受0.4

。\、-'

℃03

0.2

0.1

。

1 5 20

<5 (0)5 (け>の温度依存性(Lz二40).

1 0

FD 。

図4-34

3次元S三1 ANNNIモデルの有限温度における磁気相図及び熱力学的諸量の温度依存性をモンテカル口法に基づいて、より高精度に調べ、スピン倦造の変化に関してはそのフーリエ変換により得られたフーリエ係数の温度依存性より解析した.

12-21モデルの磁気相図は分子場近似の結果と定性的に一致し、秩序一無秩序転移温度は分子場近似の結果と比べて約24 � 30 (;{低くなっていること、また競合の強い町二一0.5近傍で秩序一無秩序転移温度の低下が大きくなっていることを示した. s三1 [2-2Jモデルの磁気相図及び熱力学的諸量の温度依存性は通常のS= 1/2 ANNNIモデルと定性的に一致することを明らかにした.

[3-4Jモデルの磁気相図及び熱力学的諸量の温度依存性に関しても分子場近似の結果と定性的に一致するが、 S二lモデルの場合、分子場近似で見られたF相の張り出

しがKJ< -0.505の範囲での計算では出現せず、 F相の張り出しすなわちリエントラ

ント転移の出現する領域は存在しないかまたは非常に狭いことを示した. 一方S=2 モデルの計算からF相の張り出しの存在すなわちリエントラント転移の出現を確認したしかしながら、その領域はK戸-0.56であり、分子場近似の円三一0.665に比べて非常に狭くなっていることを明らかにした.

S二1 [2-4]モデルの磁気相図は分子場近似の結果と定性的に一致するが、分子場近似で得られたFM相-F相境界に対応すると考えられる領域での物理量の特異な振舞は見られず、 FM相-F相の明確な相境界を決定できないことを示した. 分子場近似の結果を考慮すると、 FM相は非常に狭いと考えられる. 他のモデルでは磁化， <S2>

等は温度上昇とともにほぼ単調減少を示したが、このモデルでは-3.05 <町<-1.75 の領域において特異な温度依存性を持ち、この温度依存性はエント口ピー効果により理解できた.

149

司�

第4章モンテカルロ法

参考文献

1) K.BinJcr:MofIle Carlo !vfelhod in 51μliSlical Phりics. cJ. K.Bindcr (Bcrlin:Springcr， 197り)

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2) K.BinJcr anJ D.W.Hccrmann:Monfe Carlo Simulation in Stalis、lical Ph\'sics.

(Bcrli n: Spri ngcr， 1979)

3) N.Mctropolis， Ä.Roscnblllth， M.Roscnblllth， Ä.Tcllcr and E.Tcllcr:J.Chell1 .PIり'.\".21( 1953) IOR9.

4) T.G.Lewis and W.H.Payne:J.ACM.20 (1973) 456.

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7) W.Sclkc and M.E.Fisher:Phys.Rev.B20 (1979) 257.

8)津田孝夫:数値処理プログラミング(岩波講座 ^{ソフトウェア科学} 9，岩波書店

1988)

9) J. Oi tmaa:J.Phys.A.18 (1985) 365.

競合スピン系における高次のスピン間相互作用及びスピン量子数の果たす役割とその重要性を系統的に明らかにするため、l2-21， l3-41及び12---+1の3種類のANNNlモデルを提案し、その磁気的性質を議論した. ここで、12-21モデルに関するスピン亘子数依存性， 13-4]及び12-4]の拡張ANNNIモデルは本論文で初めてなされた研究である.

本研究では、まずlsingスピン系の基底状態の厳密な解析法として、基本スピン配列の方法を提案し、この方法に基づいて3種類のモデルの基底状態の磁気相図を厳密に決定した. 次に有限温度に関しては、分子場近似を用いて磁気相図，熱力学的諸豆の温度依存性等を調べ、最後にモンテカル口法でその結果を検証した. これらの解析から以下のことが明らかになった.

1 . 高次のスピン間相互作用

双1次交換相互作用と高次のスピン間相互作用との競合、すなわち通常のANNNf モデルとは異なるスピン構造問の競合により変調倦造が出現し得ることを確認した.

