本章では、ラプラス変換を微分方程式に応用することを目的とする。とCろで、微分方 程式の解法の1っに古典的方法がある。これは、微分方程式から先ず一般解を求め、次に 一般解と初期条件によって、不定係数を定め完全解を得るものであった。
しかし、古典的解法では解を求めるまでの過程が複雑であったり、高次数の微分方程式 のときに、複雑な演算となる。また、後述する偏微分方程式を解く場合も同様なことが言 える。ここでは、ラプラス変換法により如何に簡潔にかっ正確に微分方程式を解くことが できるかを述べた。常微分方程式に関しては、得た解が真の解であることは直接計算で確 かめられる。また、偏微分方程式の解の正当性については、次章で調べることにした。
§1，§2では、各々定数係数、非定数係数の線形常微分方程式への応用を述べ、§3，
§4，§5では、各々Besse1の微分方程式、差分方程式、合成積型積分方程式への応用の 基本について述べた。§6，§7，§8，§9では、本章の中心課題である偏微分方程式 の初期値・境界値問題への応用を述べた。
§1．定数係数線形常微分方程式
1−1 定数係数線形常微分方程式の初期値問題 定数係数のn階線形常微分方程式の解法
n階線形常微分方程式の初期値問題
dny ， dn−iy， ， dy
dtn 十al
d t n−i 十・ ＋ an−i G−f ； ＋ a．y ＝ f（t）（ak；定数，
（t＞O） （3・1）
k ＝＝ 1， 2， 一一， n）
初期条件
Y（O）＝ yo ， y （O）＝yo ，一・・， y（n−i＞（o）＝yo（n−i）
（3・1）式の両辺にラプラス変換を施すと、【定理1−10】より、
L（y｛k｝）（s）＝skL（y）（s）一sk−1y（0）一sk−2ゾ（O）一・・
．一 s y （k−2）（O）一y （k−i）（O）
＝＝ s kL（y ）（ s ）一 s kmiy o一 s k−2y o 一一一一一 s yo（k 2） 一yo（k−i）
（k＝1， 2， 一・， n）
となり、
L（y）（s）＝Y（s） ， L（f）（s）＝F（s）
とおくと、次式となる。
A（s）Y（s）＝ B（s）＋ F（s）
（含1：難語鎧㌫靖癬轟式である．）
したがって、
Y（・）一昊il；＋是8
となり、この両辺のラプラス逆変換を求めると、解y（t）を得る。
ここで、ラプラス逆変換の演算をL−1（Y）（t）＝y（t）とする（以後、断らずに用 いる。）と、次式が成り立つ。
B（s）
F（s）
） ）＋ L−i（
y（t）＝じ1（
A（s）
A（s）
第1項については、【定理2−3】の（2・9）、（2・10）・を考慮して、
を用いて、極を求めることによって容易に計算できる。
（2 ・18）
【系】 【定理1ヨ5】の（1・13）の逆演算として、次の式が成り立つ。
L（f）（s）＝F（s），L（g）（s）＝・G（s）とすると、
L一 （F（s）・ G（s）） ＝＝ f ＞K g＝ Sf（T）g（t ff T）d T （3 2）
第2項については、1／A（s）がG（s）という形で求められたならば、（3・2）を
用いて、次のようになる。L 一 （ ii−i（一ii−IS， ））） （ t ） ＝＝ St， f（T）g（ t 一 T）d T
［ラプラス変換による解法の特徴］
（D 古典的解法のように、一般解を求めて、次に初期条件によって特殊解を求め るのではなく、計算過程で初期条件を考慮できる。
（2） y（t）のラプラス変換Y（s）については、n次の代数方程式を解くことにな る。
（3） 最後に、Y（s）のラプラス逆変換を求めればよい。
以下に述べる定数係数の2階線形常微分方程式の解法と同様にn階線形常微分方程式 が解ける。
［例1］次の微分方程式を解く。
（1） ｛i−12i￥ty，＋a，g−t／＋a，y＝f（t）
（2） y（O）一 O， y （O）＝O
（3・3）
（解） 【定理1−10】より、
L（y ）（ s ）＝ s 2L（y ）（ s）一 s y（O）一 y （O）
L（y ）（ s）＝＝ s L（y ）（ s ）一 y（O）
となる。初期条件（2）を考慮して、次式を得る。
L（y ）（s）＝s2L（y）（s）， L（ゾ）（s）＝sL（y）（s）
次に、（3・3）の両辺をyについてラプラス変換すると、
g． 2L（y）（s）＋ ais L（y）（s）＋a2L（y）（s）＝＝一 L（f）（s）
