十1▽、灼，、、（（▽、舳η）η■1）12＋1▽、，、1〃（（▽、舳η）η一1）12 ＋（（（㌦〃）。η）η・1）β、
／（㌦・）肌τ（〜）l／肋（〜ハ（（㌦）岬）パ）㌦
一（0、舳）m｛肋（み、、〃）ββ（①、，、、，ヅ、）7δ（（（▽到、王，、、）1η）η一1）μα
・肋（㌦）・ア（〜。灼）l／（㌦戸（（（∀舳）1η）パ）㌦／
一（叫、、，、、）m〜（叫、、，、、）ρβ（へ、ユ，グ、）佃
／（㌦）伽）卿！（（（㌦灼）1η）η山1）㌦
・（（（㌦η）一1）グ1）㌦（㌦灼）1・（叫）伽！｝
Reca．n we de五nedη＝（ω。）へ1＊働、ハ灼，therefore we have
∂
房（（（㌦ふη）パ）ト
∂
玩（一（叫榊（叫）1・・（〜仰）㌦（〜灼）1・）
（（㌦〜品（㌦ル）べ㌦戸島（㌦加）
α8∂
（▽乳、1仰）m（（叫、、灼）一（へ、、，、、）2ざ）
∂之 一。∂
（▽島、、，、、）肌（η一η）αi，
∂t
∂ ・∂ 一。∂ 一。∂
玩（〜他）ヅ（叫）δμがト（〜灼）砂（η房η）卜（η房η）δβ，
∂ ∂
一（〜、灼）β㌧一（一〜、他）βb工
∂t ∂亡
∂
一（ヅ1一η）㌦（恥∴）此 ∂カ
∂
一（η ユーη）βb．
砒
Gombining these with岳〜灼＝＿地。（㌦〃）十地。（Ω＾〃），we have
一。∂
（η一η）αユ＝一助（①、ハ灼）王α十肋（Ω、ユ織）エα ∂尤
and
∂
玩（（（㌦他）・ηパ）トー（㌦灼）・五乞・（〜〃）1α・（㌦他）・肋（㌦）1α・
By using these caIcu1ations，we obtain
∂
一8＝・
∂尤 （〜、〃）m旦（叫、〃）μβ（〜、〃）7δ／品（（（㌦㌦1）パ）㌧（（（㌦。》1）パ）㌧
・（（（㌦ル1）パ）㌧品（（（㌦ふ1）パ）㌦／
一（（（㌧1灼）。η）η一1）㌦
／（パ岳1戸（沁加㌦戸（（（㌦・1）パ）㌦
一（㌦戸（パ払（㌦凧（㌦ル1）パ）㌧
・μノ（恥ル（パ岳1戸（（（㌦ル1）パ）㌦／
Combinin−g these computations，we have the fo11owing genera1heat equation：
（い＿，。、）・
■▽、，、ユ，、、（（▽、，、、，、、η）η一1）ト1▽、，、、，、，（（▽、，、1，、、η）η一1）12
＋（働、，、、，、、）mユ（お、，、、，、、）ρβ（園、，、王，、、）巾
／（い・，・。，・。）（（（㌦）一1）1一・）㌦（（（・・，＿）ll）1一・）1一
・（（（㌦，。。）…1）グ・）！、（品一肌，・。）（（（・・，・ユ，・。）ll）1一・）1−／
−／（1一・岳1・肋（棚。，。、。））㌦。，・、）β／（働。，。、，・，）領
一（働一・）・τ
iヅ1品1・月ψ一））、、（働・一）・δ
・（①。，。。，。。）咋。，。ユ，。。）μ／（ヅ・品／・帆…，。。）プα／
（（（▽。，γ、，。、）。η）1ブ！）㌧（（（▽。，。王，。、）1η）η一五）㌦
■▽、、、ユ，、、（（ウ1，、、，ザ、η）η一1）ト1▽、，、、，、、（（▽、，、1，、、η）η 1）12
・（①・，・。ヨ・。）肌τo（▽・，τ。，・。）す・（ω・）卿！・（▽・，τユ，γ。）・肋（Ωτユ，γ。）、β／（（（▽・，・。，・。）1η）r・）〜
・（働・，㌘。、・。）mτ（（（▽・，・ユ，・。）・η）グユ）μδ｛（▽舳，・。）明（ω・）票、μ・（▽・，・。，・。）伽（Ω・ユ，・。）一1／
＋・（Ω・・，・・）伽τ（軌，・・，・・）l／（軌，舳）・し（軌，・・，・・）伽Ω・・，γ・）l！（お・，・・，・・）恒
・（働・，・王，・。）咋・，・。，・。）l／肋（Ω・。，・。）・δ／（（（▽・，・。，・。）・η）η一1）㌃（（（▽・，れ，・。）1η）ザ1）㌧
since we have
（1一・岳1・肋（・。，。1 一））β、一町1，。、）λ／
and一
（い・，・ユ，・。）（（（㌦）ll）1一・）㌧一（㌦） ）、伽！・（・舳）州Ω・。，。。）、1・
Therefore there exists0＞0such七hat
（い舳）・・■㌦，。，（（・。，舳1）ヅ・）1・■㌦（（・・，舳1）1一・）i・
十08＋0
・i…月（ω、）す、、β1，左1・（Ω、ユ，、、）豆㌦・丘・・・・・・・…f・・・・…，ヅ。，・。∈（・，・1．
Reca11the fo11owing computation：
（い財ユ，ヅ、）・・ψ易。1，。、一（軌ハ ）帆）烏！ゼ（園舳）1