特に、双2次交換相互作用を持つ[2-4]モデルにおいて出現した強磁性的変調構造は従来のANNNIモデルでは見られなかった新しいスピン構造である.

双2次交換相互作用及び3ーサイト4-スピン相互作用を持つモデルに共通の特徴として、高温領域における強磁性相の安定化効果を見出した. この効果は双2次交換相互作用及び3-サイト4ースピン相互作用の持つスピン演算子の2次の部分52が 1イオン異方性項D5，2 (D > 0)と同様の働きにより各サイトの磁化の減少を促進し、

それにともなうエントロビーの増加により高温領域において強磁性相が安定化することに起因している. この結果l3-4]モデルではA相→M相→F相→M相→P相のリエントラント転移が出現し、 ANNNIモデルの磁気相図の特徴である「悪魔の花」が部分的に崩壊することを示した.

151

2. スピン量子数

第5章概要及び結論

通常のA�NNrモデルの5三lへの拡張である12-21モデルでは、その磁気相図は定性的にスピン量子数に依存しないが、[3--41及び12ー斗|モデルの磁気相図は複雑なスピ

ン量子数依存性を持つことを見出した. 特にS二1 [3--41モデルでは12-21モデルと定性的に同様の磁気相図となるが、S>lモデルではリエントラント転移の出現及び

「悪魔の花」の部分的崩壊が見られ、 S二lを境としてその磁気相図の性質が大きく変化することがわかった. 一方l2→叫モデルでは基底状態もスピン量子数に依存し、

スピン量子数の増加とともに多くのスピン構造が系統的に出現することを示した.

これらの事実は高次のスピン間相互作用を持つ系において、スピン量子数が秩序状態・相転移に関する重要な変数であることを示しており、本研究で得られた知見は競合する相互作用を持つ系の理論的・実験的解析に広く適用できると考えられる.

Fishcr anu Sclkcl). 2)は低温展開を用いてマルチフェイズ点近傍におけるANNNIモデルの解析を行っている. 競合方向に沿ったスピン構造を、 k個の同じスピン状態が連続している部分の1スピンあたりの出現率lk(!ï rs t- ordcrぉlructurc \'ariablcs)を用いて表す. ここで条件

L _kLk = 1 ^， ^{(/\-1 )}

が成立している. このとき1スピンあたりの基底状態のエネルギーは、む二-J./J1 -1/'2 とおくと

〈牛 tドいq仇υl_JんJ

と書くことがでで、きる. ここで仇は面内の最隣接格子点の数である. {Lk}によって指定されるスピン構造に対する還元自由エネルギーの低温展開は

一 - _�) F

{け

= E^l. _l

安企ZN (nz. { lk } )

{

}

⁼

rnJ' k j

⁼

^Eo ^{{ lk} ^} +n�1

^" ^\ N

\. �) j

， (A-3)

と書け. 企ZN(m，^{

l

k })は基底状態からrn個のスピンを反転させてできる状態からの寄

与を表している. ボルツマン因子を

w = cxp

(

-_'2Ko

)

^. ^x= 叫

(

-_2K1

)

_. K;二f3J;(i ⁼0^，1 ユ⁾ ^，と定義すると、 1次までの展開は

fべ〈守 iト仇υ仏ムl_K爪O + i伊μKκl + ;トドKκl

^十

;ぷ(2

⁺

^円川)wω'1

+打リ叫吋正α句吋iら以2(川州州州(ゆ向州bめ州川)げ凡l九Z

守t九ぱμ人ぷ爪(伶州b

円吋ゆ帆(伶向bめ)二

手苧Kκl

^一

^; _立 _(や _い 2ト一- 3訂ザ3x1 イ x1 は + 2 + 2川+ + 2ö 2ö 払 + +

^円

(A-4)

kμ向刷附川i九以肘仰人ぷ爪州(伶向bめ俳ドÖ)

いトJ=一Jノy一メ〆刊ぺ4必 = - � 州ぺb ぺ似 t; ( ^~

^l^-

I L

^-3

⁾ ^(1\:

^一

^-^4)x1

^-2b

^-^2.c

⁺ ヰ Iw" ^叫ν

^2，{:

^つ

^{(k> 3)}

(A-7) となる• j{

lk

}を最大にする{ん}を見出すことによって出現し得る安定相を決定できる.

