‑ヽ

a)Aspectratio=15

b)Aspectratio=30

a)凡打戸100

b)月e〃=200

C)月e上戸500

8.1838∈‑01 8.9559E‑62 さ.8ア36E‑￠2 白̲7g13∈‑OZ 8̲ア09DE‑0ヱ OF.こささE一〔jこ ロ5舶5E一日2 月.462Z∈‑陀 8.3ア99∈憺02 bこ97TE一口ご ロこ151〔‑ウニ l｢り｢1トl)こ 058窃3∈‑03

‑83145E一日3

‑8.!137E‑02

Pこ7こJ〔一っ1 8.之尋77∈一打1

0こここ7〔→し11 むノ1慧ア6E‑81 01726E‑01 81476E‑01 む.1228E‑01 09了bJ∈‑0ご 0.7之糾E‑DZ DlT63E･ロこ 0ここb〕【‑リニ ー0.之373E‑03

‑8̲2738E‑82 p$,5Z38∈‑0〜

‑8.7738E‑￠Z

鋸詑17E一別 8醐9ヨE‑ひ1

〔い沌1E‑〔1 8.5蓉$3E一口1 8.47ろ6∈一日l Q3B2B∈一別 8251日∈一口1 8135Z∈‑01 口二Tjl[‑〇ニ ーD∈始3ア∈一日Z

･0196之∈‑81

≠0.3079∈‑￠1 一口､419ア∈一日l

‑8,S315[‑01

‑0.伝鳩33∈‑01

Fig･A･4‑11WallpressurecontourfbranotherRefFlOO,200,500.

ん空巨7.5

lI■

j)

ク

‑､二二空

ん4軍=15 ^ん賃声=30

∴…iミ享

Fig.A.4‑12Meanvelocib/Wandwallpressureatz/墨』0,ReH=200･

■

̲̲̲̲̲∴ ^{､二:こご:き}

Fig.A.4‑13MeanvelociりノWandwal1pressureat班』15,Re〃=200.

A.5関連方程式

外力が働かない,非圧縮で粘度一定の流れ場に対するNavier‑Stokesの方程式はデ カルト座標系では次のように表される.

∂房才

訂 ̀f訂

一∂方f

∂J

1年

β飯f

‥欝

⁽¹⁾

卿寺値房f,βを,その平均値坊,タと平均からの変動量的,pにR町nOlds分解 (房f=U予〟′,β=タり)し,(1)式に代入し,アンサンブル平均すれば,平均流に 対する方程式は,次式のようになる.

･瑠=一諾･菅一驚

⁽²⁾

また,Navier‑Stokesの方程式[(1)式]から平均流のNavier‑Stokesの方程式[(2)式]を 引いて,変動流の運動方程式に関しても次式が得られる･

塑･鴫

^∂J

･儲一芸巾ノー玩)(3)

(3)式に〟たを掛け,アンサンブル平均し,kとiを交換した式を加えると,次式の ようなR甲nOlds応力方程式が得られる･

箸竹竿=一両賢一両署

^∂J

1

β

搾･瑠･暮夜一芸両‑2γ語

(4)

更に,平均流の単位質量当たりの運動エネルギーを,g=q2/2と定義すれば,

そのエネルギー収支は次式で表される.

1∂りP

^{∂叩ノU′}

些⊥rr些

^∂

(貰･箸〕･前号‑2鴫2(5)

なお,変形速度テンソルちも平均流の変形速度テンソル∫再と変動流の変形速度

テンソル句にRり′nOlds分解している.

叫.∂露′

^l

1

∫ヶ=計訂+忘 〕=腑鶉棺頼絹〕(6)

また,変動流の単位質量当たりの運動エネルギーを,鳥=才βと定義すれば,そ

芸･瑠=一環一三要一主要･V若〔貰･雷〕‑2γ百(7)

本研究で取り扱う斜め後方ステップ流れ場の視覚的な理解の仕方としては二つ の見方がある･ひとつは,図1‑1に示すように,横方向に無限に広がる後方ステッ プに対して,斜めの方向から流体が流れてきて,ステップではく離･再付着し,最 終的には斜め方向に流れていくという見方である.この場合は,ステップが横方向 に無限に続いており,流れも横方向に無限に続いていることになる.数値計算を行 う場合は,周期境界条件にすることによって,流れ場の構造が単純となるため,こ の見方をすることが多く,一般的な立場としてもこのような流れ場を検討の対象と

している.

もうひとつの見方は図ト3に示すように主流に対してある角度を持って設置され た斜め後方ステップを通り過ぎる流れという見方である.壁面に発達した二次元乱 流境界層が斜め後方ステップではく離･再付着し,三次元的に捻じ曲げられて,そ の後,再び二次元乱流境界層に回復していくという流れである.実験的にはこのよ

うな流れ場にならざるを得ないが,側壁や前縁の影響が存在するため,この影響の 範囲を明確にする必要がある.本研究では,以上のふたっの見方を併用する.

