に注意すれば
5（壷1＋略略一命2一噸4一噛、一畷％3一冠、％2賜3u4）
一5（芸＋ハ詰（ ・u2＋u3−1u3−u2u4））
一み振（3而＋6い4）い3））
一A詰（3而一4・而痢）
5（3−46〉7rf）
ハ
5（3−46c）
ニ ニ ひ
c2十1
となり，（5。4）が示された。最後に，以上の結果から
5（（％lu3鋤4＋ulu・u3＋噛2u4＋ul君・u2）一（％、ul％1佃2幽1＋u3ul％1＋％4砲1））
一（％1十略＋略＋砺）
106 1
＝舗（一U・＋U3＋ 2−U4）ア（ulU3＋ 蜜 4＋ゆ・＋㊥2）
一轟（一2而一2而）一毒（4・ハ＋8み偏）
Proof補題5。1より，（5，9）のようなパラメータ表示があれば∫（の）は可解である．従って
∫（￠）がQ上既約という仮定のもとでα，わが（5．9）のように表示されることを示せばよい．
∫（劣）＝0が可解のとき6次分解式（4．6）は定理42より有理数根θをもっ．従って θ6＋8αθ5＋40α2θ4＋160α3θ3＋400α4θ2＋（512α5−3125わ4）θ＋256α6−9375αわ4
＝（θ＋2α）4（θ2＋16α2）一55δ4（θ＋3α）＝0 （5．10）
が成り立っ．
θ＝一2αと仮定すればの＝0となり，仮定に反する．θ＝一3αと仮定しても同様であ る．従って，以下θ≠一2α，一3αであるとする．ここで
3θ一16α 3θ一16α 一566
4（θ＋3α）＝c，4（θ＋3α）＝06，2（θ＋2α）＝e （5・11）
を満たすようにc，ξ，εを定める．明らかにc≧0，∈＝土1，ε≠0である．
このとき
（3θ一16α）2 25（θ2＋16α2）
c2＋1＝ ＋1＝
16（θ＋3α）2 16（θ＋3α）2 3θ一16 25α
3−46c ＝ 3−4・ ＝
4（θ＋3α）θ＋3α
3θ一16α 25（θ＋2α）
11ξ十2c ＝ 116十2・ ＝
46（θ＋3α） 26（θ＋3α）
が成り立つ。ここで（5，10）から
5署綜）一（θ＋2α）・
が得られるので
5e4（3−46c） 54わ4 25α 16（θ＋3α）2 c2＋1＝5024（θ＋2α）49θ＋3α●25（θ2＋・6α2）＝α 一4θ5（116＋2c） 55δ56 25（θ＋2α）16（θ＋3α）2 。2＋1 ＝4D25（θ＋2α）5 26（θ＋3α）●25（θ2＋16α2）＝わ
とパラメータ表示できる．以上で定理が証明された．
1
補題5。35次方程式∫（z）＝〆＋α￠＋わ＝0 （α≠0，δ≠0）は5実根をもつことは
ない．
Proof∫（∬）＝0が5実根をもつと仮定すれば，∫ （￠）＝0は4実根をもつことになるが，
5．可解な5次方程式・その2
83∫（劣）を微分すればノ （z）＝5♂＋αとなり，α＞0のとき∫ （z）＝0は4虚根，α〈0のと きは2実根，2虚根をもっことになり仮定に反する． ■
定理5．4有理数係数既約5次方程式∫（￠）＝コg5＋α灘＋δ＝0が可解ならば，ちょうど 1つの実根をもつ．
Proof∫（z）がQ上既約であるからδ≠0である。α＝0のとき∫（灘）はちょうど1つの 実根をもっ．従って，以下α≠0，δ≠0とする．
補題5，3より∫（∬）の実根は1個，または3個である。∫（詔）が3実根α，β，ッをもつと 仮定し，残りの2虚根をδ，δとすると
△∫ ＝ （α一β）（α一7）（α一δ）（α一δ）（β一γ）（β一δ）（β一δ）（ツーδ）（ツーδ）（δ一δ）
＝ （α一β）（α一7）（β一γ）1α一δ121β一δ121 γ一δ12（δ一δ）
となる．ここでδ一δはc￠という形の虚数であり，これ以外の因子は実数であるから，
P∫＝△享＜0となる。これは補題4。5より，Pノ＞0が成り立つことに矛眉する．よって 六z）の実根はちょうど1個である。 ■ 一般にQ係数既約奇素数次方程式が可解のとき，その根はすべて実数か，1根のみ実数
