である．但しここでの1は2x2の単位行列である．
4．量子揚と反粒子 64
4．5 ベクトル形式
式（4．4．4）の様にとった μについてのLorentz変換を表す行列を求める．
まず3軸まわりの回転を考える．式（4．2．18）より 7＝。4＋βであり，θ二（0，0，θ）より，
ユ エ
（1＋乞θ・のψぞ↑2一（1＋￠θ）ψ♂↑2， （4・5・1）
ユ
（1＋乞θ、7）ψ煮葺 二 ψ評， （4・5・2）
（1＋乞θ、7）ψ斧一研， （4・5・3）
ユ
（1＋￠θ・4）ψ8↓2一（1一￠θ）ψ8↓2・ （4・5・4）
従って，式（4，4．4）より，
︐ ηUU
1 θ 0 0一θ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1
2 3 0
UU砂
（4。5、5）
次に3軸方向のブーストを考える、式（4．3，11）より，￠κ＝（4一β）であり，θ篇（0，0，θ）より，
ユユ
（1＋￠θ・κ）ψぞ↑2一ψぞ↑2，
ユ ユユ
（1＋￠θ・κ）ψ雀↓2一（1＋θ）ψ ↓2，
ユ ユ
（1＋￠θ・κ）ψf↑2一（1一θ）ψ『↑2，
（1＋乞θ・κ）ψ韮↓2一ψ3↓2・
（4．5。6）
（4．5。7）
（4．5．8）
（4。5。9）
従って，式（4．4。4）より，
UUηU
1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 θ 0 0 θ 1
1 2 3 0
UUηU
（4．5．10）
っまり，3軸のまわりの回転と3軸方向のブースト変換性質より，式（4．4．4）で定義される μ は4次元ベクトルと同じLorentz表現をもつことが分かる．一般の場合も同様に検証できる．
4．6 Dirac形式
（巻，0）e（0，圭）場の斉次Lorentz群の表現をP（A）とする。無限小変換 A〜 二 δ〜十ω〜，
ωμレ ＝ 一ωレμ
（4．6。1）
（4．62）
4．量子場と反粒子 65 を考えることによってこれらの行列の性質を調ぺる．その場合，
乞
P（A）＝1＋巨ωμレノμレ （4・6・3）
とする。但し，ノrμレ；一ノレμ．交換関係（1．4。13）を満たす行列のセットは，
￠1ノμ，ノ門一ηレρ6ノμσ一ημσノμ一ημρノレσ＋ηレσノρμ・ （46・4）
その様な行列のセットを見つけるために，次の反交換関係を満たす行列をプとする：
｛ッμ，ッレ｝町μッレ＋ッレッμ一2ημレ． （4。6。5）
ノ岬を次のように定義する：
￠
ノμレ＝一耳［ツμ，ツレ1・ （4・6・6）
式（4、6、5）を使うと，
［ノμレ，ッρ卜吻μηレρ＋パημρ。 （4．6。7）
これから式（4．6．6）は交換関係（4．6．4〉を満すことが分かる．
式（4。2．2），（4．2．3），（4．2．18），（4。3．11）より，
ル静（盤）， （ 8）
砺1（ω （ 9）
であることが分かる．σ醤はPauli行列である：
の一（ll），の一（1ず）， （認、）・ （生a・・）
式（4．6，8），（4。6。9），（4。6，5），（4．6。6）とヂニー￠βとおくことによって，
ヂー冠（ll）一一一く儲）・ （46・1）
これをDirac行列という。これより，％＝一￠ッoッ1ッ2ヂであることが分かる．また，％はプと 反交換することも分かる：
｛ッ5，ッμ｝＝0． （4。6。12）
式（4，6．11）から次の式が成り立つこと分かる：
βッμ†β＝一ッμ． （4．6．13）
4．量子場と反粒子 66 これから
βノ砂†β一ノρσ （4。6。14）
従って，行列D（A）は擬unitary関係を満たす：55
βP（A）†β＝P（A）一1． （4．6．15）
Dirac表現はunitaryではない．だからψtψはスカラーではない．この困難を扱うために，新 しいadjointを定義する：
