本節では、ラプラス逆変換の積分表示である複素反転公式を証明した。しかし、この積 分を直接計算することは容易ではない。そこで、§1で述べた複素閉路積分に変形するた・
めに必要である留数定理を先ず第1項で述べた。
2−1 留数と複素積分 （参考文献［12］）
［定義］ F（s）が、0〈ls−Sol〈Rで正則であるとき、0〈r〈Rを満たす任意 のrに対して、次式を定める。
ReSF（so）＝tl／，！！i．（s）ds （2 7）
をs＝SoにおけるF（s）の留湯という。ただし、（Cr；｝s−Sol＝r）とする。
【定理2 一一 2】
F（s）が、O〈ls−s。1〈Rで正則であるとき、 F（s）のLaurent展開を次式と
するとき、s＝Soにおける留数は（2・8）となる。
F（・）一…＋（、全町＋・一一＋。全誉。＋B・＋B・・（・一・・）＋・
ResF（s o）＝ Ai （2・8）
（証明）
n＝O．
となる。
±1、±2、…のとき、c；ls−So1＝r〈Rとすると、（2・6）から
S．（、∴譜d・ぞi：1；1：
F（s）のLaurent級数は、 C上で一様収束であるからC上で項別積分ができ、
．！ F（s）d s＝2ft i A，
c
ResF（so）一＝ s−i．1 iS．F（S）d・一篇＠．鋤＿
【定理2−3】
F（s）がs＝s。において1位の極を持つ場合、次式が成り立つ。
ResF（s o） ＝＝ lim （s−s o）F（s）
s−So
m位の極を持つ場合、次式が成り立つ。
R・・F（・・）一（m主D，聰1誉詰（・一・・）・F（・）
（2・9）
（2 ・10）
（証明）
F（s）がs＝s。において1位の極を持つので、次のようになる。
Ai
＋Bo＋Bi（s−so）＋一・ （O〈ls−sol〈R）
F（s）＝
S−So
（s−so） F（s）＝Ai＋Bo（s−so）＋Bi（s−so）2＋一一一 と表わすことができる。よって、
s→Soのとき、（2・9）が成り立つ。
また、F（S）がS＝S。においてm位の極を持つ場合は、次のようになる。
Ai Am
＋Bo＋Bi（s−so）＋
F（s）＝
十一一十
（S−So）皿 S−So
（s−so）皿F（s）＝：A．＋…十A1（s−so）m一1＋Bo（s−so）皿十…
と表わすことができる。
d m−1
＿1（s−so）皿F（s）＝（m−D！A1＋m1Bo（s−so）＋…
ds皿
となることから、s→s。のとき（2・10）が成り立つ。
留数は、閉積分路内に極を持つ複素関数の閉積分で、（2・7）の直接計算をせず に、（2・9）、（2・10）を利用して簡単に求めることができる。
【定理2−4】留数定理
閉積分路Cの内部に、F（s）の有限個の極s、…s。が含まれるとき、それらを 除いた閉領域の周dCおよび内部で正則であれば、次式が成り立つ。
tF．，ResF（sK）＝＝±．iS，F．（s）ds （2・ii）
（証明）
c
if，cf（c cnhQ
．O
図2−2−3のように、
SK（K＝1、2、…n）を中心として十分小さ「な半径rの 円CK；（ls−Sol ＝＝「＞0）をCに含まれ、互いに交わら ないようにとることができる。
したがって、【定理2−1】系3より、次式を得る。
図2−2−3
S，9（・）d・一書い・…i書㎞F（・K）
（2 ・12）2−2 複素反転公式
すでに、第1章§3、§5に各々示したラプラス変換表と諸定理を組み合わせて、直 感によってラプラス逆変換を求めることができるが、ここでは、f（t）のラプラス変換
L（f）（s）が与えられたときに、その逆変換f（t）を求める方法を述べた。
【定理2−5】ラプラス逆変換の積分表示（複素反転公式）
f∈cIassα、 fの右微分係数及び左微分係数が存在する点t＞0 （ただし、
t＝＝ oのときは、fの右微分係数のみ存在し、 t〈oのときは、無条件）で、次式 が成り立つ。
1