本研究では,三次元流れではあるが,ステップと平行するz*軸方向に対しては, 平均速度,変動速度,圧力の各成分が変化しない準二次元の流れ

(quasi‑tWO‑dimensionalflow)場を仮定している･

この準二次元流れは,図1‑1の見方で考えるとイメージ的に把握しやすい.定上

流に対する(2)式を成分表示し,図1のz*方向に対して一様,つまり∂/ゐ事を含む項

を0とすると,以下のように整理できる.

①ステップに直交するズ*方向に対して,

げ筈･F筈=一諾ル(

｢意‑･昔

^砂

1∂P

‑‑‑ +l′

β砂

∂2【/*

飯■2

･筈卜誓一昔(8a)

∂〟*v ∂γ2

&* み

②また,ステップに平行なz*方向に対して,

び誓･r晋‑ V(筈･筈)‑

∂〟*w* ∂w*

飯*

砂

(8c) (8b)

層流の場合には,R叩.01ds応力項が無く,ズ*,γ方向の式の中にはがが含まれな いためz*方向の式と完全に独立して解けることとなる.この結果,横方向の流れ がの影響がなくなり,ステップの角度を変化させても,ステップに直交する座標系 で考えた場合げ,n.Pの分布や再付着距離等その他の流れの状態や性質は変化し ない.これが,層流の傾斜独立原理である.

一方,乱流の場合には,R町nOlds応力項が存在し,Z*方向に関連するRqynolds応

力成分㌃㌃,㍍;,;戸は0ではない.しかしz*方向に一様,つまり∂苛む*=0,

∂;号ゐ*=0,∂;可む*=0と仮定すれば,(8a),(8b)式には,が,㌃㌃,;訪,謡

が含まれなくなるため,表面的にはスパン方向の(8c)式からは独立となるように思 われるが,層流とは異なり,乱流では(8a)〜(8c)式は閉じてはおらず,高次の方程式 で達成していると考えねばならない.

〟*w*の成分毎の変化は,定常な場合各々以下の式で表現される.

①〟りに対し,

u掌･F壁

^ら′

②v2に対し,

u･富･F壁

^句′

③w*2に対し,

u･誓･F壁

^句′

④〟*Ⅴに対し,

u普･㍉並

^み

⑤vw■に対し,

u*筈･㍉生

^み

‑‑〟

.‑

招一誓･前席+酌酔a)

̲ヱγ堂̲壁.γ

_{β･み,上砂}

宗一2摩頂･酎(9b)

2.軸 ^{∂vw■2 ∂2w■2}

ーーW ^{一二･･･‑･‑+} +ソ

β■ た● み､

‑2席･酢圃

ー2γ〈語･票･琵)

●『墜̲諒竺

ぐl､ 今,

一三〔巧･珂一字･γ

ー2γ(語･諾･語)

⑥〟●w■に対し,

u･筈･F生

^み

｢ ∂汀●_{一丁∂『*}

‑Vll･I‑‑〟■ V‑

at ￠l･

∂〟■vw書 ∂2〟■w*

(9c)

(9d)

(9e)

み2 _(9の

ー2堰寄･琵･琴)

各式の右辺の生成項(D部分)に着目し,Rり〜nOlds応力の生成プロセスの相互関

係を図示したものが図A.5‑1である.図からわかるとおり,(8a)式,及び(8b)式に影 響する〟*2,γ2,〟■Ⅴは,(8c)に含まれるw*,〟*w*からは独立となる･また,拡散 項と〟*2,V2,〟*Ⅴに影響する3次のR町nOlds応力項も,〟*2γ,V3,〃■v2だけであ

り影響は無い.

しかし,変動流のエネルギー収支を表す(7)式を,Rり′nOlds応力方程式と同様に

〃缶*の項を消去し,オーダー的に小さい〃飯*の項及び壁面近傍以外には影響の小

さい粘性係数を含む項を無視して成分表記すれば,

【 l喜一

^{一丁∂げ:｢∂F} 一｢∂『1∂〟*v21∂v31∂v2w*

F些=̲〟∵V̲̲V̲̲VW̲̲̲̲̲̲̲‑̲̲

み 砂 砂 み ² 砂 2匂′ ² 句′

(10)

となり,右辺には『,川■,V2w■などz*方向の成分が含まれる.従って,理論上 は傾斜独立原理が成立しないことになるが,ズ*‑γ方向の運動量の変化に影響する エネルギー収支の各項が実際上どの程度影響するかが問題となる.

