰) (2) となる。𝑣(𝑡) =
3𝑔16𝑙31𝑌𝑎2 2𝑥
0(3) であるため[15]、
(2)式を(3)式に代入し、整理すると次のように示す。
𝑊
𝑜= ∫
0𝑡𝑣(𝑡)𝑅2𝑑𝑡 = ∫
(−3𝑔31𝑌𝑎216𝑙2 ×𝑚𝑔
𝑘 𝑒−ℎ𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))2 𝑅
𝑡
0
dt
(4)= (−
3𝑚𝑔𝑔16𝑘𝑙312𝑌𝑎2)
2 1𝑅∫ (𝑒
0𝑡 −ℎ𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))
2𝑑𝑡
(5)(−
3𝑚𝑔𝑔16𝑘𝑙312𝑌𝑎2)
2 1𝑅をAとすると、𝑊
𝑜= A∫ (𝑒
0𝑡 −ℎ𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))
2𝑑𝑡
(6) と表示される。部分積分方法で整理すると、
𝑢 = (𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))
2𝑣
′= 𝑒
−ℎ𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑢
′= −2cos (𝜔𝑡)sin (𝜔𝑡)𝜔𝑑𝑡 𝑣 = −
ℎ𝜔1𝑒
−ℎ𝜔𝑡となり、下の式に代入し、
∫ (𝑒
0𝑡 −ℎ𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))
2𝑑𝑡
= [−
(𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))ℎ𝜔 2𝑒
−ℎ𝜔𝑡]
0
𝑡
− ∫
0𝑡ℎ1𝑒
−ℎ𝜔𝑡𝑠𝑖𝑛 (2𝜔𝑡)𝑑𝑡
と表示できる。
部分積分方法で整理すると、次のように示す。
𝑢 = sin (2𝜔𝑡) 𝑣
′= 𝑒
−ℎ𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑢
′= cos (2𝜔𝑡)2𝜔𝑑𝑡 𝑣 = −
ℎ𝜔1𝑒
−ℎ𝜔𝑡= −
(cos(𝜔𝑡))ℎ𝜔 2𝑒
−ℎ𝜔𝑡+
ℎ𝜔1−
1ℎ[[−
ℎ𝜔1𝑒
−ℎ𝜔𝑡sin (2𝜔𝑡)]
0
𝑡
− ∫ −
0𝑡 1ℎ𝑒
−ℎ𝜔𝑡2 cos (2𝜔𝑡)d𝑡]
= 1 − (cos(𝜔𝑡))
2𝑒
−ℎ𝜔𝑡ℎ𝜔 + 1
ℎ
2𝜔 𝑒
−ℎ𝜔𝑡sin(2𝜔𝑡) − 1
ℎ
2∫ 𝑒
𝑡 −ℎ𝜔𝑡0
2(2cos (𝜔𝑡)
2− 1)𝑑𝑡
=
ℎ−𝑒−ℎ𝜔𝑡(ℎ(cos(𝜔𝑡))2−sin(2𝜔𝑡))ℎ2𝜔
−
ℎ12∫ 𝑒
0𝑡 −ℎ𝜔𝑡4 cos(𝜔𝑡)
2𝑑𝑡 +
ℎ12∫ 2𝑒
0𝑡 −ℎ𝜔𝑡𝑑𝑡
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-=
ℎ−𝑒−ℎ𝜔𝑡(ℎ(cos(𝜔𝑡))2−sin(2𝜔𝑡))ℎ2𝜔
−
ℎ42∫ 𝑒
0𝑡 −ℎ𝜔𝑡cos(𝜔𝑡)
2𝑑𝑡 +
ℎ22[−
ℎ𝜔1𝑒
−ℎ𝜔𝑡]
0 𝑡
ℎ2+ 4
ℎ2 ∫ 𝑒𝑡 −ℎ𝜔𝑡
0
cos(𝜔𝑡)2𝑑𝑡 =ℎ2− ℎ𝑒−ℎ𝜔𝑡(ℎ(cos(𝜔𝑡))2− sin(2𝜔𝑡)) − 2𝑒−ℎ𝜔𝑡+ 2 ℎ3𝜔
ℎ2+ 4
ℎ2 ∫ 𝑒𝑡 −ℎ𝜔𝑡
0
cos(𝜔𝑡)2𝑑𝑡 =ℎ2− ℎ𝑒−ℎ𝜔𝑡(ℎ(cos(𝜔𝑡))2− sin(2𝜔𝑡)) − 2𝑒−ℎ𝜔𝑡+ 2 ℎ3𝜔
∫ 𝑒𝑡 −ℎ𝜔𝑡
0
cos(𝜔𝑡)2𝑑𝑡 =ℎ2− ℎ𝑒−ℎ𝜔𝑡(ℎ(cos(𝜔𝑡))2− sin(2𝜔𝑡)) − 2𝑒−ℎ𝜔𝑡+ 2
ℎ𝜔 × 1
ℎ2+ 4
= ℎ2− ℎ𝑒−ℎ𝜔𝑡(ℎ(cos(𝜔𝑡))2− sin(2𝜔𝑡)) − 2𝑒−ℎ𝜔𝑡+ 2 ℎ𝜔(ℎ2+ 4)
= 𝑒−ℎ𝜔𝑡(ℎ sin(2𝜔𝑡) − ℎ2(cos(𝜔𝑡))2− 2) + ℎ2+ 2 ℎ𝜔(ℎ2+ 4)
上記の式とAを(6式に代入すると、
𝑊
𝑜=
𝑅1(−
3𝑚𝑔𝑔16𝑘𝑙312𝑌𝑎2)
2 𝑒−ℎ𝜔𝑡(ℎ sin(2𝜔𝑡)−ℎ2(cos(𝜔𝑡))2−2)+ℎ2+2ℎ𝜔(ℎ2+4)
(7)
=
1𝑅(−
3𝑔𝑔16𝑘𝑙31𝑌𝑎2 2)
2 𝑒−ℎ𝜔𝑡(ℎ sin(2𝜔𝑡)−ℎ2(cos(𝜔𝑡))2−2)+ℎ2+2ℎ𝜔(ℎ2+4)
𝑚
2= 𝐾𝑚
2(Kが定数) と導かれる。エネルギー回生効率は
μ =
𝑊𝑜𝑊𝑖
=
𝐾𝑚2𝑄𝑚2
