付記とまとめ

理論値の補正：楕円積分と重心位置

結びの前にお断りすべきことがある．それは振り 子の等時性が「微小振動」を想定している点である．

ヒトが乗るブランコはとても微小振動とはいえない．

その際，理論値を楕円積分によって補正する必要が ある．さらに乗り手の重心位置は座面より少し高い ところにあるはずで，支点と質点との距離は実際の 鎖の長さより短い．楕円積分と重心位置の補正をま とめると以下の通りになる；

ω=

√g

L：補正なし (6) ω=

√g L· π

2K(sinα

2)⁻¹：楕円積分 (7)

ω=

√ g L−d·π

2K(sinα

2)⁻¹：楕円積分＋重心補正 (8) ここでωは角速度，αは振幅，dは座面から重心 までの距離である．これらの補正を行うと，角速度 の理論値は実測値へと近付く．つまり図3の○印は 左に移動する．したがって，ブランコ乗りの動きに 対する力学則の支配はより強くなりうる．

結語

ブランコ乗りの周期運動は，振り子の等時性へと 高い精度で収束した．多重振り子ともなりうる乗り 手が，単純な力学則に従うことはとても不自由で，

あたかもブランコに「乗らされている」ようである．

しかし乗り手は振幅をうならせず，一定に保つため に個々が多様な身体協応をしている．ブランコと重 力という力学環境において，振幅を安定させるため に身体の自由度を制限させる意思にこそ，ブランコ 乗りの自由があるのかもしれない．

参考文献

Burns, J. A. 1970. More on pumping a swing,American Journal of Physics, 38, 920–922.

Case, W. B. & Swanson, M. A. 1990. The pumping of a swing from the seated position,American Journal of Physics, 58, 463–467.

Post, A. A., de Groot, G., Daffertshofer, A. & Beek, P.

J. 2007. Pumping a playground swing,Motor Con-trol, 11, 136–150.

吉田茂先生からのコメントとリプライ

子供も大人も面白がるブランコの研究は、テーマ としてとても興味深く、また嬉しく聞きました．のっ けから「（重心位置の）長さを変えているのでは？」

と無粋なコメントを発してしまい、失礼しました．

以下、いくつか質問やら感想やら、です．

１）表題の「ブランコ乗り」は漕いでもらってい る状態も含む感じがあるので、「ブランコ漕ぎ」と積 極的制御の味を出したらいかがでしょうか．

¶ ³

まさに仰るとおりです．等時性に従う，という ことは「ブランコに乗せられている」要素が大 きいと考えていたので，「ブランコ乗り」を使い ました．けれども，漕げるようになって誇らし げな子どもの表情を見ると，先生の仰る「積極 的制御」の大きさを実感します．これ以降は「ブ ランコ漕ぎ」を使わせていただきます．

µ ´

２）ブランコは「閉鎖技能」とありましたが、ブ ランコの揺れ具合に合わせて漕ぐ必要があるので、

むしろ開放技能に位置づけたほうがいいと思います．

今回の実験では、揺れの感知能力と協応制御の差が、

個人差として表れたものと考えられます．実感的物 理学の観点からは簡明なサンプルにあたり、指導の 勘所がはっきり分かるはずです．

¶ ³

ここは正直，迷っています．ブランコの揺れ具 合は時々刻々と変化するので，確かに一見，不 確定にみえます．けれども，ブランコの振幅に エネルギーを付加しているのは「漕ぎ手自身」

で，ブランコ漕ぎの系には漕ぎ手と重力以外に エネルギーを注入する要素，つまり不確定要素 がありません．それで閉鎖技能と考えました．

たとえば急に背中から押されるとか，鎖の摩擦 に外乱を加えるなど，外部から系にエネルギー が注入されれば，迷わず「開放技能」と位置づ けるのですが，いかがでしょうか．ただ，漕ぎ 手の働きかけと振幅の変動とには，「遅れ要素」

もあると思いますので，そこを不確定要素とし てみなせば，開放技能になりますね．

µ ´

３）「コドモにとっては、矛盾をはらんだ動作」と ありますが、「矛盾」点の補足説明をして下さい．

¶ ³

説明が足らず，申し訳ありませんでした．子ど もはブランコに乗ると，どうしても前方向に行 きたがります．ブランコを振ることと，前に進 むこととが等価であると思っているようです．

その結果，上体を繰り返し前傾させます．しか し，ブランコを大きく振るためのトルクを発生 させるには，上体を後ろに反らす必要がありま す．「前に行きたいのに，後ろに倒れなければい けない」という意味で，子どもにとっては矛盾 をはらんだ動作だと考えました．

この点，保育士さんたちの指導は見事で，ブラ ンコの前方に立ち，手を高く上げて，「この手を キックしてごらん」と言います．そうすると子 どもはつま先を高く上げるために膝関節を伸展 させる分，上体を後ろに倒して勝手にバランス をとります．古典的な指導法ですが，とても理 に適っていると思います．

µ ´

４）小さな図を見ただけですが、漕ぎ出しはCase(1990) さん、安定漕ぎはBurns(1970)さんで説明できそう です．つまり、重心前後移動による漕ぎ出しと、重 心上下移動による振子長変更での漕ぎが、制御の決 め手だと思います．鎖を棒にしたら漕ぎ出しにくい のは、重心前後移動がしにくいからでしょう．