ψ…ψ†β． （4．6．16）
擬unitary条件（4．6．15）を使うと，ψ，ψで構築されたフェルミオンの双線形は次のLorentz変 換性質をもつ：56
U6（A）［ψ（灘）ハ4ψ（ω）］Ul「1（A）＝ψ（Aω）D（A）ハ41）一1（A）ψ（Aω）， （4．6．17）
また，空間反転では式（4．4．13）より，
P［ψ（￠）蜘（灘）IP−1一ψ（飾）βMβψ（卿）． （4．6．18）
行列Mを1，ゲ，。ノμレ，ッ5プ，75とする，単位行列の場合は，
1）（A）1D−1（A）＝1． （4．6。19）
交換関係（4．6．7）から，57
1）（A）ッρ五） 曽1（A）＝A！ッσ． （4．6．20）
式（4．6．6）に式（4．6．20）を使うと，
P（A）■ρσ五）一1（A）＝A！Aレσノμレ。 （4．6．21）
また，笥はゲと反交換するので，
1ノ砂，ッ5卜0・ （4．6．22）
式（4。6．22）より，
五）（A）ッ5P−1（A） ＝ ッ5， （4．6．23）
五）（A）・γ5ッρP−1（A） ＝ A！ッ5γσ。 （4。6．24）
従って，双線形ψMψは，スカラー，ベクトル，テンソル，軸性ベクトル，擬スカラーとし て変換することが分かる（「軸性」と「擬」の表す意味は，空間反転での一般のベクトル，ス カラーの性質と反対であるという意味である．擬スカラーは負のパリティをもち，軸性ベク
トルの空間成分，時間成分はそれぞれ正，負のパリティをもっ）．
4．量子場と反粒子 67
4．7 CPT定理
電荷の様な保存する量子数をもつ量子力学をLorentz不変にするために反粒子の存在が 必要であった．その粒子・反粒子の性質間に次の定理のような厳密な関係が成り立っ．この
定理をCPT定理という．
定理4．7．1反転位相く，ξ，ηを適切に選べば，全ての反転の積σPTは保存する． ■ 証明． いろいろなタイプの自由場のCPT積の効果を調べる，スカラー，ベクトル，Dirac場 について，58
CPTφ（劣）ICPT】一1 ＝ ぐξ＊η＊φt（一の）， （4．7．1）
CPTφμ（劣）［CPTl−1 ＝・ 一ζ＊ξ＊η＊φみ（一」P）・ （4・72）
CPTψ（の）［CPTr1 ＝ ぐξ＊η＊ γ5ψ＊（一ω）． （4．7．3）
（位相ζ，ξ，ηはそれぞれの場によって記述される粒子の種類による。）全ての粒子について位 相を次のように選ぶ：
くξηコL （4。7。4）
スカラー場またはベクトル場またはその導関数から作られたテンソルφμ、＿μ．は次のように 変換する：
CPTφμ、＿μπ（の）［CPT］一1＝（一）πφL1．．物（一の）・ （4・7・5）
Dirac場の双線形結合で作られるテンソルの場合，59
CPT［ψ1（JP）Mψ2（劣）］［CPT］一1 ＝ ψ1「（一の）ツ5βルf＊75ψ窪（一の）
＝ ［ψ1（一餌） γ5ハ4 γ5ψ2（一劣）1†． （4，7．6）
双線形結合の式がπ階のテンソルならば，MはDirac行列のη（mod2）個の積であるので，
γ5M％＝（一1）鰍4．従って，式（4。7。5）を満たす．
エルミート相互作用密度躍（勾はスカラーなので，テンソルの時空添え字の総数は偶数
である．従って，
CPT躍（￠）［CPTI−1＝躍（一灘）． （4．7．7）
斉次Lorentz群の一般既約表現に属する場ψ盒B（の）の1つ以上の場から作られるエルミート スカラーについても同じことが成り立っ．前節までの結果からζξη＝1とすると，60
CPTψ謂（￠）［CPTl−1一（一1）2Bψ潔†（一劣）． （4。7。8）
ψ島認・（灘）ψ議誇2（ω）…の積から作られた躍（灘）がスカラーならば，・41＋！42＋…，β1＋β2＋…