= 𝑆
(Sが定数) (8) となる。ここで、𝑊𝑖:入力エネルギー、𝑊𝑜:出力エネルギー、k:板バネ係数、𝑥𝑜:変位量、h:減衰係 数、ω:周波数、Y:アドミッタンス、m:質量、𝑔31:電圧出力係数
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-表18 バイモルフ型エレメントの関係式
50 -4.2 効率測定実験概要
Laserは、前節の実験と同様のSUNX製のものを用いているが、分解能が荒いため、途中
からキーエンス(Keyence)製のLaserを使用している。データの解析に関しては第2章と同様 のオシロスコープ、dSPACEの他にKeyence製のデータロガーも適宜用いた。
実験で評価した導出量は以下に示すとおりである。(9)式入力エネルギーはPZTプレート をばね近似して計算することによってW＝1
2kx2となる。フックの法則F = kxを用いること によってW＝1
2Fx＝1
2mgxと求めることが出来る。(10)式電力の最大値については電力波形 の最大値を2乗し、負荷抵抗値Rで割った値を用いる。
P＝VIとI = V/RよりP = V 2/Rとして求めることが出来る。(11)式出力エネルギーに関 しては前述で述べたとおりである。(12)式効率に関しても上記の実験構成で説明したように 入力エネルギーと出力エネルギーの比を用いて導出している。以上が評価した導出量とな る[16]。
図4.2 実験構成写真
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(9) (10)
(11)
(12) R
v Pmax [W] max2 /
0
0 2
1 2
] 1 J
[ Fdx Fx mgx
Wi
v dt
Wo R1 2 ]
J [
100 ]
%
[
i o
W
W52 -4.3 圧電デバイス無負荷効率実験
無負荷試験の結果を以下に示す。図4.3の上の波形は横軸が時間、縦軸が変位量を表し、
時間に対する変位を示した波形、全てに対して分銅の重さは50gを使用している。下の波 形が時間に対する電圧出力を示した波形になっている。同じく横軸が時間を表しており、
縦軸が電圧出力を示している。図4.3の下の波形も上の波形と同様に全ての各種PZT圧電 デバイスに対して50gの分銅を用いて荷重をかけている。
それぞれの実験の結果を考察すると、変位波形に関して0秒からデータの記録を始め、2 秒後半まではPZT圧電デバイスの先端に重りを糸で垂らしている。そこから、3秒程度で 糸を切ることによって第一の定常状態から過渡状態へと移行していることがわかる。過渡 状態ではメカニカルな微小振動をしながら第2の定常状態へ移行している。図から、オー バーシュート無く定常状態へと移行している。
電圧波形に関しては5秒程度まで定常状態が続き、その後PZT圧電デバイスに重りを吊 り下げた糸を切ることによってPZT圧電デバイスが荷重から開放され、振動することによ って電圧が発生する。電圧は発生した後に定常値に収束していく。電圧の大きさは荷重に よる変位量に依存し、PZT圧電デバイスの剛性に影響されている結果となっている。PZTB 圧電デバイスの電圧波形は第2章と同様で、減衰が小さく、電圧が長く出力されているこ とが確認できる。
図4.3と表19より、同じおもりの重さ50gを用いているにもかかわらずPZTA圧電デバ
イスは0.1mm程度しか変化せず、対してPZTD圧電デバイスに関しては同じ重りにもかか
わらず1mm程度の変位をしている。これはPZTA圧電デバイスが剛性な材料でできており、
対してPZTD圧電デバイスは柔性な材料によって作られているのではないかと予想される。
同じ力を加えているにもかかわらずこれだけの変位の差が出ていることにより、先ほどの 実験では変位量を一定となるようにとっていたが、加えられていた力はそれぞれの素子に よって異なりPZTA圧電デバイスに加えられていた力は大きくPZTD圧電デバイスに加えら れていた力は小さかったのではないかと推測できる。
補足であるが、入力エネルギーとしてJ(ジュール)を用いたのは、今回実験のテーマとし て振動発電用デバイスで用いるPZT圧電デバイス各種の基礎特性についての実験であるた めにJを用いている。実際に振動発電用デバイスが制作できた場合は、発電量などの議論が 必要であるためにW(ワット)を用いて表現することになると考えている。
