かつ，
囮2−1λ12 （4．3．33）
のときだけである．％＋2βは2ゴと偶数だけ異なるので，45式（4．3。32）は，2ブが偶数ならば 粒子がボゾン，奇数であればフェルミオンになることを示している．これがスピンと統計の
間の一般的な関係である．
次に場ψ，ψが異なる一般的な場合を考える．式（4．331）の両辺を圃2二1λ12で割る：46 曇一（一・）2B＋魂．
κ λ
4．量子場と反粒子 57
つまり，λ／鳶（一1）2B＝λ／κ（一1）2Bは場に依存しない定数であることが分かる．それをcとお
くと，
λ一（一）2Bcκ． （4．3．34）
式（4，3．33）からIcl＝1であることが分かる．そのため，演算子α（p，σ），αc†（p，σ）の相対的位 相を再定義することによって，全ての場に対して因数cを1とできる：λ＝（一）2Bκ．また，因 数κは，場の全体のスケールを再定義することによって消去できる．以上のことから与えら れた粒子の（ハ，B）場は，
紳）一（2π）一書Σ∫43幽（帥（ σ）ε加＋（一）㌦（μσ）㎡†（P，σ）ε一 1・（4＆35）
σ
式（4．3．15）を使うと，
卿）一（2π）一垂Σ∫d3剛P，σ）［α（Rσ〉＾（一）2 一㎡†（R一σ）e ］・（4a36）
σ
この表し方は，全体のスケールを除いて一意である．
一般的に，与えられたスピンゴの粒子の（ハ，B）場は，2B階の微分演算子を作用させたタ イプ（ゴ，0）の場ψσ（ω）としても表現できる：47
｛∂μ1…∂μ2β｝ψσ。 （4．3．37）
これは，表現（B，B）と（ブ，0）の直積として変換する．この場（4．3．37）はベクトルの加法則に よって，1ブーβ1≦ハ≦ブ＋βの全ての既約表現（・4，B）に従って変換する場に分解できる．
銘式（4．3。35）はスピンゴの粒子のタイプ（孟，B）場の唯一の表現であるので，それは導関数
（4，3。37）から得られる（、4，B）場と同じものである．
次にこの場の空間反転，荷電共役変換，時間反転での性質を求める．
補題4．32式μ．3．35ノ，μ．3．3のの係数u，ηについて，次の等式が成り立つ．
嬬B（一P，σ）一（一）A＋B一㌔島A（P，σ），
輪B（一P，σ）一（一）A＋β一鳩A（P，σ），
畷土α（P，一σ）一（一）α＋b一σ瑠（P，σ），
瑠＊（一P，一σ）一（一）α＋b＋σ＋ハ＋砺曙一b（P，σ）・
（4．3．38）
（4。3。39）
（4。3。40）
（4。3。41）
■
証明． Clebsch−Gordan係数は次の対称性をもっ：49
OAβ（徊醐一（一）A＋B一ゴOBA（何わα）． （4．3．42）
4．量子場と反粒子 58
式（4．3ユ4）より
輪B（一Rσ）一毒影（θ θ）副（ピ ）θ晩（ブ醐・
また，
如）一毒嘉副冶睡＋ ）踊洲・
従って，式（4．3。38）が成り立っ、式（4．3。15）と（4，3．38）より，
嬬B（一P，σ）一（一）ゴ＋％α6（一P，一σ）一（一）ゴ＋σ（一）み＋B『ゴ覗A（P，一σ） （4。3。43）
従って，再び式（4．3．15）を使うと（4。3。39）が成り立っ．
次に，u＊を計算するために式（4．3．5）を書き換える：50
J（ゴ）＊一一曽J（ゴ）曽一1，鴇σ咲（一1）ゴーσδδ，一σ．
式（4。3．14）のClebsch−Gordan係数は実数であり，α一α ，b一δ は整数であるので，51
1
鴛謬（P，σ）＊二万影（exp（一国（A）θ））一（exp（9。J（B）θ）） （4＆44）
x（一）α 一α（一）猫σB痴σ1わノの．
従って，
凱（R一σ）＊一 影（exp（一副θ）泌（exp（かJ（B）θ））曜（一）廊（一）吻BA（ゴーσ1一圃
Clebsch−Gordan係数の性質
OBA（ゴ，一σ1一わ ，一の一〇AB（ブ，σ1α ，の （43。45）
とαノ＋わ ＝σでない限りそれらの係数は0になる事実を使うと式（4．3。40）は成り立っ．
次に，式（4．3．44）より
1
u紛（一μ一σ）＝万多（exp（倉 J（B）θ））一例ヴ（exp（一倉●J（A）θ））畷（生a46）
x（一）一α 一α（一）｝bノーbOAB（ブーσ1一α 一6 ）．
係数関数の複素共役を計算するためにClebsch−Gordan係数の性質
σAB（ゴ，σ1α，わ）一（一）A＋釣OAβ（ブ，一σ1一α，一わ） （4．3。47）
とα＋δ＝σのときのみこの係数は0にならないことから，式（4。3。41）が成り立つ． QED
4．量子場と反粒子 59
定理4．3．3（偽君丁をそれぞれ荷電共役変換，空間反転時間反転とすると，
珂組￠）P−1一η＊（一）A＋釣嬬A（一X，の0），
σ瑠（の）σ一1一ξ＊（一）一2融一勾ψ禦†α（の），
鴫B（Z）プー（一）α＋b＋A＋B−2ゴく＊ψ翌一b（X，一の0）・
