一 A 一

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付 け

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x y

ごν

〆'

EK

上式のパラメータについて検証するため先程と同様の方法で式のチェックを行

つ

。

内部状態変数の関係、から

ν

( k  

+ 1) = 

A 4   ( k  

+ 3 ~t(k)+

B 4  ( k  

+ 3 

) U ( k )  

+ 

D 4  ( k  

+ 3 )~w(k)

ご

( k

+ 1) = 

A 3  ( k  

+ 2 

) X ( k  ) 

+ν

( k ) +   B 3 か+

2 

) U ( k  ) 

+ 

D )   ( k  

+ 2 )~

w (   k  ) 

y ( k  

+ 1) = 

A

₂ 

( k  

+ 

l ) x ( k )  

+ 

: : ( k )  

+ 

B

₂

か

⁺

^{1 ) u ( k ) +   D}

² 

^{( k}  

⁺ 

^{l ) d W ( k )}  

η 

したがって

v ( k )  

= 

A 4  ( k  

+ 

2 ) x ( k

一

1 ) +B 4  ( k  

+ 

2 ) u ( k  

‑1)+ 

D 4  ( k  

+ 2)~刈k 一 1)

z ( k ) =  A 3  ( k  

+ 

l ) x ( k  

‑1)+ 

A 4  ( k  

+ 

l ) x ( k   ‑

2)+ 

B3 ( k  

+ 

1 ) u ( k  

‑1)+ 

B 4  ( k  

+ 

1 ) u ( k  ‑

2)+ 

D 3 ( k + l ) δ 時一 1 )

+ 

D 4  ( k  

+ 1)~\1が -2)

y(k)=A2(KMK‑1)+A3(KMK‑2)+A4(k)x(k‑3)+B2(KMK‑1)+B3(KMK‑2)+ (8) 

B 

4 

( k   ) u (   k  ‑

3) + 

D

₂ 

( k  

)~仰 -1)+D

3

^(k)δ吋-2)+ 

D 4  ( k  

)~~が -3)

(8)式を整理すると(6)式が得られるので、可観測正準型への変換が正しいこと が検証された。

意注

︑y﹂

TV  

P品

J J  

まで } ゾ

式 仰

下

L P

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J︑ ︑ l︐

︑ ︑ l

ノ ︑ ︑

lノ ︑ ︑

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・

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F J m  

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し い α μ

一

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X V J Z ν  

V A J

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ハUハ

U r J

ハU

型

O / O O

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f G O O

N‑2

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︑

︑

lノ ︑

︑ ︐ ︐ ノ

︑

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ノ ︑ ︑ .

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EE 1/ 'a E¥

〆 ︐ ︐ ︑ ︑

変

F M M M M

外 コ

=

外

) 1 1

引け川川でo

十 十 判 叫

こるわいいわいわい

こ す

x y z v

Appendix̲2 

制約付き非線形最適化問題:

基本アルゴリズム

解法としての SQP(SuccessiveQuadratic Program凶ng)法が最も有効な数値計算法 である。

その基となる二次計画問題(QuadraticProgramming)とは

目的関数が二次(目的関数が凸関数であれば，有限回で最適解に収束するという 性質がある)であり，制約関数が一次という特殊な非線形計画問題である。

これに対し SQP法は，与えられた一般的な非線形計画問題を，二次計画問題で逐 次近似することにより，求める最適解に収束するような点列を生成する方式である。

制約付き最適化問題:

目的関数

f ( x ) コ

nnin. (1.1)  制約条件

C j ( x )

三0，i = 1，2

ム

，

m

(1.2)  ここに， x  :n次元実ベクトノレ

/，c:ともに二団連続微分可能

(1)に対する SQP法では，第k回目の反復の下では，点^XkE R"が与えられたとき，

次式の部分問題として取り扱うことができる(すなわち二次計画問題の形として)。

目的関数

v ( x k y  

d+;dT山 コnnin. (2.1)  制約条件

C_j 

~tk

^) + V' 

c

j 

( x

^k 

r 

^d 

~

^0 i =

ω

，...，

m 

(2.2) 

但し， Bk: n.xn正定値対称行列であり， (2)式は凸計画問題である。

この二次計画問題に対する Kuhn‑Tucker条件は， Lagrange乗数をνε

R

^nIとすると，下記の とおりになる。

V'f~tk

^)+βkd + 

f v j

V'

c j ( x

^k

) = 

0  (3.1) 

C

_i 

( Xk  )  + 

V 

C

_i 

( Xk  r 

^d三

^o

^i =

^ω

^{，.. ，.m  (3.2)} 

刊 さ

o

i = 1，2，3，…，m  (3.3) 

ハU一一

︑ ︐

R﹀42J︐d 

vj r 

X 〆

''

+ 

v 

c  EE︑︑

¥EBEFr 

Y4 〆

' aE︐ ︑ ︑

fk t 

ν  _(3.4) 

つまり， k回目の反復において得られた点がが， (1)の局所最適解かつ正則点(等式制約

C i ( X ) 

= 0が成り立つとき，その勾配ベクトノレ

V C i ( X )

が一次独立である点Xを正則点と呼ぶ) であるならば， (3)を満たすベクトルν=_[V1V2...Vm]が存在し，最適解の対dk，

J

が得られる。

いま，部分問題の解dk，

J

が得られたとするとき，

d^k = 0・

であるならば が は問題(1)の最適性の条件を満たす点なので，反復計算を終了 d^k :;t 0・

であるならば，ベクトルd^k を探索方向として， 問題(1)の最適解に近づくように，次の点xk+l を求める。このとき当然のことながら， 目的関数の最 小化と同時に制約条件をも満たすように しなければならない。

このような相異なる目標を達成する上での目安としてペナルティファンクション

尺か)= f ( x )  

+ 

r 芝

max[O，

c

_i 

( x ) ]  

(4) 

を導入する。ここで， r >0:ペナルティパラメータ(定数)

(4)の右辺第二項の意味合いは，点xが問題(1)の実行可能解のときは0，そうでないときは，

制約条件の不満足度に応じた正の値をとるようにしている。

すなわち

(4)を最小化することにより，目的関数の最小化と，制約条件を満足することという二つの目的 が実現できることになる。

部分問題(2)の解ベクトルd^kは(4)の点における降下方向になっているので，関数(4)について 直線探索を行うことにより

F f + l < F f ( 5 )   を満たすように

X k+l = X k  + t . 

d

^k  (6) 

を定めることができる。 但し， tはステップ幅

SQPアルゴリズムの計算手順

1初 期 化

XOERnJo:n×n正定値対称行列，r> 0を選び

，

k = 0とする。

2.部分問題の求解

二次計画問題(2)をとって，(3)を満足するベクトルの対

( d

^k，Vk

， )

を求めるo

d^k =0ならば計算終了。

3.一次元探索

min Fr(xk+f dk〉を解いてステップ幅t^kを求め，

Xk+l 

= 

^Xk + t^k •

d

^k_とする。

4.行列B^kの更新

B^kを更新して新しい正定値対称行列Bk+lを決定し、k=k+lとする。

但し， SQP法の収束の速さはこの行列に大きく左右されやすく，本研究では BFGS公式を採 用している。

ドキュメント内 九州大学学術情報リポジトリ (ページ 108-114)