（s2＋ais＋a2）L（y）（s）＝ L（f）（s）
ここで、s2＋als＋a2＝A（s）とおくと、
L（f）（s）
L（y）（s）＝
A（s）
となる。そして、これのラプラス逆変換を 1
L−1（
）（t）＝＝ g（t）
A（s）
とおくと、解y（t）は、
y（t5＝．！t f（T）g（t−T）d T o
となる。
（3・4）
ところで、A（s）＝s2＋als＋a2＝0の2次方程式の解をα，βとすると、次
のようになる。A（s）＝（s一α）（s一β）とおけるので、
9（t）＝L殻・一α1（・一β））（t）＝て
したがって、
y（t）＝
eat ． eBt 十
a−B B−a
t eat
（3・4）より、次式が成り立つ。
1，，．st
a 一 B o
（a＃B）
（a ＝B）
f（T）（ea（ m ）一eB（ 一 ））dT （a ）EB）
，S f （T ）・（ t 一丁）ea （t−r） d T
o
（a＝B）
（3・5）
［例2］次の微分方程式を解く。
（1 ） 一g−12ixty， ＋ a ，一g−t／ ＋ a，y ＝＝ o （3 ・ 6）
（ ？一 ） y（O）一＝ 1， y （O ）＝O
（解）（3・6）の両辺をyについてラプラス変換して、L（y）（s）について解くと、
s十al
L（y）（s）＝
A（s） ただし、A（s）＝＝ s2＋als＋a2である。
これを、ラプラス逆変換すると解y（t）を得る。
s十al
Y（t）＝・ L−i（
）（t）
A（s）
したがって、［例1］と同様にA（s）＝s2＋a、s＋a2＝0の2次方程式の解を
α，βとすると、A（s）＝（s一α）（s一β）とおけるので、解は次式となる。！1一：＋Lgga 1 e at＋！l！一：tLaL1a i e fit （cx gE B）
y（t）＝L族・帯β））（t）ゴ振1＋a∴（郎）
［例3］次の微分方程式を解く。
（i） 一g−12」ltY，＋a，g−t／＋a2y ：o
（2） y（O）＝：O， y （O）＝＝1
（解）両辺をyについてラプラス変換して、L（y）（s）について解くと、
1 L（y）（s）＝＝
A（s） ただし、A（s）＝s2＋als＋a2である。
これを、ラプラス逆変換すると解を得る。［例1］のg（t）が求める解となるので、
eat ． eBt
，，，，，．
oii／illf， Zi−i 一6i−a ［： ＝Z ， ，，．，，
1−2 定数係数線形常微分方程式の境界値問題
この項では、後の§8で扱う熱伝導方程式の解法の際に必要なグリーン関数に触れる ことにした。したがって、例を述べるだけにとどめておく。
［例U．一．．一＿．＿＿一一丁．一＿一
（3 ・ g）1
し
（証明）
先ず、
d2x
＞一 a2x ＝ f（t） （O 〈t〈 T， a＞ O）
（1）
dt
（2） x（O）一 x（T）＝O
（」liili t ）＝ 一 S K ．（ t， r ）f（T）d T
o
ただし、 K。（t，τ）はグリーン関数といい、次式で与えられる。
si nh（ a T ）sinh（ a（T 一 t ））
（O〈T〈t）
K a（ t T ）＝｛ ．， ．．， ？ S．i ， h．f．a． ，Tn）
sinhl麟1畿1『li一．鮪≦エ）
（3・10）
（3・11）
（3・9）を区間。〈t＜。Qとして、ラプラス変換する。
L（x）（s）＝ ．！ Mx（t）e−stdt，L（f）（s）＝： S f（t）emetdt t EI｛s〈 tz．
o o
【定理1−10】 （1・8）より、次式となる。
s2L（x ）（ s）一 s x（O）一 x （O）一 a2L（x ）（ s）＝ L（f ）（ s）
次に、x （0）＝bとして、初期条件（2）を考慮して次式を得る。
s 2L（x ）（ s ）一 b−a2L（ x． ）（ s）＝ L（f ）（ s）
すなわち、
L（x ）（ s ） ＝ 一一一， 一P一一，． ＋ 1＝一S（，IZ219g，2f ）（ s．）
2 n2−A2 2−
sa一 am s 一a
＝＝一2一一｛Fi，一1−El−i−a2＋一il L（f）（S）g−i，19fzinta2
となる。 （1・34），（3・2）より、ラプラス逆変換は次式となる。
x（t）＝＝ 一lll一 sinh（at）＋ tSif（T）sinh（a（t一 z ））dT o
（1）の境界値x（T）＝Oより、
x（il ）＝＝ 一2一 sinh（aT）＋ 一llTSI f（T）sinh（a（T−T））d T ＝＝ o