参考文献

1) 1'v1.E.Fishcrはnu \ヘf.Selkc: Phvs.Re\人Lell. 44 ( 1 980) 1502.

2) ìv1.E. Fishcr anu W _.Selke:PhiLos. Trans.R.Sοc.London. 302 ( 1 9� 1) 1 1 53

人ppcndì'\ l3 l)UI11i.lIll \\�1I1間の相互作用 Appendix B Domai ⁿ\\ all聞の相互作用

低温領域における分子場近似の範囲内でANNNlモデルは相互作用するdOmi.llⁿ\\' ..111 の1次元配列によって書き表すことができる1) T二()における磁化の値σ二i:1からの縮みLlを用いて、A Iモデルのハミルト二アンを

H = -J ^I

L

(0， - ll) (01 + I -lll+ 1) -J ^'2ヱ(01^-^{ll) (げ1}⁺^'2^-U1+ユ)+A玄1I� . (ß- I ) と書き直すことができる. ここで最後の項はLhを小さな値に留める項である. このハミルトニアンより有効自由エネルギーが

F

₌_-

L

_{A 2}

I( j

-i)σiq のように求められる. ここで

(

^" dk e1kJ

/(β=一一一l

8凡'2

J

^" P(COS k)

P(て)=れ

↓

^(J2/J1)τ-

↓

^-A川，

(8-2)

(8-3)

(8--4) である. <∞>相に近い状態を考える場合、(8-2)式はp番目のdomain \vallの位置Xp を用いて

予=え十rzω1ーヱヱ(- l)rU(xp+r一χp) ) (8-5) のように書き直すことができる. 第1項は強磁性状態の自由エネルギー、第2J頁はn 個のdomain wallのそれぞれの自由エネルギーへの寄与

ω1 = 4A2

L m f(m) )

そして

U (J) = -8A ²

L m I (j

m)

^，

からなる第3項は第r隣接dom山nwは11間相互作用を記述している.

定化する機構は最隣接domain wall間相互作用によって理解される.

領域では

U( 1)二-8J2 ^>⁰ ^，

U (2) = ^- ^{1 ()(}J ^I ⁺J ^�⁾J 2 / A ^>^{0 )}

U(3)二-8J� / ^A^<⁽⁾ ^， U(川)�()，川>3 ^，

( 8-6)

(8-7)

強磁性相が不安このとき、低温

(8-H)

であり、くお>相は不安定となり、 <3>相へ1次転移する. 同様の議論を<2>相の側に

引U山一+川山1-:::::コ寸2n→咋巾πイ市[ド何3封( 1ト一 ^{;ドり判人} ^り ^川川 ^{川，} ^， ^/ ^/ ¹ |いj J巾叶

により;決夫まるlを持つ状態態、へと1次転移することが示されている.

上のVillain and Gordonの議論は分子場近似に基づいている. より一般的には、

スピンあたりの自由エネルギーを

({川

^二円)+f

z [

エ+ \V;:(I，) +

�V.l(l"

_{1，+ ，)...}

]

^， ^(引))

と書き表す. ここでFo(T， �l， .一)は基準として考えている相の自由エネルギー、と(T，

�l，・…)二W，(T，�l， .一)は1つの孤立したdomはin \\'allのsurt"acc tcnsion、 WII(l" l，十" ... ) は隣接するn個の domain wall聞の相互作用であり、

vV

₂_(l)₌L

[F(l)一九]-2vV， '

VV

_J(l川二L

[

^F(I.^l'⁾

-凡]-3帆-vV

₂_(l)

-vV

₂_(1') ， (8-11)

のように求められる. Fo， I， Vv'2' .…が与えられたとき、自由エネルギーF({l，})を最小にするような{l， }を見出すことにより平衡状態を決定できる2)，3) 低温展開におけるS/.pilka and Fishcr)の研究は(B-IO)式の自由エネルギーを低温展開により求めたものに基づいている.