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-図4.3 無負荷試験の変位波形(上)と電圧波形(下)
表19 無負荷試験結果
導出量 種類
変位[mm] 電圧最大値[V] 入力エネルギー [J]
PZTA 0.14 6.83 3.3 e-005
PZTB 0.6 9.8 1.46 e -004
PZTC 0.47 22.0 1.15 e-004
PZTD 0.98 32.4 2.4 e-004
54 -4.4 圧電デバイス負荷効率実験
本実験は先ほど説明した無負荷試験とほぼ同様の実験方法である。4種のPZT全てを対 象とし実験を行った。荷重の重さは同様に50gを使用している。異なる点は、抵抗を負荷 としている点である。負荷抵抗としては各種PZTによらず10kΩで一定にしている。実際 に得られた波形と表を図4.4に示す。
負荷変位波形を図4.4（上）に示した。荷重をかけた定常状態からPZT先端に吊るしてい る重りの糸を切ることによって過渡状態に移行している。過渡状態からオーバーシュート なく定常状態に移行していくことが図よりわかる。PZTDに関しては変位量が大きくなって いるために少し振動成分が出てきていることが確認できる。PZTCの初期の定常状態での振 動はPZTを先端に固定した際に発生した糸のねじれによって重りが振動してしまったため ではないかと考えている。無負荷試験の場合と比較してほぼどのPZTも変位量に関しては 負荷、無負荷で違いはないことが確認できる。
負荷試験による電圧波形を下の図4.4（下）に示した。定常状態である電圧出力0の定常 値からPZT先端の重りをつけている糸を切ることによって過渡状態に移行していることが わかる。電圧出力が発生し、振動的に減衰しながらもう一度定常状態に変化していること が確認できる。第3章で述べたとおり、無負荷試験と負荷試験では負荷抵抗を接続するこ とによって出力電圧が小さくなる傾向にあることがわかっているが、今回の重りを用いた エネルギー効率試験に関しても同様の結果が得られた。
表20で用いた導出量に関しては前述のとおりであるため割愛する。ただし、表に示した Eの文字はエネルギーの略記であり、表の横幅の関係により略記した。最大電力値は電圧の 2乗によって求められるために、電力波形の最大値をとっているPZTBが最も大きな結果と なっている。表に示した入力エネルギーの大小関係に関しては変位量の大きさによって決 まっていることが図と表からわかる。出力エネルギーの関係も、図4.4（下）より電圧出力 波形が大きな順に大きい値をとっていることが確認できる。定抵抗を負荷した場合の効率 の結果としてはPZTBが最高の値をとっていることがわかる。このことは出力エネルギーに おいて最高の値をとり、入力エネルギーに関して4種の中で比較して中間の値をとってい ることからも妥当性がありそうな結果となっている。
55
-図4.4 負荷試験の変位波形(上)と電圧波形(下)
表20 負荷試験結果
導出量 種類
変位[mm] 最大電力[W] 入力E [J] 出力E[J] 効率[%]
PZTA 0.2 9.4 e-004 4.9 e-005 1.5 e-006 3.0
PZTB 0.7 1.4 e-003 1.8 e-004 9.1 e-006 4.8
PZTC 0.5 9.0 e-003 1.2 e-004 3.7 e-006 3.1
PZTD 1.4 3.8 e-003 3.4 e-004 5.6 e-006 1.7
56 -4.5 負荷整合を考慮した圧電デバイス効率実験
次に示す実験は、効率の観点からPZT圧電デバイス各種の最高のパフォーマンスを引き出 すために、PZT圧電デバイスに負荷する整合をとって効率を再評価する実験である。実験 構成や実験条件に関しては前節で示した実験構成や条件と同様である。PZT圧電デバイス に荷重をかける重りの重さは前回までと異なり、効率改善の観点からそれぞれのPZTの構 造、素材等を考慮した重りの分銅を使用している。PZT圧電デバイスはそれぞれ整合をと った抵抗値が異なるためにもう一度表21に示してから実験結果を示すこととする。