は整数である．従って，（一1）2B1＋2B2＋ ●＝1，61つまり，エルミートスカラー躍（灘）は自動的 に式（4．7．7）を満たす，
NOTES 68
式（4，7，7）と相互作用y……∫d3￠詔（〆，0）より，
CPT叩PT］一1一∫43の獅・）一∫43灘・）・
従って，CPTはγと交換する：
CPT y［CPT］一1＝V二
QED
Notes
25π，σのラベルは，全ての異なる粒子タイプとスピン2成分をそれぞれとる．
261）（W）はunitaryなのでP（VV）D（Vr1）＝1からP（W『1）二．D（VV）†従って，D（VV−1）†＝D（VV），これと 式（3，2．14）を使うと式（4．1．10）になる。
27 δP誇）（W（A，P））（2π）一量e茗（Ap）・（A ）uぞ（PA，δ，η）一碍Σ乏P産（A）ε（乞（Ap〉b）（2π）一舞幽u召（P，㈱
Σ∂P舞）（W（A，P））e乞（Ap）・（A￠）uぞ（PA，δ，π）一轟Σρ勿（A）e瞬吻（P調・
28P舞）（R）一δσ∂房0歪え（凛n））σδから，D露）＊（R）一δσδ一垂0信詫（魂η）＊）σラ．
29 （A，α）灘）碗（Aμ）一ΣNMΣεi…乏勾Σ召、…ゼN9乏宝…解・…ぞNU（A，α）ψξ（∬）・一ψ乙（の）ψよ（コr）…ψ為（T）U（A，α）
一Σ棚Σ8三…6包Σ2、…2亙9εi…8勾，ε・…乏NP4 〃（A−1）蝉A￠＋α）…P乏1ぞ1（A−1）ψよ（A針α）一・
30式（4．L15）と（4．1．16）を式（4．1．25）に代入し，xで積分すると相互作用Hamiltonianは，
V一Σ∫d3pl一・43P勾d3Pr・・43PMΣΣΣ，Σ
1VM σ、…σ丼σ・ 酢 σMπゴ壁・πNπr πM
xα†（P三，σ1，π三）…α†（P勾，σ勾，η勾）α（PM，σM，πM）…α（P、，σ、，η、）
x笏VM（P1σiπ生・一plvσlvηlv，P1σ1π1一・PMσMηM）。
但し，
笏w（Plσiη生一・，P、σ、η、…）一δ3（Pl＋…一P、一…）搬M（Plσ1ηi…，P、σ、π、…），
砺vM（P1σiηi… Plvσlvπlv，P1σ1ηr■・PMσMηM）＝（27r）3−31v／2−3M／2 ×ΣΣ9乏1…娠，乏、…融i（plσiηi）・陰・u召勾（P勾σ鮪）
εi…ぞlv4↓…ゼM
xu暇（P1σ1π1）・一鉱乏艇（PMσMπM）．
っまり，この相互作用はS行列がクラスター分解原理を満たすことを保証する形をしている，
31（〜α＝（α｝9（π））α，Qα†＝（g＋g（η））α†つまり（〜α＝αQ＿g（η）α，Qα†＝α†（〜十g（η）α†．
32 詔…（〜吻1ψ乏2一・ψ㍍1曾一＝ψぞ1（（〜一9ε1）ψε2… ψ㍍1ψ㍍2・一＝一9ε1詔＋ψぞ1ψぞ2（Q−9ε2）・・曾ψ㍍1ψ㍍2一
NOTES 69
一（一9の形＋（一％）躍＋…＝（一9乏1−9ε2…＋9物＋9肌2…）〃＋躍Q。
33 ん，んト去擁＋鶴，巧刊醐縁（2鰍ゐ一（ηkκ杜鰍梅＋乞鰍み）号￠ξ編み＋塩），
【醜，ぢヨ；却誘一￠縞，巧一κゴ1＝麦（毎盈諏十ξ鰍κ発一鱗κκκ十琶∈励み）＝茅殉威諏一歪κκ），
［ノ㌧Z3ゴ］＝却誘十歪κ憾，巧一乞κ司二去（毅飾の十ξ￠殖κκ十ξゴ硫κk一殉飾み）＝0．
344次元2．4階の対称テンソルの独立な成分の数は，対称なのでどんな順列も左から0123の順に同じ数が続 く順列に並び替えることができる，従って，2、4個の数字を0，1，2，3の4つに分ける方法だけ順列がある．つまり，
順列の数は2A＋3σ3．トレース0の条件の数は，縮約しない添字の数が2A＋3−2より2A＋103．従って，トレー ス・の対称テンソルの成分の数は，蜜編1L，ll袈111，一（2舟・）2・（A，鴻）場に期待される数と剛である・