参考文献

1) J.Villain and M.Gordon: J.Phys.C. 13 (1980) 3117.

2) A.M.Szpilka and M.E.Fisher:Phys.Rev.Leu. 57 (198

6)

₁₀₄₄

3)

M.E.Fishcr élnd A^.M.S^/

.

^pⁱ^l^kは^:^P^h

_

^vs^.R^どv^. ^B36⁽¹⁹⁸⁷⁾

^6凸4，5343

K.Basslcr， K.Sasaki and R.8.Grirtlths:J.Stal.Phys. 62 (1991)

45.

iラ5

人ppcndl\ C 転送行列法

Appcndix C 転送行列法-1次元系の基底状態

周期境界条件の課された1次元Isingスピン系の基底状態におけるエネルギーは転送行列法1)1こより厳密に計算できる. 1次元5=112-2]モデル及び[3斗|モデルのハミルトニアン

H1d = -

L

(JI5151+ 1+ J25ISI+2+J.ì515

�

ト151+2)' (C、-1)

を考える. ここ^で、 ⁵1 =:t I，()であり、人二()のとき[2-21モデル，J、二()のとき[]斗|

モデルに対応する. 周期境界条件SYt-i=51を課すと分配関数Zyは Zγ=

L rr

L(⁵i， 5什，，51は)，

L(5i， 5i+ _l'5iリ) ₌CXp (K，5i5i+ 1 + K25151+2 + K15IS

�

₊_，₅₁₊₂₎_，

で与えられ、 KI二pJ;= J)kBT (i =1

� 3 ) であり、んは Bolt 7. m a nn定数である . 隣接し

た2つのスピンの直積空間の基底として変数 τi= (5 i ' 5 1 +1 )を導入すると、 τt は(1、

1)，(l，0)，(1，-1)，(0， L)，(O，O)，(O，-l)，(-L， 1)(-1，0)(-1，ー1)の 9つの自由度をを持つ. 変数τ を用いると(C-2)式は

ZN ⁼

判

^的^I ^τⁱ⁺⁾

二TrL.Y

と表される. ここで、 Lは変数τ を基底と

し

_てL(τ^， τ1+，) = ^U51，^51令" ⁵¹は)を表^現

し

_た

9 X 9の転送行列であり、

(C-4)

。、ae 《M 口

吋4令'b Fむ \IIlll1111lノ今'M レ八

一

L ))Hh-ギ。l+J KI--eおと

k i1

→

ρ』

\111111111J

k t

R

‘，-'''a、

\illj - O K

O

LLL+'vh--エ-g

3 ロロ K

一

ス

はロ刀 004

0 0 けめLLLU1

‘一'K1JK1J「〕

U 引引e(ど(ULμ、LLLfili--\fill\/lill-\J

fell--ll\ 一一一一一一戸七 ι 'h fh 刊

(C-S)

eK，-K2-KI \

() I

o I

(C--n )

(C-7)

(C-R)

と書け、またKI →-ktとおけば

L]ぃL32' L 13がそれぞれ得られる.

このLの 9つの固有値を大きい)1債にλl~入りとすると、自由エネルギーFは

ドキュメント内九州大学学術情報リポジトリ (ページ 33-42)

℃03

0.2

0.1

1 5 20

1 0

〈 牛 tドいq仇υl_JんJ

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いトJ=一Jノy一メ 〆 刊 ぺ4必 = - � 州ぺb ぺ 似 t; ( ~

I L

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L m f(m) )

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6凸4，5343

45.

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� 3 ) で あり 、 ん は Bolt 7. m a nn定数 で あ る . 隣 接 し

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〈牛 tドいq仇υl_JんJ

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^6凸4，5343

� 3 ) であり、んは Bolt 7. m a nn定数である . 隣接し

吋4令'b Fむ \IIlll1111lノ今'M レ八

fell--ll\ 一一一一一一戸七 ι 'h fh 刊