Since we1ater con−sider the exceptiona11ocus亙∬c（π）as亙，we may assume that the
supPort of亙。ontains that of亙。，亙and F，i，e．，supP万∪supPFUsupPEo⊂supP五1，
LetΩbe the v〇五ume form satis丘es Condition2，0and一∫xΩ二［ωo1η…乃after normahza−
tion．Letθbe a五xed K包h王er form on X．
Let
ω、…ωo＋3汐＞O for．8∈（O，1ユ．
And−1et
Ω≡1軌…θ
「1 「213ポ、十・・
be the perturbed−smooth positive vo1ume form on X，whereθis asmooth positive vo1ume form on X1We consider tbe fami1y of・Monge−Ampさre且。ws as fo！lows：
｛ 知州，・。一1・・（ω8＋平葦w・）肌
ψ、，、ユ，、、し一F0
By app1y虹g standard parabo1ic theory，we obtain a unique smooth so1ution for each 3，r1，グ2∈（0，ユ］and￡or左∈［0，η）．whereη＞O is＆su舐。ient1y sma11time．By making the same argument in sub−section3．2，we have the fonowing resu1t．
L・mm・4．2．F・…y・，・。ラ・。∈一 iO，11，thg・…i・t…iq…m・・th・・1・ti・岬、，、、，、、・fth・
Monge−Ampさre且。w above on p，oo）×X．
We needto noma1izethe且。wto get the00−estimate．We de丘ne
ブ
目ωε「＝㌦・…人Ω・・，・・コ
・・d・・，・1，・・…1・g考、、L・・ψ・，・・，1・≡恥，η，ゲ1・・，w・
Thenthe Monge−A血pさre丑。w above is equiva1ent to the fo11owing fami1y ofthe Monge−
Ampさre且。ws：
｛ 細，・。，・。一1・・（ωs＋守葦W・）L・・，・。・。
ψ、，、、，、、し一・：O
The constants c、，、、，、、are uniform1y bounded−for3，r1，r2∈（O，1］and−they apProach O as 8，γ1，ザ2→0，
4．2 Some estimatesおr the proofofProposition4．1
I・emma4．3．There existρ＞1and0＞O such that for a1け1，r2∈（0コ11
PR00F． We have
人（Ω着「2）ρθ人（叱…）州い・）一ρθ
・小雌θf・・・・・・・…t・・t・…H…lw・…th・f・・tth・tf・リ・lw・h…ん，1］ガ物・十・・Th…f…w・・h…
〃8・1青二θ＜十・・f…W・1withハ・lf…1リTh…f…，1fw・・h・…ρ〉1
su担。ient1y sma11we have
入（Ω宕「2）ρθ・…
几emma4−4．Letφ、，、エ，、。beω、一p1urisubharmonicfllnctionssatisfyingthefo11owing1〉1㎝ge−
Ampさre equations：
（ω・・ρ∂∂ψ・，・・，・・）㌧寸、、Ω・・，・・
｛
maxxφ。，。。，。。＝0
f・・…h・，れ，γ。∈（0コ11．
Thenφ、，、1，、、are unique weak so1utions of the equations for each18，グ1，r2∈（0，1］such that φ、，、、，、、∈P3一σ（X，ω、）∩ム。o（X）．
PR00F．Let
K Ωr、，、、・
Φ、，、1，、2三
W、，、。ω二
Since we showed in Lemma413that for any sエ皿。oth positive vohme for二mθ，we have
Ω、。，、、
∈工ρ（X，ω、）f・…m・ρ＞1。
θ
Therefore we have
Φ、，、ユ，、、と工ρ（X，ω、） for someρ＞1．
We rewrite the equation：
｛
（ω、十〉⊂了∂∂φ、，、、，、、）犯＝Φ、，、ユ，、、ω二，
maxxφ、，、。，、。・＝0・
Here we introduce the fonowing resu1t deveエ。ped mostエy by S−Ko1odziej：
Over a cユ。sed K三h1er manifo1d（X，ω），the equation consid−ered is：
（ω十〉FT∂∂u）η：：Φω肌，
｛
maxx覚二〇
wbere伽is an upper semi−continuous function on X withω十vq∂∂刎≧0（i，e．，u is
ω一P工urisubharmonic），亜is a non−negative funct三〇n王ies in工戸（X）￡or someρ＞1satisfying ムφωη：∫÷ωη．Then there exists a unique weak so1ution in P3∬（X，ω）∩ム。o（X）（cf．［Koj1］，［EGZ］，王ST2］，［Zh2］）一