k−L ：：M 一li．；；i ，！ ［ll R．L （ f ）（ s ）e std s ＝＝
ただし、
一｛f（t十〇）十f（t−o）｝ （t＞o）
2 1
−f（＋ o） （t ＝＝ o）
2
o
（t〈o）（2 ・13）
L（f）（s）の収束直線をRe（s）＝αとし、 c＞max（0，α）とする。
（証明）
（Dt＞0の場合。
g R（ t）＝
g R（ t）＝
1
27ri
1
27ti
s
c十iRL（f）（s）e tds とおき、次のように変形する。
c−iR
，SC R｛ ，i f（ ？r ）e 一std T ） e st d s
．，，
C！mil｛sl．fiiS［ll：
1
c−iR 0
1 t．c＋iR
−t eS（t−r）ds
］f（T）dT＝ ，ll；｛t． ．！ 1：e c ig） （t−r｝d g］f（T）d T
一千1讐ぞ丁｝一
＝＝
@Sll rkt i t−T）｛e （C＋iR） （t−r）一e（c iR） （t−t）］f（一v）d ．r
＝ ，！1； ；illtl−lllllll」C：ti sin（R（t T））f（T）dT
よって、次式となる。
9訳t吟 辜刀轣jπ÷㎡ 一・）），f（・）d・ ①
！ i［lill［ii］li−lii： llZ．li，li，ILi，ii：［［ii1（，：ii：：：6．：；go．
（①あ第1項）について、δ＞0に対して、次式を考える。
．！ ： illC esin（R g ）d g ： Sl 一i ；1 n（Rc）d g＋ Sl 一i ！1 n（Rg）d g （2）
（10621，i：Ili
Fi ［iln，［R，［id，iとおくと、〈②の第1項〉→0 （R→Q・）（Riemann−Lebesqueの定理より）
（参考文献［5］）
また、②の第2項について、Rξ＝ρとおくと、次のようになる。
一2…lle芦厳ρ）dρ
．． ，s： 一glC illll！． ／R一 i sin（p）d p＋ ，！： 一E−li−2iisll−Zn（P） d p
よって、（②の左辺）→π／2 （R→。◇）となる。
また、次式のようになる。
ww＝一一
撃戟GSi 一i−C！in（Rg）｛f（t−g）一f（t−o）｝ dg
畦∫：ぞ： ξ）f（t dξ ③
ここで、fの左微分係数が存在するので、次式が成り立つ。
，！ ．， tl／if（tmg）一f（t−o）idg〈oo
したがって、Riemann−Lebesqueの定理よりR→◇◇のとき、
③の第1項→0
また、
③の第2項一÷f（t一・）（R一・・）
したがって （一一歩f（t一・）（R一・・）
となる。
次に、δ＞0に対して、①の第2項は、次のようになる。
（①の…
噤?Gln（Rξ）f（t＋ξ）dξ
＝一17 S： 一i：Cs：n（Bg）f（t＋g）dg
＋ 一i一 ．il f−Csln（Rc） ｛f（t＋g）一f（t＋o）｝ dg
＋ 一ii； S ， 一ge M！in（Rg）f（t＋o）dg ＠
④の第1項→0 （R→。。）
④の第2項は、fの右微分係数が存在するので、次弐が成り立つ。
S．， 一il一 i f（t＋g）一 f（t＋o） i dg〈oo
よって、Riemann−Lebesqueの定理よりR→◇◇のとき、④の第2項→0となる。
④の第3項一÷f（t＋・）（R一・・）
以上より、t＞0のときの（2・13）が証明された。
（2）t一・のとき・（1）の④から・明らかに9調一古f（＋・）（R一・・）である・
（3）t〈0のとき、①からRiemann−Lebesqueの定理より明らかである。
§3．Jordanの補助定理とラプラス逆変換の留数表示
次の条件（1）、（2）を満たすとき、次のJordanの補助定理が成り立つ。
（1） f（t）Eclassa
（2）像関数L（f）（s）が、複素平面全体へ有理型関数として拡張でき、
昌mL（f）（s）＝0となる。
8r州eo