かのいずれかであることが知られている（［4，3章，定理3・69，系］）。
定理5。4より，可解かっ既約なQ係数3項5次方程式∫（ω）＝0のGalois群を0とす れば，0は2つの互換の積を含む．従って（7望乃o，または（7蟹Floが成り立っ．
また定理5。2より（5．9）を満たす有理数6，0，εを用いると，判別式P∫は 44・55・ε20
Pノー256α5＋3125δ4一孟5（46c3−84c2−376c−122）2
と表される．ただしハ＝c2＋1であり，有理数6，c，θは（5．11）から計算できる．これより 画が有理数であることと，V駆が有理数であることとは同値である。従って，以上の ことと定理4，9から次の定理が得られる・
定理5。5Q係数既約5次方程式∫（劣）＝￠5＋α劣＋わ＝0の（7αJo乞5群0が可解であ るとき，次が成り立っ．
（1）〉駆が有理数のとき（7製孔o
（2）V駆が有理数でないときσ製1うo
ただしcは（5。11）で定まる有理数，、4＝c2＋1である．
5．2 5次方程式の解法例2
例3∫（￠）＝￠5＋330∬一4170＝O
Eisensteinの判定法より∫（コo）はQ上既約である。6次分解式は
∫2。（灘）一詔6＋2640z5＋4356000♂＋5749920000♂＋4743684000000♂
一942914527909650000偲一935138461630873500000
となり，有理数根θ＝3510を持っので，定理42より∫（z）は可解である。また（5．11）より
7 5
6＝1， cニー， ε＝一24 2
を得る．このとき
ハー（孟）2＋・一纂5A−2，睾解
となり，〉騙は有理数でない．ゆえに，定理5．5より∫（z）のGalois群は巧oに同型である．
（5。7）に従って
u・一漂＋纂癖 2一一癖一朧＋癖 u3一一癖＋朧＋儒u4一癖一瓢〉蠕
とおくと，（5．8）より
5 1728 5 384 520736 5 4608 ％・＝画，u2＝砺，u3＝3125，％4＝一砺
となり，U1，吻，％3，U4は実数であるから
2 2 2 2
U、＝一・瀬，U2＝一・面，％3二一・瀬，U4＝一・瀬
5 5 5 5 れが得られる，従ってζ＝e了を用いて，ノ（￠）の根が
のゴー緬ζゴ＋涯ζ2ゴ＋瀬ζ3ゴー瀬ζ4ゴ（ゴー0，1，2，3，4）
と表される．
例4∫（」じ）＝コr5＋4z＝0
6＝一1，c＝号，ε＝1とおけばα＝4，わ＝0となり，∫（￠）＝￠5＋4￠となる。これより
5. I T f 5 : i q)2 85
f(x) q)4 : O, 1 i '4 ) u .
‑ f(x) ? / v+ , j 5.1 e : f(x) , (" f v * I ) j zlOq)
( 2 =
=
11 125 A +1 4
(5.7) J;
vl = (5V5 + V5 . 25 + 2V ) v2 ‑ = (‑5V ‑ V . 25 2V ) v3 = (‑5V + V . 25 ‑ 2V ) = (5V ‑ / . 25 + 2 / ) v4 ‑ s
ul = (‑V ‑ V l ) u2 = (V ‑ V 7 ) u3 = (V : + V 7: ) u4 = (‑V + V 7 )
;
1'= ( / ‑1+i l0+2V )
= e* "
u . ., ., u4 >
c 1' "2' "3,
xo = O, = ‑1 ‑ i, x2 = I + i, x3 = I ‑ i, = ‑1 + i
xl x4):J: > ' J; 5 }c, 3 ̲ 5 7 ;i E l iC t Spearman, Williarns q) " il ! , J; il 'l ; ) ) ly+ 5 : .