一（ω、）巾、，、、，、、）Φ（・。，、1，、、） た（▽（ω塙））乞（園、，、、，、、）、1（▽（ω・））ラ（働、，、1，、、）物
and the esti1mate：
σ 川
七rω、働、，、ユ，、、≦eT 0n any compact set K⊂X＼亙．
GoInbining with au estimates above，we have the fo11owing resuユts：there exist su脂。ient1y 1argeα．，β＞O such that
（岳一・舳）1一㌔島舳・一・｛・σ
a．nd
（岳一・，・。，・。）｛・σ｛・α
By choosing su舐dentユy1＆rgeβ〉α，we have for su舐。ientIy工argeλ＞O，
（岳一・，。。，・。）（・一等・十λゼ㌔。，＿）・一・｛・α
2β 2α
We may assumethat e−T8＋λゼTtrω月優、，、ユ，、、achieves itsmaximum at（乏。，zo）∈10，η×
X＼亙，6o〉0，where T is arbitra．ry chosen．App豆ying the max主mum princip王e，we have at
（乏。，・。）
・■衛（む。，・。）≦0．
Therefore，for su担。ient1y largeβ＞αand for any老∈［0，T］
2β 2α 0 εて8＋λe−Tt・ω苫お、，、ユ，、、≦oεT
As a resu1t，we丘nany have for a11亡∈〔0，oo）on any compact set K⊂X＼E
λ 8＜0ε丁
since T wa」s given arbitrary．Hence we have
λ
ll￠。，γ1，。、ll・・（K）≦σ・・f・・乏∈［0，・・）・
口
In consequence，we obtain021α一bound（α∈（0，1］）fgrψ、，ツユ，、、on any compact set K⊂X＼亙、This imp1ies that the metric（働、，、、，、、）仰has a0α一bgund（α∈（0，1］）on K．
By appIying the parabo1ic Schauder estimate to岳ψ。，。ユ，。、，
ム（知，。1苅）≡（〜、灼岬み，・バ品（品ψ＿，γ。）一・，
we have
∂ 0
萩ψ舳。。，、（、）≦ε丁虹乏∈正0，oo），（α∈（0，1］）
・・…f・…3（K）∋細。，。、，。、一1・・（ω5＋｛篶州）れ一・舳，ヅ。狐・￠・，τ。，・。∈・5（K）f・・
む∈（0，○o）．This imphes that the metric（0、，、1，、、）吻has a02・α一bound（α∈（O，11）on K．
App1ying the Schaud−er estimate，then we have岳ψ、，、ユ，、、∈σ5（K）and一ψ。，。、，。、∈σ7（κ）
for尤∈（O，○o）．Iterating this process，we have ∂ 0
房ψw・。。一，一（。）≦eTfo川∈N，fo「￠∈［Oヨ。o）・
This means that we have for anyε＞0，
llψ、，、1，、、l1州、，。。）。K）≦0ε，Kf・…m…n・t・nt0ε，K＞0・
Exhaust X＼亙by compact set・瓦with K｛⊂K壱十・and U乞K｛＝X＼亙、Con・ide・a
sequence｛ε4｝乞such thatε毛→0as乞→oo，Letルτ｛≡［ε乞，一〇〇）xκ乞．For each4，there exists06＞0such that
llψ。，。、，。、ト（M壱）≦qf…，・・，・・∈∈（o，11・
Chodse subsequences
｛
句，1，（？・1）4，1，（r2）壱、1 as they converge on M1，
・1，・，（ヅ・）1，・，（グ・）｛，… th・y・・nv・・g・・nM・，
● ． ・
・1，ゴ，（ザ・）1，ゴ，（・・）1，ゴ・・th・y…v・・g・・nMゴ。
工terating this process and picking up the diagona1subsequence：
8づ、乞，（ヅ1）4，｛，（r2）｛，壱 as they converge onλ41，M2，．．．，M｛、
Inthismanner，weconc1udethatweh＆veasゼ→○c