本節では、Jordanの補助定理と前節で述べた複素反転公式から、ラプラス逆変換を閉 路積分として計算可能であることを示した。 （参考文献［9］）
3−1 Jordanの補助定理
【定理2−6】 Jordanの補助定理
条件（D （2）を満たすとき、次式が成り立つ。
t＞・のとき・小f）（・）・std・一・ （2・14）
Ll
t〈・のとき・・1豊∫L（f）（・）・std・一・ （2・15）
L2
さらに、口msL（f）（s）＝・0 ならば、
s oo t一・のとき・小f）（・）d・一1豊∫L（f）（・）d・一・
Ll L2
が成り立つ。
ただし、L、， L 2は。（c＞α）を中心とし、十分大きな半径Rの円の各々左半 分、右半分の積分路とする。
（証明）
図2−3−1のようにL、，L2の向きとする。
o
t〈o のとき、
s＝c＋Reieとすると、次式が成り立つ。
図2−3−1
1L2 ＝＝ ．S L（f ）（ s ）e s d s ＝S ／L2（ f ）（ c ＋R e ie） e （c＋Rcie） tR i e ied e
L2 一 一x／2
ξ〆
↑ 瓶
（1．
にic
ここで、w（R）＝三具忍霞L（f）（s）1とすると、
IL（f×・＋R・ e）1≦w（R）→0 （R→・・）となるので、
すなわち、次のようになる。
1 IL2 1s xAi （R） e c R S ／e2．tRcosed e
−x／2
（θ＋π一θとおくと、，。、（θ）一，。，（θ−）一、i，（θ））
2 一一i N i 一一 N 2
＝w（R）e CtR ．S e tRs ined e
o
＝＝
Qw（R）eCtR r
x／2 e tRsined eo
o：一 e s rt ／2 o
n
f2w （ ．R ） e ct R 一LL 一一一 ［e 2tRe／x］
2tR
7r e Ct （e tR一 1）
一 w（R）
t
よって、（2・15）が証明された。
t＞0 のとき、
1・・＝＝
轤k（f）（・）・st d・とおくと・
Ll
l ILi 1 sw（R ）R e c ，1 3 e．／：Rcosed e
x／2
1i・・1≦w（R）R…∫三野・・dθ一・（t＞・・R一・・）
となる。よって、 （2・14）が証明された。
t＝0 のとき、仮定よりRw（R．）→0 （R→・Q）となり明らかである。
sinθ≧2θ／7τ より t〈0のときe tRsine≦e 2tRe／冨
x／2 0
一一一рn ． （t〈O． R一＞oo）
次に、§2の複素反転公式から複素閉路積分への変形をJordanの補助定理を利用して行 なってみる。
g
A
幽 ρ 一 P 騨 9ｾ了 、．．幽
1 P
ﾔ
、 ・幽9
? 》
L2
㍉1、， …c 夢 σ
＼、． 」 一
，ρP，
X ■ P
一C，
c…，，・・幽
B
図2−3−2は図2−3−1と同じものである。実線と点線は同一 のものであるとする。L1， L2はそれぞれ半円周上の積分 路であり、ri、「2は弦ABを含む閉積分路である。
なお、、向きは図の矢印の方向とする。
c＞α （Re（s）＝α；収束直線）
図2−3−2
t＞0に対して、複素反転公式（2・13）より、次式が成り立つ。
一ll｛f （t＋o）＋ f（t−o）｝＝一r s−i．Fii S［Lll．：f］ ）（s）es d s＋kl／．：：m ±． iS．L，（f）（s）eStds
t〈oに対して、次式が成り立つ。
・迄li∫蹴）（・）・stdS＋嵩∴∫払（f）（・）・stdS
したがって、t＞0に対して、次式が成り立つ。
1
｛f （t＋O）＋ f（t 一〇 ）｝ ＝1 im 2
1
飛噸 Qπi
SL（f ）（ s）e std s
（ ？一 ・ 16）
t〈・に対しては・
P125i．ll−ij∫h（f）（・）・std・一・（2 ・17）
となる。