となる。sinh（aT）≠0より、 bについて解くと次のようになる。
b＝一gT／Kk！571F」，h．T）．！Ilf（T）sinh（a（T−T））dT
これを、上式に代入すると次式を得る。
x （
@t ）＝ llli／！ ： f （ cr ）s i nh（ a （ t 一 T ））d T 一 ．L ill，IIIIIil？， ：i（a．tT） ISi f （T ）s i nh（ a（T 一， T ）） d T
ここで、
sinh（aT）sinh（a（t−T））一sinh（at）sinh（a（T−T））
＝一sinh（ a（T−t））sinh（aT） （3 ・ 12）
を用いて．、整理すると、
x（t）＝一Sfww hlia，（h（T．Tt）））iS：f（T）sinh（a（t−T））dT
一lillli］llliiZISs？！iaatT），iSif（T）sinh（a（T−T））dT
．．
@m ．i K ．（ t， T）f（T）d T （o〈t〈T）
o
となり、（3・10）（3・11）が成り立つ。
［例2］
d2X n ．． N． ts t ．．LJ一一 一t til
（Ddt・一a2x ＝： f（t）（f（t．）・・（t）賄界・0〈t〈．o・a＞0）i
（2） x（o），＝o 1．
（．lgi ）t ）＝一 ．s X K ．（ t， ．）f（．）d． （3 ・i3） 1
o i
ただし、K。（t，τ）はグリーン関数といい、次式で与えられる。 i
le−atsinh（aT） ． （o〈T〈t） l
Ka（t T）＝：（e／ ．一L．，i，h（．t） i （t〈．〈oo） （3 i4） 1／
．一．a．．一一一一一．一．一．．一．．一．一．一．．．．一．一．一一．．．． 一一．．．． ． 一．．一 ．一．．．．．．．一一．．一．．一．一一．．．．． ． 一．．．．．一 一一L ．一一．．． ．一一．一．．一．L一．． 一L．一．一一一一．．．．一一一tL一．一．tr
（証明）
［例1］の①は、次のように変形できる。
x（t）＝ 一ll一 sinh（a t）＋一ll−S：f（，T ）sinh（a（t−T））d ir
＝＝ ijiltT （ e t e 一a ） ＋ ；2tS： f （T ）（ ea （t−v） 一 e 一a （t一＝） ）d T
＝＝ 一li一／rt （b ＋ Sl f （T）e 一avd T ） 一 1：llllt （b ＋ Si f（T）e atd T） ＠
・（t）はt→o。で有界となるためには・
b＝：一 ．1Ilf（T）e−a dT ． ＠
となることが・． でありかっ一である・したがって・
・∵）一・ 一（g−1 1−ili：1：：it ae at）sl；f（T）・一千∴∫：f（・）（・・一一e L・ ・・一・・ ） d・
＝m−
撃決?．S： f （T）e 一atsinh（ a T）6 T 一一ilJ Slf（T）e一 sinh（a t）d T
．． 一 ．1 K．（ t， T）f（T）d T
o
となり・（3●13）・（3 14）が劇立っ・
1｝②式の第2項について、
bem ti 1bl
＄一 （O〈t〈oo）
2a 2a
Illiilll；一 ．S ：f（T）eatd Tl sf itS：eavd T ＝！） lili． （eat一 i） 〈liY．Ti，
（o〈t〈oo）
②式の第2項は、有界となる。③を②式の第1項に代入すると、
Ii−illl （b ＋ Si． f（T）e一 td T ）1 一 一ii−illtSlf（T）e−a d Ts 2−N．，
となり、第1項も有界となる。
§2．非定数係数線形微分方程式
多項式を係数に持つ線形微分方程式の場合、係数がtの多項式のときに【定理1−12】
の（1・10）を用いることによって、sに関する微分方程式に変換することができる。
しかし、係数の多項式の次数（n次とする。）が高い場合には、L（y）（s）のn階線 形微分方程式が現れ、初めにその微分方程式の解を求める必要が生じるので、（1・10）
は係数の次数が低いものに適用すべきである。ここでは、2階の線形微分方程式の例の みを示すことによって、ラプラス変換の適用を述べた。
［例］
（1）t郭＋詳＋ty一・
（2） y（O）＝1， y （O）一〇
（解）
y（t）＝J o（ t）
ただし、Jo（t）は、第1章§4［例14］（1
（3 ・ls）1