35状態Ψゴ．≡Σ、bσAB（ゴσ1αδ）Φ。bがあるとき，Ψ各，Ψ、bの無限小回転θでの変化をそれぞれδ蝿，δΨ、bとする と，δψ多二Σ）αbOAB（ゴσ；αb）δψαb．従って，式（42．7）と（42。8）より，δ乳6＝￠Σ4θ・J器）Ψ酌＋歪Σ⊃6θ・Jlガ）Ψα6．
また，δψσ一侶。θ・瑠Ψゴ。・従って，￠Σσθ瑠鮪一Σαわ・AB（ゴσ1αわ）（配aθ・Jl倉）Ψ4謳Σ6θ・Jlガ）Φαδ）．
ΣケJ窺αbσAB（ゴδ1αb）Ψα6一Σ召b・みB（ゴ，σ；δb）ΣαJ認）Ψα6＋Σα6σAB（ゴ，σ1αδ）ΣbJlぎ）Ψα6．
ψαbは独立であるので，Σδ瑠σ河B（ゴ∂圃一Σ己σAB（ゴ，σ；δb）J器）＋Σ6・AB（ゴ，σ1α6）Jl9）．
36（JIA））｝α＝αδα αより（JIA））｝σ瓢（JIA））α α＝一（Jlハ））『α ＿α．またδ一α ，一α±1；δα，，α午1と
（JIA）＊干乞Jlハ）＊）α α一δα ，α土、一より（JIA）＊）α 巳一（JiA））α α一（JIA））一． ｝α．
（略A）＊）、・、＝一（略A））。・。＝（略A））一、 一、上下の符号が入れ替わるので最後で一符号がでて相殺した．
37式（4・3・3）に式（4・3・5）を代入して，＋Σδ δ6（0，δ）（一1）δ一σJ里一σ＝Σ⊃αJ器）uα6（0，σ）＋Σ）6Jlガ）uδわ（0，σ）。
（一1）升σを掛けて，Σ）δu4δ（0，δ）（一1）升ぴJ里『σ；ΣαJ器）uα6（0，σ）（一1）升σ＋ΣbJl㌘）u召b（0，σ）（一1）升σ、
Σ。 面6（0，一σ）（一・）ゴーOJ鶉一ΣαJ￡倉）uα6（・，一σ）（一1）ゴーσ＋Σ6Jl㌘）蝋・，一σ）（一・）ゴーσ，
38Σσ％αb（p，σ）税差6（p，σ）＝Σ）σ秘αb（p，一σ）E左6（p，一σ）＝Σ⊃σ（一1）升σuαわ（p，σ）（一1ソ＋筋差6（p，σ），式（43。15）
を使った．
39c・shθ一eθ 一θ 霧，sinhθ一εθヲーθ一霧。
40δ；B一整数，α＝A一整数よって2ろ一2α二2か一2、4＋偶数＝2君＋2A−4。4＋偶数．
41P（一P，一po）一παb，δ6（一P）一㌦，乙6（一P）一2評9αb，δ6（一P）＋1）2ハ＋2言P（P，po）。
42 ψαb（鍔），φ15（轡）ト（2π）一3∫d3P（2po）｝1（㌦，己6（P）＋2廊9αb，乙6（P））【κえ＊e￠P （忽『卸）干λス㌔一￠P （圃．
43￠が時間的で♂；0とするとlxl2く0．従って，矛盾する．
44△＋（・）一歯∫藩・ゑP・・一rP24Pム2π灘藷θ一瀞r轟［繋］1、・
45σ＝α＋b二！1一整数＋B一整数また，σ＝ゴー整数であるので，ゴ＝44＋B一整数．
46 ＝、4＋B一整数より2・4＝一2β＋2（整数）＋2ゴ＝2β一4β＋2（整数）＋2ゴ＝2B＋（偶数）＋2ゴ．従って，
（一1）2A＝（一1）2B（一1）2ゴ・フェルミオンのとき2ゴは奇数なので（一1）2A＝一（一1）2B．ボゾンのとき2ゴは偶数 なので（一1）2A＝（一1）2B．
NOTES 70
47 ｝はトレース0の部分を表す・例えば，｛∂μ∂〃｝…論 去ημレ⊂L
48 ゴ，0）場と（B，B）場の直積は，ゴ⑭B⑭β．（ゴ⑭β）⑭B…A⑭β＿4＝ゴ⑭Bはベクトルの加法則より，
け一刑≦A≦ゴ＋Bの値をとる，従って，凶一BI≦ゴ≦！1＋B．
49 ゴ・ゴ2m、m21ゴ、ゴ2JM〉一（一1）ゴ・＋ゴ2−」（ゴ2ゴ、物肌、1ゴ2ゴ、」M〉＝（一1）ゴ・＋ゴ2一■（卿2一物一m21ゴ、ゴ2」一M〉．
（ゴ2ゴ1m2m11ゴ2ゴ1JM〉篇（ゴ1ゴ2−m1−m21ゴ1ゴ2」一M〉．meshiaより
50 σ（×（一1）fσδo，＿σとすると瑠（x（一1）づ＋σδ＿σ，δより，（留J（ゴ）曽一1）σσ ＝（留）σδ（J（ゴ））ぴ∂（留一1）」σ，