（2・16）は、t＞oに対して図2−3−2に示す閉路「、で積分することによって、ラ プラス逆変換を計算するCとができることを示す。すなわち、（2・11）で表わされ た留数の定義と（2・16）から、ラプラス逆変換が次のように留数で表わされる。
ラプラス逆変換の留数表示
一！一｛ f （ t ＋ O）＋ f（ t O）｝ ＝＝ ISResL（f ）（ s k） e Skt
2 k＝1
（2 ・18）
3−2 像関数の合成積分
2っの原関数の積のラプラス変換について考える。次の定理に示すように、これは、像 関数の合成積分となり、複素合成積分としてL（f、・f2）（s）＝L（f1）（s）＊L（f2）（s）
と書くこともある。次の（1）〜（3）の仮定のもとに、定理を証明した。
（1） fi（t）Eciassoi． f2（t）Eclasso2
（2）f、（t）がt≧oで微分可能で、f1 （t）はclassσ、に属する。
（3）【定理2−5】の仮定を満たしている。
【定理2−7】条件（1）〜（3）を満たすとき、次式が成り立つ。
L（f i f 2）（S）一A−Li ：M E−j．：i S［ ILII． ：f i）（p）・ L（f ，）（s−p）dp（2・19）
ただし、Re（p）＝σ1、Re（p）＝σ2を各々L（f1）（s）、とし（f2）（s）の収 束直線とし、σ1＜c1〈Re（s）一σ2なるc1をとる。
（証明）
仮定より、【定理2−5】からし（f、）（p）の逆変換の積分が存在して、次式が成り立つ。
f・・一 關Pil：ll｝以P）…dp
＝＝ AILIII tl／ ．S［ lfli．lt） L（f i）（p）eptd p
ξ
0 iσ1 二一1：・： ・：：：σ
「．．
，、『
ii；i｝：…！ ．：：1
，：・．
1iil：：，
σ
・・； 蕪…i；：：： ≒1螺ii・・…
，．．
；：：：
脳 層 ， 層 E・i鱒 ；：：：
図2−3−3 図2−3−4
Lebesqueの収束定理（参考文献［3］）および、積分の順序交換より、次式となる。
L（f i f 2）（S）＝kl： li i−i．：i Sl； ｛S［ lf1211t） L（f i）（p）ep d p／e−std t
＝ ku．： ±． ，S［llLl ：fi）（p）（ jl； f，（t）e一（s−p）td t／d，
＝（（2・19）の右辺）
ここで、L（f2）（s−p）は、Re（s−p）〉σ2で正則。
すなわち、Re（p）〈Re（s）一σ2のとき収束し、（2・19）が成り立つ。
なお、（2・19）の収束領域はRe（s）〉σ、＋σ2となる。（図2−3−4参照）
§4．ラプラス逆変換の具体例
4−1 1価および多価複素関数
1っのsの値に対して1っの値が定まる複素関数F（s）を1価複素関数、いくつかの 値が定まる複素関数F（s）を多価複素関数という。この多価性を除いて、1価正則関数
を得るために次のように定義する。
［定義1］
複素数体Cから負の三軸（0を含む）を除いて得られる開集合をDとすると、
任意のs∈Dに対して、
s＝lsl eie （一 rt 〈e〈R）
をみたすθが唯一っ存在する。
Logs ＝＝ logl sl ＋ i e （一 7r 〈e〈 7r）
これをsの対数の主値と定義する。 （参考文献［5］）
ここで、zを複素数とし、 eZ＝sのときzをsで表わしたら、
z＝Logs＝10glsl＋ i（e＋2k rr） （一 7T〈eSrr） （k＝ON±1N±2N ）
として表わせるが、負の実軸（0を含む）を除いて得られる開集合D。を考えると、
任意のs∈Doの偏角θを一π〈θ〈πとすれば、 D。内のLogsは1価となる。
［定義2］
αを複素数とするとき、sのべキ関数saおよび、その主値を次のように定義する。
sa＝eaLogs
（saの主文）＝eα（1。glsl＋i a「9｛s）｝ （一π〈arg（S）〈π）
（参考文献［12］）
開集合Dk内の偏角θを（2k−1）π〈θ〈（2k＋1）π、（k＝0、±1、±2、…）とおき、