Getting back to our equations，which satisfy∫xΦ。，ブ王，。、ω二｝。＝＝ムω二，亜。，。ユ，。、∈〃（X）
for someρ＞1are non−negative andφ、，ブユ，、、a．reω、一p1urisubharmonic，There￡ore we may a．pp1y the Ko1od−zieゴs resu1t above and−conc1ude tha．tφ、，。、，、、are unique weak so1utions in P5∬（X，ω、）∩工。o（X）．一Hence we have the fo11owing工。。一estimates：
llφ、、、、、、、1州x）≦0f・…y・，・・，・・∈（o，11・
口
Lemma4．5．There exists0＞0such that fo縦118，r王，r2∈（0．11
11ψ。，γ、，、、l1州・，。。）。x）≦o
PR00F．Letψ≡ψ、、、一ユ、、。一φ、，、・。，、。．Then we have
∂ （ω、十ρ∂∂￠、，、王，、、）η 一ψ・＝10g
∂左 eC岳1「ユ1『2Ω、、，、、
（ω、十ρ∂∂φ、，、、，、、十ρ∂∂ψ）肌 ＝1Og 一
（ω、十ρ∂∂φ、，、王，、、）η
Letψmin≡minxψ（乏，．）．Assume thatψacb三eves its minimum at zo∈X，i．e一，ψmi。：
ψ（左，zo）．We have at the point zo∈X
∂ （ω、十ρ∂∂φ、，、！，、，）n 一ψ㎜n≧1og 一 ：・O ∂τ （ω、十ρ∂∂φ、，、工，ヅ、）η
Therefore，we have
ψ（之，z）≧ψ（広，zo）≧ψ（0，zo）：一φ、，、、，、、（0，zo）≧一0
for some constant0．This gives us that
ψ、，、1，、、≧φ、，、、，、、一0≧一σ
for some constant O since we have the uniξorm1ower bound ofφ、，、1，、、．
TheuniformupPerboundforψ、，、1，、、canbeobtainedsimi1ar1y・．ロ
エemma4．6．There existsλ，0＞0such that for之∈［0，oo）and8，ヅ1フγ2∈（O，1］
∂
沖舳・0一エ・・喘貧ポ
PR00F．Let
∂ ψ ・．房￠・舳・伐篶バλ1・・峨届・
L・tD、，、工，、、…ω、十ρ∂∂ψ、，、エ，、、・・パ、，、、，、、，△、，、1，、、b・th・g・・di・・t・・dL・p1・・i・・
operators with respect to the metricお、，、互，、、．
When之コO，by choosing su伍。ient1y1argeλ，we have
ωη固言、十γ・1
ヅ（0フz）二1og前ポ月・小カ1ゼら舳≧・σb「a1 z∈X
Now we ca1cu1ate
（岳一礼舳）ツーλ・岳〜。バ＾・・㌦、（λ・叫・旧111・・1・l11彦）・
λ2ω・・λρ∂∂1・・舳広一λ2ω后，去・
≧〃f・・λ・u舐・i・nt1y1・・g・，・ny・∈（O，11，
sinceω亘⊥＞O forλsu担。ientユyユa・rge，Therefore we have
，λ
（品ぺ、…）ヅ・λ・・〜、山・品沁一・
・・（。∴）㌧・λ21・・働∴・λ21・・。÷
1
十2λ21・・Ω、1，、、I。庖iλ十λ3 ・・I3君トλ21・・Ωブ、，、、イ
≧ 一λ2ψ 一0，
where we used that forμ＞0we have ﾊト→λ16gμ＿0μ1／ηis uniform1y bounded from
above for some constantλchosen sui五。ient1y1a．rge．Wemayassumethatψ■achievesitsminimumat zo∈X，T≧to＞Ofor any0＜T＜oc．
App1ying the maxiInum princip｝e，thenψ｛≧一σat（to，zo）．Th6reわrd，we have
ψ一≧一0on（0，co）xX．
Since we h＆veψ「t＝o≧＿σa．s we11，we fina11y obtain
ψ一i≧一0on［0，・・）×X．
From Lemma4．5，we conc1ud−e曲a七〇n［0，oo）×X，
∂
玩￠W・≧十λ1・・13白11看・
Let ∂
ψ十一ブ州・瓶舳一λ1・・1眺・
W・…h…th…並・m・pP・・b・・ムdf・・細、，、、，。、by・pP1yi・gtb・・lmi1・…g・m・・tt・
ψ十． 口
Lemma4．7．There existσ，α＞0such that forむ∈10，oo）and8，r1，r2∈（O，11
o ＿坦 t軌，・。，・。≦郊亘1ん虚亡・
PR00F．Let
ψ≡t1・g・帆，・ユ，ゾ瓶，／ユ，・。十A1・g13店ほ亘・
Sinceψ（01z）＝λ1og i8角ほ．，ψ（0，宕）achieves its maximum at some zo∈ X＼盾and−we
亙
haveψ（0，z）≦ψ（0，zo）≦σfor some constantσ＞0−We compute for左∈［0，ηwhere
