とおけば、bnは任意の無限自然数列となる。逆に、a1を2以上の任意の数を 選び
an+1 =b1+b2+· · ·+bn−n+a1 と表示できる。
このことからわかるように、非減少無限自然数列を与えることと、任意 の無限自然数列を与えることとの間には、一般性という点では、違いはない。
しかし、これらの二種類の数列の種々の与え方において、各位が与えられた 数となる確率は、一般には異なる。
となる。
同様にして
1− 1 3− 1
5+ 1 7− 1
9 + 1
11 >0.5, 1− 1
3− 1 5+ 1
7− 1 9 + 1
11− 1 13 − 1
15 <0.5,
のように、限りなく近似を続けることができる。項はゼロに近づくので、項 数が増えるに従って近似は良くなる。
いうまでもなく、出発点となる級数としては log 2 = 1−1
2 +1 3 − 1
4+ 1 5− 1
6+· · ·
をとることができる。より一般的には、各項の絶対値のなす級数が発散し、
項がゼロに近づく級数があれば、それを出発点にできる。
もしも出発点となる級数を選んだならば、0,1の間にある任意の数α (0,1 の間にあることは本質的ではないが)に対し、+と−の無限の列が定まるが、
その並び方は一般には不規則である。もしもこの順序が著しく不規則なとき は、これらの符号をたくさん計算するのは長い時間がかかる。逆に、符号の 順序が単純な規則に従っていて周期的なとき、しばしば級数を計算すること ができる。たとえば、
1 + 1 2− 1
3 −1 4 +1
5 +1 6 − 1
7− 1
8 +. . .= π 4 +1
2log 2.
最後に、どの数αでも、次のような形に展開することができることを指 摘しておこう：
α= 1 a1
− 1
a2
+ 1 a3
−. . . .
ここで、a1は1以上の数、a2, a3 は自然数の増大列で、a1, a2, a3,· · · は次を 満す最小の数として順に選ばれる：
1
a1 > α, 1
a1 − 1
a2 < α,
1 a1 − 1
a2 + 1
a3 > α,
· · · ·
a2は2以上であり、an+1はa2n以上であることがわかり、anはとても速く増 大し級数
α= 1 a1 − 1
a2 + 1 a3 − 1
an +· · · は急速に収束することが保証される。
数論的諸定義
6.1 原始的な数論的定義
これまでの各章でいろいろな数記法を調べてきたが、それらは最も単純で普 通なものの中から選んだものである。もしも数記法の定義を広義にとらえ、
自然数の限りない数列で何らかの性質を満すものを使って、到達不能な数を 定義することを可能とするプロセスを数記法とみなすならば、他の数記法を いろいろ構想することは容易である1。
他のところで、0と1の間にある数αをランダムに選びたいならば、それ を定義する一連の数を決められた条件に従って籤を引いて決めれば良いとい うことを説明した。この条件は、十進法や２進法の場合はとても単純だが、
連分数の場合はもっと複雑なものであった。
しかし、このような籤による定義は全く理念的なものであり、実際には 実行できない。とはいえ、それを用いることで、数αが与えられた条件を満 す確率ーーつまり、ちゃんと定義された集合に属する確率ーーを求める問題 で面白いものを考え解くことは可能である。この場合は、籤引きを使う定義 に対応するものが、数αに対応する数列を明確な規則に従った逐次的な計算 である、ただし、数αが何らかの解析的条件により明確に定義されていると いう前提があってのことだが。この方法で、e,π,√
2などのいくつかの普通の 数の十進数展開の最小の何項かが計算されてきているのである。だいぶあと の方になるが、この計算について取りあげるとともに、その計算が十分でな
1数記法を自然数を表現するのに利用することはやめておくことにする。無理数の場合の 方がもっと興味深く見えるから。
いことについて触れる。
数記法を一つ選び、次に、この記法でα に対応する数列を与える方法を 一つ与えれば、数αを定義することができる。これを数αの算術的定義と呼 ぶ。まず、原始的な算術的定義について、最も単純なものをいくつか例示し て説明したい。ただし、定義が算術的であるというのは到達不能数αについ ての他の情報を使わないことを言う。
たとえば、十進記法において、小数点以下に、自然数を普通の順番で書 くことができる。
α= 0,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 . . . あるいは、偶数だけを書くこともできる。
β = 0, 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 . . . あるいは、素数だけを書くことさえできる。
γ = 0,1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 . . . .
すぐわかるように、α, β, γ はいずれも正規数であることがわかる、つまり、
どの数字の頻度も同じで 1
10となる。
連分数記法では、不完全商の列を簡単な規則で定義することができる。た とえば
an = 10 あるいは an=n2+ 1.
階乗記法では、anはn未満という制約があるが、たとえば、nが偶数か 奇数かに応じて n2,n−21 と定義することができる。正規逆数記法ではanは広 義増大数列でなければならないが、上と同じようにnが偶数のときan = n2, 奇数のときan = n−21 と置くと、anは減少することがないので数αが定まる。
このような例をこれ以上増やすことは無駄であろう、というのは上のや り方はいくらでも変形できるからである。しかし、本当に面白い例を与える ことはとても難しい。つまり、上のような方法で定義した数について定義か らすぐわかるのではない性質を証明することは難しいのである。そのような 性質はわずかしか知られていない。たとえば、十進数については周期的なも のが有理数に対応するということや、循環的な連分数が整係数の二次方程式 の解を表すことなどが、その例である。一方、eやπのような数の特殊な展 開はわかっている。たとえば、e−2の階乗記法による表現や、前章の最後で
言及したπ4 の表現などがその例である。このような展開は、解析的性質によ り単純に定義された数と、同じように単純に定義された数項級数との間の関 係を教えてくれるもので最も重要な類のものである。というのは、解析学で 定義される数と数論的に原初的に定義される数2 の間の関係を知る問題群の 要塞ーーほとんど到達不能な要塞への入口を、これらの展開が形成するから である。以下、われわれは派生的な数論的定義を調べることにする。この定 義では、すでに知られている到達不能数を使って理論的には計算可能な、無 限数列を出発点とする。