すべての平面を次のように接続させたとき、その平面をR・i・ernan平面という。
Dkの第2象限とD k＋1の第3象限を、 Dkの負の実軸から下方に移動する際にDk＋、
上の点となるように決める。
sheet ， ， sheet
，
Dk ［
Dk＋1一 一
幽
D。上の点 D1上の点
図2−4−1
Dk上の点
S＝ISle置θ
（一 1（ 〈e〈 7r）
s＝lsleie
（n〈e〈37r）
s＝ lsle ie
（2k−1）n〈e〈（2 k＋1）rr
一般にn枚のsheetよりなるRieman平面のとき、そのまわりをn回まわって
こ．こでは、例として無理関数のラプラス逆変換を求めた。
（例1） 1
L（f）（s）＝s・刊 （n＞一1；非整数の実数）をラプラス逆変換すると・
tn・
次式を得る。
（2 ・ 20）
f（t）＝
r（n＋ 一1 ）
（証明）
s一（n＋1） ．． e一（n＋1） （1091s1＋i e） （一 7T 〈e 〈 7T ）
として、Rieman平面の二枚のsheetのみをとると、
分岐点および切断を除いて正則である。
図2−4−2参照 1
したがって、 lim ＝＝ O（n＞一1）
s→皿 n十1 s
より、t＞oのとき、 L1（弧AB），L2（弧FG）に 図2−4−2 Jordanの補助定理が適用できる。
kl： ： S L（f ）（ s）e std s ＝ A−1／．：｝m S L（f）（ s）estd s ＝＝ o
e．O LI e．O L2
全積分路をC（ABCDEFGA）とすうと、Cauchyの積分定理よりN 次式となる。
∫t（f・）（・s）e std・《エ｝幸川氏）款鶴
よ填舐）擁三三野①
C。上の線積分 s＝εeieとおくと、次式となるe
Sc． g−II．；；＋ie std s ＝： ，Sl．s 一 i eet （ceeefisine） eTiend e．
ただし、εは十分小さいので積分区間［一π，π］で与えている。
ここで、一1＜n〈0という条件を付けると、ε→Oのとき右辺は0に収束する。
Yt ?TX ：：／xS，．一gl；．；．，estds−o （一i〈n〈o） （？）
となる。
ξ
B
R
b C
0 D
F C2
@し
E−R
G
σ
C．、上の線積分 ．s＝＝一x十iδ （δ＞0）として、図2−4−3のようにx、δをとる。
S6、．∴阿尉d・〒∫r（一：∴dズ③
e。上の繍分、一一k−iδ（δ〉・）とお． q6
（6 一＞O． 一e 一一〉 7T）
pt2−4−3
よ獄鋼撒試d・
・一
刀F一。
o？：．一：一illllll」li；；1．： ｝Oii．，一 ？：．i￥liiiill；；li 1，1： i．．，］d x ．
隔てr｛乖べ論d冬
iS． ： C 一i ］，19illiiini i／i；一；・liXi （n＋i｝x−5一：一 ；ilill 1−li（ll＋i）xidX ξ
＝…… … ．δ
c
一
θ
3
＝一A−1．： 」El．Ti｛ ，11 ：T，（f ）（s）e s d s ＋ ，1 ：T，（f ）（ s）estd s］
ぐ 岡÷…℃ld・
．，一g−L／［E一［一！一llLn（n＋i）rt．！1；Ty［ltJiktl．．，tdY
．． E−1／一［ISH2 LLI−ILn（n＋i）it ，1111yl−n−ie．tndy
．． 一sl／nS一［L±一L2−ZLn（n＋i）rr r（一一n）tll
ft
ここで、Gamma関数は次のように定義される。
r（k）＝＝ SCDxk−ie xdx （2 t21）
o
ところで、次式が成り立つ。
、i，ぞ。π）一「（・）「（1一・）より・，i，（。≒一「（・＋D「（一・）
したがって、f（t）が回った。
tn f（t）一一
（t＞o）
r（n＋1）
tn また、fn（t）＝
と定義すれば、Cれは、 n＞Oに対しても拡張できる。
F（n ＋ 1）
nを複素数としRe（n）〉一1に対しても同様である。