¶ ³

仰るとおりだと思います．ただCaseさんは漕 ぎ手の身体を，ブランコに固定されたダンベル としてモデル化しています．つまりアタマから つま先まで一直線の身体を想定しています（自 由度１）．またBurnsさんは身体を重心のみの 1点としています（自由度０）．私たちのシミュ レーションは，股関節と膝関節とに自由度を持 たせており（自由度２），重心前後移動は比較 的柔軟です．そして，鎖は棒として扱っていま す．それでも振幅はある程度，「もっともらしい」

振る舞いを見せます．

µ ´

５）シミュレーションのうなり現象のことは、モ デル式が複雑なのか、まだよく理解できず、私のほ うがうなってしまいました．

ブランコ乗りはどこまで自由か？（平田・北原） 93

¶ ³

実は私もうなっています．よくわかっていませ ん．そして，シミュレーションを走らせて下さっ た共同研究者の北原先生（物理がご専門）は，ヒ トが漕ぐブランコがうならないことにうなって います．シミュレーションでは，上体を動かす 周期が鎖の長さが決める最適周波数から外れる と，ブランコの振幅が周期的に大きくなったり，

小さくなったりしますが，人間にはそれがあり ません．人間は何か小さな補正をして，安定周 期に生き残っている可能性が示唆されます．と，

いうことだけ分かっています．

µ ´

６）周波数の２倍成分の件は、原波形からは２倍 もありそうに見えます．上体と膝の波形の上側にさ ざ波がみられるので、ブランコ下降前進時の姿勢の 揺り戻しと関係があるようです．平田さんがアキレ ス腱を切ってギブス（ギプス）をしていたと聞いて いたので、有限フーリエ変換時のギブス現象を連想 し、高調波を伴う計算ノイズではと思ってしまいま

した．¶ ³

もし姿勢の揺り戻しであれば，上体が後ろに反 るときに，ブランコの振幅に対して，上体を反 らすタイミングや大きさを細かく制御している ことになりますね．ただ，この2倍成分がノイ ズであれば，話の筋が単純になるので有り難い，

と個人的には思っています．特に膝の波形は矩 形波に近く，ギブス現象である可能性はありま す．きちんとしたフィルタを選定し，2倍成分 の実体を確認したいと思います．ギブス生活に はもう二度と戻りたくありませんが，ギブス現 象は歓迎します．

µ ´

７）相図については、制御の因果関係としては直 接的ではないようで、関節部の角度変化は重心移動 を引き出すためであると思います．モデル式から一 点重心位置の推定が可能なので、制御要因としての 重心位置の変動図を見てみたいところです．

¶ ³

相図は制御の構造を可視化する目的で描きまし た．確かに因果関係を追うには十分な情報では ありません．ブランコ漕ぎは周期運動ですので，

因果関係が「グルっと一周した」制御になって いると思います．重心位置の変動図は現在，計 算中です．これが出たら，またご指導下さい．

µ ´

８）「乗れないブランコ」ができないかというコ メントは、表現が悪かったと思います．原理の確認 として、「漕げないブランコ」はできないか、と質問

したかったのです．漕ぎ出し局面を無視すれば、原 理的には重心位置を一定にするのが１次キャンセル 法であり、鎖(紐)の振れ角に合わせて鎖(紐)を伸ば し、シートを水平移動させてしまうのはどうでしょ うか．漕げない悔しさと、研究の面白さとが、往っ たり来たりですね．

¶ ³

この発想は私にはありませんでした．確かに，

原理を確認するためには，このようなブランコ の開発が必要ですね．このブランコを漕ぐのは 面白そうです．「漕げないブランコ」で考えると，

単純に鎖が長くなればそれだけ漕ぎにくくなり ます．実際，シミュレーションをしても，鎖が 短いと最適周波数からのずれが多少あっても，

振幅は大きくなります．鎖が長くなると振幅が 大きくなる周波数の帯域が，ごく狭くなります．

それは今回作った2.01mと1.81mの鎖長の間 でも確認されました．これで鎖の長さが20mに なったら「漕げないブランコ」にはなるかもし れません．

µ ´

今後、たち漕ぎ、空中ブランコ、鉄棒での身体振 りなど、研究の発展を期待しています．

¶ ³

言葉の使い方（漕ぎ，開放技能）から，計算ノ イズ，重心計算，「漕げないブランコ」まで，こ の研究に太い筋を通す建設的なご意見を有難う ございました．また研究が進んだらご報告致し ますので，引き続きご指導下さい．

µ ´

藤井慶輔さんからのコメントとリプライ

私は平田先生の発表を聞いていて，ブランコとい う題材もさることながら，「ブランコ乗りは『どこま で自由』か？」というブランコ−ブランコ乗りとい う系における運動の見方に非常に興味を抱きました．

先生にお送り頂いたPostら（2007）の先行研究に おいても，運動学的変数の主成分分析によると全体 の系の運動をブランコの振り子運動が95％以上も 説明しているとのことでした．先生の発表を聞いて いても感じたのですが，やはりブランコ乗りはほと んど力学則に従うような「不自由」な運動であると いうことですね．

「自由」「不自由」という観点からブランコ−ブラ ンコ乗りの系の運動を考えますと，やはり系の運動 が安定した後の「安定期」と運動開始から安定期に 達するまでの「過渡期」の２つの期間に分解したほ うがすっきりするような気がします．なぜなら，２ つの期間では，系を外から見たときの運動も，ブラ ンコ乗りから見たブランコの制御ストラテジもまっ