Fig･A5‑1ProductionprocessofRqynoldsstress.

A.6圧力駆動型境界層とせん断駆動型境界層

J｡lmstonは,二次流れによって三次元化された乱流境界層の平均速度分布を推定 する方法として,三角形モデルとこれに対応した対数分布則を提案している(35).三 角形モデルでは,横流れを伴う,三次元境界層の平均速度分布に関して,主流速度 成分Uの関数としてスパン方向の平均速度『を導く次式を提案している･

①壁面近傍の慣性低層を含む内層では,

里=tan(凡)吉

^{とJ【. (1)}

②慣性低層より外側の境界層外縁部分では,

貰=d(ト吉〕

⁽²⁾

以上の式をもとに,横軸にひ坊,縦軸に折鶴をとって速度分布を表すと,図A.6‑1 のような三角形になる.これが三角形モデルである.

圧力駆動型の乱流境界層の場合,図A.6‑1の領域Ⅱでは町がUに比べ小さく, 乱流境界層の外層域における主流方向速度びが境界層外の主流速度にほぼ等しい (打払坑)と仮定すると,d=‑2αが成立するとしている･

従って,主流に対するステップの後退角αより係数｣を決め,Uの分布が既知 であれば,『も決定されることになる.前述の傾斜独立原理により,Uは二次元 ステップで求めたげから計算できるため,『及びがも計算できることになる.

二次元の乱流境界層に関する壁法則の対数分布則は,

芝=dl轄)･β

⁽³⁾

Ⅰに適用できる次の式を提案した.

曾rCOS(㍍)

+旦

⁽⁴⁾

この式は,主流方向で定義された叫の代わりに,主流とγ『だけずれた実際の壁 面の摩擦速度酌を用いたものである.なお,酌は9=

になる.

U2+『2に相当する摩擦速度

なお,圧力駆動型の三次元境界層は,図Aふ2に示されるように,流体中の物体 や横流れにより生成された圧力勾配により境界層が捻じ曲げられる場合である.図 示のように平板及びその上に乗った物体が静止流体中を動けば,平板表面ではズ*

方向のせん断応力が表れる.一方境界層外のポテンシャル流は物体によってz*方向 に曲げられているため,境界層は捻じ曲げられる.この状態が圧力駆動型の三次元 乱流境界層と呼ぶ.

一方,図A.6‑3に示すように静止平板上をズ*方向に流体が流れ乱流境界層が形成 されている場合に,平面が‑Z*方向に移動すると,平面表面の流体は平板とともに 動き,Z*方向への速度勾配が生じる･もともとズ*方向に主流が流れているため,ズ*

方向の速度勾配も存在するが,表面の移動によって生じる‑Z*方向の速度勾配に比 べ遥かに小さいため,表面流線の方向はほとんどズ*軸方向に一致する.この,平板 表面の流れ方向と境界層外縁での主流方向の流れの間に三次元的に捻れた乱流境 界層が生成される.このような乱流境界層の状態をせん断駆動型境界層と呼ぶ.

l 1

1 1

REGION(Ⅰ)う誉 REGION(:)++++ 二弓

I l

l l

l l

Locusoftipof boundarylayer Velocityvecbr

U/U占=1

Fig･A･6‑1Polarplotoftheskewedvelociり′PrO丘Ie･(9)

Fig･A･6‑2Pressure‑driventhree‑dimensionalboundaり′1qyer

A.7渦動粘度,せん断応力角,ひずみ速度角及び構造パラメータ

乱流応力も分子粘性と同様に渦による拡散と平均速度勾配から,

玩=;研一2vr∫タ

⁽¹⁾

と表すことができるとすれば･なお,たは変動速度の運動エネルギーた=;有/2で

あり,(2)式の右辺第1項は,Rり′nOlds応力の等方成分を表している.

従って,R印nOlds方程式は以下のように表される.

愕‑t諾･(叫)欝

⁽³⁾

この式をNavier‑Stokesの式と比較すれば,動粘性係数γに渦動粘性係数γtを加 え,圧力項にはR町I101ds応力の等方成分

P′=P･;〆

⁽⁴⁾

を加えた形となっている.

従って,独立な6成分を持つ未知の応力テンソルー〟メ〟ノがγtというひとつのスカ ラーに集約されたわけである.現実の流れ場ではγtは単純な形をとるわけではな いが,何らかの方法でγtがどのような値になるか分かれば,Navier‑Stokes運動方程 式が完結(close)したことになる.

ステップに直交するズ*方向に対して,渦動粘性モデルを適用し,

γ7ニー= (5a)

とし,ステップに平行な方向に対して,渦動粘性モデルを適用し,

ドキュメント内 斜め後方ステップ流れの特性に関する実験的研究 (ページ 117-133)