表22は負荷整合を考慮した負荷抵抗値を付加した場合の各種導出量を示している。それ ぞれの数値を負荷抵抗試験の表と比較すると、入力エネルギーに関しては大きな変化はな く、出力エネルギーが上昇することによる効率改善ができていることが確認できる。入力 エネルギーについては、荷重をかける重りをPZTB,C,D圧電デバイスに関して50gとして同 じ重りを用いたために値に大きな違いは見られない。対してインピーダンス整合の効果が 出た出力エネルギーの値は向上していることが表を比較することでわかる。結果として発 電エネルギー効率が負荷を一律10kΩに設定した負荷試験より改善されていることがわかる。
表21 PZT圧電デバイスに対するエネルギー負荷整合値 種類
導出内容
PZTA PZTB PZTC PZTD
Energy負荷整合 200kΩ 2.6kΩ 5.0kΩ 165kΩ
表22 負荷整合を考慮した場合のパラメータ
導出量 種類
変位[mm] 最大電力 [W]
入力 [J] 出力[J] 効率[%]
PZTA 0.3 1.1 e-004 1.4 e-004 7.4 e-006 5.5
PZTB 0.6 8.1 e-003 1.8 e-004 1.3 e-005 5.0
PZTC 0.6 10.0 e-003 1.8 e-004 1.1 e-005 4.9
PZTD 1.3 5.3 e-003 3.2 e-004 1.0 e-005 3.2
57 -4.6 荷重依存性検証効率実験
4.1節に導かれた理論式を下記に示している。
μ =
𝑊𝑜𝑊𝑖
=
𝐾𝑚2𝑄𝑚2
= 𝑆
(Sが定数) (13) 理論値から、入力エネルギーは錘の重さが増加するに従って、係数Qの荷重の2次関数 のような増加量で増加していくことが分かる。同時に、出力エネルギーも錘の重さが増加 するに従って、係数Kの荷重の2次関数のような増加量で増加していくことが分かる。従 って、効率μが上式に示しているように荷重に関係なく、定数Sで一定になっている。本実験ではPZT単体に対し、重りを糸で垂らし、糸を切ることによってPZTの振る舞い を解析するという内容は同じであるが、糸で吊り下げる重りを変化させていった際の効率 の変化を見るという実験を行った。それぞれPZT圧電デバイスが破損する限界と思われる 重さの手前程度まで、PZTA,PZTC圧電デバイスを検証した。
実験結果を図4.5に示した。始めの図が重量に対する入力エネルギーの図になっている。
図
4.5
から分かるように、PZTA,PZTCの両方のPZTは2次の関数のような増加量を持って いることがわかる。つぎに図4.6
は重量に対する出力エネルギーを示している。PZTCは入 力エネルギーと同様に2次の関数のような増加量で増加していくことが確認できる。理論 式とおりである。しかし、PZTAに関しては出力エネルギーが飽和してしまい、増加量の伸 びが途中から劣化していることがわかる。これはPZTAとPZTCの構造上の違いによるもの だと推測した。具体的にはPZTA圧電デバイスは市販のものであり、硬い材質のものである。一方で述べるように三角形のPZTプレート全面の曲率が一定であるため、PZTプレート全 面で発電が可能である。PZTC圧電デバイスの形状が台形により、三角形状とほぼ同じ形状 であるため、全面の応力がほぼ同じなのではないかと考えられる。つまり、全面で発電で きると考えられる。対してPZTA圧電デバイスにはシムが取り付けられており、毎回クラン プする場所が一定であるため大きい重りを与えた時の応力はクランプしている場所の付け 根に集中する。結果として付け根で活発に発電されるが先端の方では発電されない。PZT プレートの面積は限られているため、付け根ばかり発電すると重りが大きくなり、変位量 が大きくなっていくとどうしても発電量が飽和してしまうのではないかという仮定に至っ た。
最後に示した図4.7が重量に対する効率である。(13)式とおりにエネルギー効率の波形は 重量によらず一定の値を持つことが適切であると考えられる。しかし、先ほど説明した通 りPZT圧電デバイスの種類によっては出力エネルギーに飽和が生じてしまうことが考えら れる。上下の平行な線がPZTA,PZTCの理論直線である。しかし、PZTA圧電デバイスの実 測値は上記の通り飽和による効率低下が重量を増やした時に生じている結果となっている。
本実験ではPZTAとPZTC圧電デバイスに対してしか重量依存性の実験をおこなっていな いが、本実験結果からPZTB,PZTD圧電デバイスに関しての推論が立つ。PZTBに関しては 非常に脆弱なものであるため、他のPZTに比べ破壊限界が小さな重量で来てしまう事が考