0＜T＜○o is arbi七rary taken．As we see in the proof of Lemma3，5，we have（岳一・舳）1・・帆，・。・σ批灼灼H・・・・・・・…t…σ・…
By using the esキimate above，we have forλsu舐。ient1y1arge
∂ ＿
（ガ△W・）ψ≦一・・棚畠，・。，・。（λ2ω・・λ＾∂∂1・・i・重11亘一榊）
・1・…＾，。。バ吟，。、，。。・＾
が
≦一札W。θ・σ帆・・一…λ21・・働、
8，「！グ2
十λ21・g
〃
Ω、ユ，、、
十0
・一λ（（1一）1）ぺ、；9η）㍉・＾，。、，。、）÷
5，「1，「2
・・t以ハ、・・（お甘
3グ1グ2 ・λ・1・・働ヂησ（働享7孔ユ
8，τ1，γ2 5，γ1，T2
・λ21・・Ωザ、，、、鮎二一λ31・・峨1・0
・一σ（。≠n）㍉軌＿片十H・1・・峨面
5，τ1，「2
where we estimated at the second inequa．1i尤y for su舐。ient1y1a．rgeλ
λ2ω・・λ戸∂∂1・g舳亘一C〃≧λ2ω亘，ギ0〃≧〃
sinceω垣⊥＞O看。rλsu笛。三ent1y1arge，and a．t the third inequahty，we used the estimate：
ヨA
1 ・ t軌舳・（、．。）1（t・1州・汐）η一ユ芳寺「2ラ
a」nd choseλsuf五。ient1y Ia．rge such that
λ（（1一）f）★（。ヂn）㍉帆＿）★イ（、ヂη）㌧・・帆，。1他
5，rユ，r2 5，r1，7■2
・・（働ヂη）㍉＾，。、 ）占
8コ「1，r2
Furthermore，we used the fact that forμ＞0we haveμトトλ1ogμ一0μ1／犯is uniforlm1y
bounded−from above for su舐。ientIy1argeλ．Th呈s te11s us that we can choose su舐。ient1y エarge．4such tbatλ・1・・の≠n・（。ギη）去・・
8，「1，ブ2 8，「1，r2
We chose Asu飼。ient1y1arge such tbat
λ・1・・、÷、1帝！・1・・筈映十；l1峨・・
We may予ssume thatψachieves its maximm！atτ≧之。＞01zo∈X一＼亙for any
0＜T＜○c．At（広。，zo）we h＆ve
oγ＾
邸W・≦σ箒 「2（σ一一31・・13重11重）肌■1≦0・
for some constant OT＞0depends on T．Therefore，we baveψ≦0on（0，」r］×X，Since ψ（0，z）≦0for any2∈X，we obtainψ≦0on［0，η×X−In conc1usion，we have for
芭∈［O，η・・d・，ヅ。，・。∈（0，11，
0T ＿迦 t・、ゆ、，、ユ，ザ、≦・丁晦！ん．㌧
E
Si…0・T…w…h坤…bit…ylw・・bt・i・th・i・・q・・1ityf・・之干［01・・）・ 口 Rgmark4．1．For any compact set K⊂X＼亙and any K註h1er form汐。n X，we have
O
trρ、，、、，、2≦σfor some constant0＝0K＞0．
We h血ve an intention that we wou1d1ike to app1y the parabo1ic Schauder estimate
（c￡［Fr］，［GT］）to嘉ψ、，。1，、、in order to have its02・α一estimate and−to obtain more higher derivative bound−s．In th三s regard一，we shou1d prove七he』 獅??煤@estimate with using the estimate in Remark4．1．
lLemma4．8．For any compact set K⊂X＼刀there exist constantsλ＞0and0＞0
…hth・tf・・む∈10，・・）
入 11ψ。，。ユ、。、10・（κ）≦σθ丁・
P・・…N・t・th・t働、、。、，、、一ω。十ρ砺。，。王，。、・W・d・五・・η…ηト（ω、）αλ（お、，。1，、、）ヌβ、
We can compute for anyvector丘e1dγ＝γ王∂互as fo11ows：
（▽、，、、，、、）mト（▽（ω・））。乃：∂、、ト｝篶一∂、乙w＋（F（ω眉））島κ
：篶（（ω、）αδ∂㎜（ω、）ザ（園、，、1，、、）αδ∂m（の、，、エ，、、）！否）
ニイ（（（▽、，、、，、、）、、η）η一1）αい
And we have the fouowing computation，
ゆ・，・、，1、）石ゴαグR（ω・）1ゴαβ一郎・，1・，・・）榔α一R（ω・）ゴ石βα 一一椰β十∂石（F（ω月））9β ＝一∂雇（（（▽。，。王，。、）ゴη）η一1）㌔，
wh…ゆ・舳）舶一（〜就）ηδ郎舳）バ・・打茄，（r（眺））茄…Ch・i・t・任・1・y血b・1・
・f▽、、、ユ灼，▽（眺）…p・・ti・・1γ
Take巧二（δ。，。、，γ、）石ゴ，then we have
（帆，。ユ〃）伽・・ （▽（叫））m∂石∂凧、、〃