全結合強磁性 Potts モデルの QA

本節では，全結合強磁性Pottsモデルのハミルトニアンをone-hot表示を用いてIsing表 現した場合，QA^の過程で1次相転移が発生することを解析的に示す．この結果は，エネ ルギーギャップがシステムサイズに対して指数関数的に減少し，QA^{を用いて効率的に基} 底状態を探索することが不可能であることを示唆している．また，本節の後半ではQA^で 1次相転移が発生する原因を考察し，次節でのhalf-hot制約を用いた方法の提案に繋げる．

8.4.1 問題設定

全結合強磁性PottsモデルではJ_ij =J >0であり，QAのハミルトニアンは

Hˆ= ˆH0+ ˆHq, (8.12)

Hˆ0=− J 2N

∑Q q=1

( _N

∑

i=1

ˆ σ^z_qi

)2

+ λ 2Q

∑N i=1







∑^Q

q=1

ˆ σ^z_qi





2

−2(Q−2)

∑Q q=1

ˆ σ^z_qi



, (8.13)

Hˆq=−Γ

∑N i=1

∑Q q=1

ˆ

σ_qi^x, (8.14)

である．ここで，Γは横磁場の強さを制御するパラメータであり，Hˆ0ではペナルティ項 の展開によって発生する定数項を省略した．式(8.13)から分かるように，ペナルティ項は 全結合の反強磁性相互作用と外部磁場から構成されている．

強磁性Pottsモデルの基底状態の例を図8.1に示す．ただし，図が複雑になるのを防ぐ

ため，スピン変数間の相互作用は式(8.13)の第一項に含まれる最近接相互作用のみを示 してある．図8.1の基底状態はQ個の強磁性Isingモデルの基底状態から構成されており，

one-hot制約を満たすために1個のGS_FMとQ−1個のGS_FMが配置されている．ここで，

GS_FMとGS_FMは強磁性Isingモデルの基底状態を表しており，GS_FMはGS_FMの全ての

љ

ј

ј

љ

ј

ј

љ

ј

ј

љ

ј

ј љ

ј

ј J ı^z

11

J ı^z₂₁

J ı^z

Q1

S₁=1 S_i=1

䞉䞉䞉

J ı^z

12

J ı^z₂₂

J ı^z

Q2

䞉䞉䞉

ı^z

13

ı^z₂₃

ı^z

Q3

䞉䞉䞉

J ı^z

1i

J ı^z_2i

J ı^z

Qi

䞉䞉䞉

ı^z

1N

ı^z_2N

ı^z

QN

䞉䞉䞉

䞉䞉䞉 䞉䞉䞉 䞉䞉䞉

䞉䞉䞉 䞉䞉䞉 䞉䞉䞉

S₂=1 S₃=1 S_N=1

q=1 q=2

q=Q

GS_FM GS_FM

GS_FM 図8.1: 強磁性Pottsモデルの基底状態の例

スピンを反転させたものを表す．H0の第一項はQ個の独立な全結合強磁性Ising^モデル のハミルトニアンの和であり，図8.1^{のスピン配位は}H0の第一項と第二項を同時に最小 化する．このことから，ペナルティ項の強さを決めるパラメータλ^は

λ >0, (8.15)

と設定すればよいことが分かる（λを決める考え方の詳細は付録A^{を参照）．}

8.4.2 自由エネルギーとオーダーパラメータ

鈴木-トロッター展開を適用した後に，静的近似を仮定するとN → ∞, β → ∞^におけ る自由エネルギーとして

f({mq}) = J 2

∑Q q=1

m²_q+ε^(eff)_min({mq}), (8.16) が得られる（導出の詳細は付録E.1を参照）．ここで，m_qは{σ_qi^z|i= 1,2, ..., N}^に対する 強磁性オーダーパラメータであり，ε^(eff)_min({m_q})は以下で与えられる有効ハミルトニアン:

Hˆ^(eff)({m_q})≡ λ 2Q



∑^Q

q=1

ˆ σ_q^z





2

−

∑Q q=1

(

J m_q+Q−2 Q λ

) ˆ σ_q^z−Γ

∑Q q=1

ˆ

σ_q^x,   (8.17)

の最小固有値を表す．ε^(eff)_min({m_q})は2^Q×2^Q行列の最小固有値であり，Qが小さければ 厳密対角化によって数値的に求めることができる．{m_q}^{は自由エネルギー}[式(8.16)]を 最小化するように決定される．

8.4.3 オーダーパラメータの量子揺らぎ依存性

自由エネルギーを最小化する{mq}を求め，強磁性オーダーパラメータのΓ^{依存性と相} 転移の次数を調べる．系を記述するオーダーパラメータはQ^{個あるが，}one-hot^制約の対 称性を考慮すると，自由エネルギーを最小化する{m_q}^は1個のm⁽⁻⁾とQ−1個のm⁽⁺⁾ の2つのグループに分けられる．Γ = 0ではm⁽⁻⁾=−1, m⁽⁺⁾= +1である（図8.1参照）．

この対称性を利用するとオーダーパラメータの数をm^(±)の2個に減らすことができる．

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.5 1 1.5 2

m(+) , m(-)

Γ / J

m⁽⁺⁾ m^(-)

図8.2: Q= 2におけるm^(±)のΓ依存性

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.5 1 1.5 2

m(+) , m(-)

Γ / J

m⁽⁺⁾ m^(-)

図8.3: Q= 3^におけるm^(±)のΓ^依存性

自由エネルギーを最小化するm^(±)のΓ^依存性をQ= 2,3,4^{で求めた結果を図}8.2^，8.3^， 8.4^{に示す．ここで，}λ/J = 1^{と設定した．}Q= 2^ではm^{(±)が連続的に変化する}2^次相転 移が発生しており，Q >2^ではm^{(±)が不連続に変化する}1次相転移が発生することが分 かる．Q= 2とQ >2の場合で振る舞いが異なるのはΓが大きい領域であり，Q= 2で はm^(±)= 0となっているのに対して，Q >2ではm^(±)>0となる．Γが小さい領域では 全ての場合でm⁽⁺⁾ >0, m⁽⁻⁾ <0となっていため，Q > 2の場合は2つの領域の切替り でm^(±)が不連続に変化することになる．Q >2^の場合にΓ^{が大きい領域で}m^(±)>0^と なる原因は式(8.13)のペナルティ項に含まれる外部磁場であり，ペナルティ項を上手く調 整することで1次相転移を回避できると期待できる．ここで，全結合強磁性Potts^モデル の1次相転移は前章で検討した全結合XX相互作用の導入によって回避できないことを容 易に示すことができ，詳細な計算は付録Fに示してある．

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.5 1 1.5 2

m(+) , m(-)

Γ / J

m⁽⁺⁾ m^(-)

図8.4: Q= 4におけるm^(±)のΓ依存性

ドキュメント内 大規模な組合せ最適化問題に対する量子アニーリングマシンの活用方法に関する研究 (ページ 125-128)