＋・）ゴーδδσ， （J（ゴ））δ，δ（一・〆δ｝あσ ＋・）5 δ⑦一δ（J（ゴ））ケ，3δ一琶σ，＋・）σ 鵡一σ ・
51u謬（P・σ）＊一毒Σ （exp（一倉・J（B）＊θ））b，げ（exp（倉・J（A）＊θ））α，α σβA（ α ）である・また7
（exp（ウ・留J（B）貿一1θ））b，b・（exp（一レ留J（A）留一1θ））α，α・OB湾（ゴσ1わ α ）
一（留exp（か・J（B）θ）留一1）b，b （留exp（一〇・J（A）θ）曽一1）α，α OBA（ゴσ16 α ）
一（一1）b−bδ6−6（exp（倉・J（B）θ））6ぢδ一5b，（一1）o δα，一δ（exp（一倉・J（A）θ庸一δα ・Bバ（ブσ1わ α ）・
52。4＋B一整数＝ゴより％一2β＝2（且＋B−2B）二2（ゴ＋整数）一4B．
53ゴー整数＝σより2ゴー偶数；2σ．従って，（一）叶6＋2σ＋舟B冨（一）α＋6＋A＋β｝2ゴ，
54ψ†は行ベクトルである．ψのHemitian adjointが列ベクトルであるのでψ†と区別するためにψ＊とする，
55（4。6．3）よりD（A）†＝1一舌ω岬■μ吋であるので，β1）（A）†βな1一圭ωμレβ■μレ†β＝1一碁ψμ ■岬二P（A）一1 56（4．L6）より砺（A）ψ（の）む（A）＝D−1（A）ψ（A￠）．従って，（4，6．15）より鞠（A）ψ（の）碍（A）二βP（A）†βψ（Aの）．
Ub（A）ψ†（の）乙な（A）＝（βD†（A）βψ（A￠））†＝ψ†（Aの）β」D（A）β＝ψ（Aコp）」D（A）β。
57P（A）ツρP−1（A）一（1琶ωμソ！レ）ッρ（1一巷ωμ4μレ）一ッρ＋善ωμレ［！レ，7ρ1
一プ務ωμレ（一酬ηレρ＋耐ημρ）一δβア＋ω副μηレρ一（δβ＋ω！）ッσ一A脅σ。
58式（4．4．3）（4。4．1）（4．4．2）CPTφ（の）【CPTl−1＝CPぐφ（一9の）［CP］一1；ぐCη＊φ（一￠）C−1＝ぐη＊ぐφ†（一￠）
式（4．4，10）（4．4．6）（4．4，8）CPTφμ（の）［CPT】一1＝CPぐ9μレ砺（一ρ￠）［CPr1
一ぐρμレc（一η伊レλφλ（一￠））c一㌧ぞη＊く＊φ義（一￠）
式（4．4．18）（4。4。13）（4．4。15）CPTψ（￠）［CPTr1；CP（一ぐ％留ψ（一ρの））［CP】一1＝一く＊C（75留η＊βψ（一の））C−1
一一ぐη＊ぐ％暫ββ暫ザ（一偲）一く＊η＊ぐッ5ψ＊（一￠）
59 r（一￠）75βM・γ5％（一￠）＝一（ψ1（一の）耀M＊Tβ丁慮ψ1（一の））T．蝕mionを交換したので一符号が掛かる．
これは1×1行列なのでTを消去できる．一ψ1（4）％M†β75ψ1（｛）＝一1ψ1（一の）75βMγ5ψ2（一の）］†
75とβは反交換するので，式（4．7．6）となる．
60式（4。3．50）（4，3，48）（43。49）から，CPTψ盒B（￠）［CPT】一1＝CP（一）叶b＋A＋B｝2ゴ（＊ψ馨＿わ（x，一￠o）ICP］一1
NOTES 71
一（一）α＋b＋＾＋β 2紺Cη＊（一）A＋B一ゴψ果α（一x，一￠o）C−1一（一）叶b＋2A＋2B−3ゴ（一）一2B＋α＋b一鳩B†（一x，一のo）
とα＋孟，β一bは整数より，（一）2α＋2b＋2A＝（一）2（叶A）＋2b＝（一）2b＝（一）一2（B−6）＋2B＝（一）2Bから 61ψ島1認1（＄）ψ詣謹2（の）からスカラーを作るならば，。41＝A2』．／11＋ハ2＝2・42＝整数
ψ農1県（ap）ψ轟謬2（￠）ψ念曙・（の）からスカラーを作るならば，・41＋・42一整数＝・43でなければならない・従っ て，441＋！12＋・43一整数二％3よりノ11＋且2＋・43は整数である。以下同様にすると，z41＋A2＋ハ3＋…は 整数であることが分かる。