ψ。、，、，（。1）壱，、，（τ、）、，、→￠i・0◎。一t・p・1・gy・・（0，・・）・X＼亙・
remma4．9．↑he fo1王。wing monotonicity c㎝ditio宜s ho1d forψ、，、1、、、on［0，oo）×X．
（1）ψ・，・1，・、＞ψ。，。i，・、fg…y0＜γ・〈小
（2） ￠。，・、，γ、＜￠。，。1，ぺ・…yO＜・・＜小
（3）￠、、、、，、、＜ψ、・，、、，、、f…ny0＜・＜・！．
PR00F・Letψ三ψ・，。1，・、一ψ。，ぺ，。、・Thenψ（Oデ）＝0and・
∂ （ω、十戸∂∂ψ十ρ∂∂ψ、，、三，、、）肌Ω、i，、、
一ψ二10g 一
∂亡 （ψ、十〉⊂了∂∂ψ。，。i，。、）η Ω・1，r2
Letψmi。≡minxψ，and we have
岳1…・1・・；訣÷・
f…nyO＜・。＜ぺ
and we haveψ＞0．
We can prove2in a simi1ar way．Next，we show3．Letψ≡1￠、。，、1，、2一ψ、，、、，、、．We have
ψ（0，・トO．Letψmi。…minxψ．We ca1cu1ate
ポ （ω1＋ρ∂弧、、十ρ∂∂ψ、，、、，、、）η 一ψm1n ： IOg ＿
∂乏 （ω、十戸∂∂g、，、ユ，、、）れ
（ω、十（・L・）θ十ρ卿、，、ユ，、、）肌 ≧1Og 一
（ω、十ρ∂∂ψ、，、ユ，、、）・
（ω、十ρ∂∂ψ、，、ユ，、、）η ＞ 1Og 一
（ω、十ρ∂∂ψ、，ヅ、，、、）η
＝ 0
forany0＜3＜3 ．Tbenwehaveψ＞0．口
Let
一ザ1im1im（1im￠、，、、、、、）＊，
5一÷01r2→0 r1→O
where we de五ne
∫（・）＊≡工1m・upア（・）．
δ→0B。（・）
As we see above，￠、，ク、，、、is the increasing sequence as rユ→0−Therefore，（1imザユ→oψ、，、ユ，、、）＊
denotes巾e upper semi−continuous enve1op．It is anω、一p1urisubharmonic function an（1is dec干easing asγ2→0and5→0．This means that hm。、→o（1im。、→oψ。，γ、，。，）＊is a1so anωゴ p1urisubharmonic function and−1im、→o1i㎎、、→o（1im、王→oψ、，、1，、；）＊is anωo−p1urisubha亡monic funCtiOn．
We notice that
ダ≡ψ・n10，・・）×X＼E．
This is the so1uti6i of the MongトAmpさre且。w1
如一1・g（ω・十字卿）η・・［O，・・）・X＼亙，
｛
｛一〇＝0bnX
・u・hth・｝∈0o。（［0，・・）xX＼亙），ψ，・）∈炉（X）∩P8∬（X，ω・）f…11￠∈［0，・・）．
Next，we nged to show the uniqueness of the so1u七ion with using an〇七her parameter
0・δ〈1．L・tω！δ）三（1一δ）ω。十・仁ω、一δω。≧0．Th・…tf・mi1y・fM㎝g・一Ampさ・・
且。ws have smooth so1utions in0◎o（p，oo）x X）．
紬1。、一1・・（ω≦δ）十与竿，・・）L・。，。、，。、，
｛
ψ！ジ1，、、1、一。二0
F・・…h・，・、，ヅ、∈（0，l1，｛ψ！ジ1，、、｝。〈δ＜1i…m・・thf・皿i1yi・δ・・dw・h…11mδ。。ψ！ジ1，、、一 ψ、，、、，、、i・砕t・p・1・gγW・…dt・・h・wth・岬！δ）i…虹m−1yLip・・hit・i・δ1・t・・．F・・
its proof，we make a preparation in the fonowing Lemma．
Lemma4．10．There exists0＞0such that for8，γ・1，r2∈（0，11，左∈10，oo），
∂
σ1・・舳亘一・≦紬！。，τ。≦・・
P・…．L・t△！ジ1，、、b・th・L・p1・…p…t・・with…p・・尤t・ψ1，、、…ω！δ）十ρ∂∂凶1，、、．
W・・・…㎡p・…h・・知ジ、，。、！、、。一〇・・d
（品一・！！、吻）（紬1 ）一二・・働鰍王、（ω・）・・．