（4．3。48）
（4．3．49）
（4．3。50）
置
証明． 3．2節の結果を使うと粒子消滅演算子と反粒子生成演算子の空間反転の性質は：
pα（p，σ）p−1 ＝ η＊α（＿p，σ）， （4．3．51）
pαc†（p，σ）p−1 ＝ ηcαc†（＿p，σ）． （4．3．52）
位相η，ηcはそれぞれ粒子，反粒子の内部パリティである．一般causal（。4，B）場（4．3．35）はパ リティ演算子Pで次のように変換される：
聯）P−1一（2π）一睾Σ∫43plがα（一Bσ）ε鴫B（P，σ）（生＆53）
ひ
十ηc（一）2Bαc†（・一P，σ）ε一乞P￠u盒B（P，σ）］．
積分変数をp→一pに変え，式（4。3．38）と（4．3．39）を使うと，
聯）P−1一（2π）一舞Σ∫d3P（一）A＋ ゴ （ 4）
ひ
×［η＊α（P，σ）e￠P◎ρ鴫A（P，σ）＋ηc（一）2Bαc†（P，σ）ε吻9鴫A（P，σ）］，
これは，9劣におけるcausa1場ψ謬である。全体のスケールを除いて場（4．335）は，このタ イプの唯一のcausa1場であるので，この場の係数は場（4．3．35）の係数と全体の定数因子を除 いて同じでなければならない．従って，式（43．54）の二つの項の係数の比は（4．3．35）のAとB を入れ換えた場（4．3．35）の係数比と同じである：
ηc（一）2B／η＊一（一）2A． （4．3．55）
み一βはスピンゴと整数だけ異なるので，52
ηc一η＊（一）2ゴ． （4．3．56）
これから，粒子と反粒子対の内部パリティηcηは，ボゾンについては＋1，フェルミオンについ ては一1であることが分かる．式（4。3．54）に式（4．3．56）を代入し，2B＋2ブ≡2。4mod2に注 意すると，
Pψ話B（の）P−1＝η＊（一）み＋B一ゴψ￡A（一x，劣o）．
4．量子場と反粒子 60
荷電共役変換の場合，粒子消滅演算子と反粒子生成演算子の変換性質は，
Cα（P，σ・）C−1＝ξ＊αc（P，σ）， （4。3。57）
Cαc†（P，σ）C−1一ξcα†（P，σ）， （4．3．58）
位相ξ，ξcはそれぞれ粒子と反粒子の荷電共役パリティである．場（4．3．36）にこの変換をす
ると，
Cψ潔（灘）C−1一（2π）一量Σ∫d3P嬬B（ ） （卿
ひ
×［ξ＊αc（P，σ）♂P切＋ξc（一）2B＋ゴーσα†（P，一σ）ε一乞PO『。
ところで，（B，・4）場の随伴は，場（4．3．36）のハ，βを入れ換えて，
ψ翻†（劣）一（2π）一豊Σ∫d3鴻趣（Rσ） （436・）
ひ
×［（一1）2A＋ゴ αc（P，一σ）ε加＋α†（P，σ）ε一加］．
これを，α→一α，わ→一δ，σ→一σと置き換えて，式（4．3．40）を使うと，
ψ駄（の）一（2π）一書Σ∫43貯＋響（P，σ）
ひ
×［（一）2A＋ゴ＋σαc（P，σ）ε加＋α†（P，一σ）ε一￠P●r．
ハ＋β一（整数）＝ブより，（一）一2A一ゴ＝（一）2B＋ゴ．従って，
（一） 一b一ゴψ駄（劣）一（2π）一睾Σ∫d3P嬬B（Rσ） （生36・）
ひ
×［αc（P，σ）♂P●T十（一）ゴーσ＋2B♂（P，一σ）ε一虚P 刊．
Cψ謂C一1が空間的に隔ったすべての場と交換または反交換するためには，これがψ聖工、（の）
に比例することが必要である．何故ならこれは，（B，ハ）タイプの変換をする唯一のcausa1場 の随伴であるからである．式（4，3．61）と式（4．3。59）と比較すると，荷電共役パリティが，
ξ＊＝ξc （4。3．62）
となることが必要である．従って，
Cψ詰B（灘）C−1一ξ＊（一）一2A一α一わ一ゴψ聚α（灘）．
特に，粒子がそれ自身の反粒子である場合，式（4．3．49）は，
ψ詰B（劣）一（一）一2＾一α一b一ゴψ翠キ（鉛） （4。3。63）
である，
時間反転の場合，粒子の消滅演算子と反粒子の生成演算子の変換性質は，
Tα（p，σ）T−1 ＝ ぐ（一1）ゴーσα（一p，一σ）， （4．3．64）
Tαc†（p，σ）T−1 ＝ 《c（一1）ゴーσαc†（一p，一σ）． （4．3．65）
この変換で既約場（4．3．36）は，
Tψ潔（ω）T−1一（2π）一豊Σ∫d3p σ）（一）ゴー （4a66）
ひ
×［く＊α（一P，一σ）ε｝2P切十（lc（一）2B＋ゴ＋σαct（一P，σ）♂P 『．
この積分の変数と和の変数をp→一p，σ→一σと変えると上式の右辺は，
（2π）一書Σ∫伽嬰（一島一σ）（一）ゴ忙［伽σ）ε一＋ぐ（一）2B＋柵†（R一σ）ε吻・
σ
（ハ，β）場が時間反転によって別の（／4，B）場に比例するものに変換されるためには，
ζc；ぐ （4．3。67）
が必要である．そのとき（4．3。41）より53
Tψ謂（劣）丁一1一（一）α＋b＋A＋＆2ゴぐψ翌一b（x，一灘o）．