・39）に示した0次の第1種i
（証明）
（3・15）をラプラス変換する。（1・10）を適用すると、次のようになる。
L（ d2yt d t2）（・）一（一Dきし（y双・）
＝一 ll−T， ｛s2L（y）（s）一sy（O）一y （o）｝
（2）より、
d
＝＝一ETt ｛s2L（y）（s）一s｝
dy
L（
）（s）＝s L（y）（s）一y（O）＝＝ s L（y）（s）一 1
dt
L（t y）（s）＝ 一 g−T， L（y）（s）
以上を（3・15）に代入して整理すると、1階の変数分離形になる。
翫L（y）（・）一論L（y）（・）∴d畿1鴇）一論d・
これを解くと、次式となる。
1・gl L（y）（・）1一
轣?E一一弊・2＋ 1）＋1・g（・1。、任意定数）
ところで、【定理1−16】の初期値定理より、
lirn s L（y）（s）＝lirp y（t）＝y（＋O）＝1
s一鯛tp t→0
であるから、 cs
lim sL（y）（s）＝lim＝c＝y（十〇）
s−mp s一 o vr51 f 一 ． ． c＝i
となる。よって、次式の解を得る。
1
L（y）（s）＝＝
漸
したがって、第1章§4［例14］（1・39）より、y（t）＝J。（t）となる。
なお、0次の第1種Besse1関数は、（1・39）のようにベキ級数で与えられる場合 と次に示すような積分で与えられる場合がある。
J㎡t淵
?迚ｫ（t・一）dθ
次節の§3で証明する。
§3．Besselの微分方程式
この節では、主にBesse i関数に関するラプラス変換の主なものを述べた。
3−1 Bessel関数
1を晦騰＿．∴∵∵瓢＿山＿㍍｛
（参考文献［14］）
（3・17）において、xをixに置換して関数を作ると、次式となる。
． （一 1）n Jxi y＋2n
J．（ix）＝Z−H ・iv＋2n
n−o n 1 r（v 十 n＋1）N2 。。 1 Xv＋加
＝＝iv：一H o
n−o n1r（v＋n十1）S2
ところで、eix／2＝cos（π／2）＋isin（π／2）より、 iy＝e iXv／2となる。
また、ここでし（x）を次のように定義する。
co 1 txi v＋2n
し（・）一Σ 一 （変形Besse瀾数） （3・18）
n−o n 1 r（v ＋ n＋ 1） 2
①と（3・18）から、次式が成り立つ。
J p（ i x）＝＝ e i ／21．（ x）
1．（x）＝ e一 ／2J ．（i x） （3 19）
次に、§8の熱伝導方程式の初期値境界値問題のなかで、「半径1の無限に長い円柱で 最初に0℃であった円柱の側面をある一定温度に保つときの熱伝導問題」があるが、その なかで出てくるBessel関数の関係病をあげる。
そこで、先ず次式を証明する。
±｛ズ・J．（、）｝一一x一・Jv＋、（、） （3．20）
dx
（証明）
d
dx 一・）｝一 F．（婁÷1ぞ∵
面 （一1）皿・2nx加一1
一一
Q
皿＝on1「（ソ＋n＋1）・2叶2｛『1｝＋2
冊 （一1）n・X2｛n二1｝＋1Xレ
＝2 一一一一m−L一一一一一一一一一一 x w
凪＝o（n−1）1「（v＋n＋1）・2y＋2 （n−1｝＋1
pa一 （一 1 ）（一1）nmi l x l v＋2 （n−1）＋1
一z
n＝o （n−1）1 r（v十n十1）
co （一1）or i
．，．@m． x 一p
y
（g）
・X−v
n−o （n 一 1）1 r（（v ＋ 1）＋（n 一1）＋ 1） 2
＝ 一x 一YJ ．＋1（x）
となり、（3・20）が成り立つ。
また、同様にすると次の関係式が成り立つ。
d
｛x J ．（ x ）｝ ＝＝ x J ．一i（x）
dx
また、（3・20）において、ソ＝0とおくと、次式が成り立つ。
d
J o（x）＝＝ 一J i（x）
dx
（3・20）（3・21）から、次式が成り立つ。
1 ソ
互（J・一・（x）＋J…（x））＝マJ・（x）．
（証明）
（3・2Dの左辺を計算すると、
ソxy−1Jv（x）＋xvJ y（x）＝xvJv＿1（x）
（3・20）の左辺を計算すると、
一】ノx−v｝1Jv（x）＋x−YJ p（x）＝一x−vJp＋1（x）
｛ン十1｝十2．《顯一1）
に）
（3 ・ 21）
（3 ・22）
（3・・ 23）
VX−iJv（X）＋J v（X）＝＝Jv−i（×） （1）
｛Y： ，一 Yi lk ：， 1 ，￥ ，V＞5， 9＝， ．t ：V：．1， ．， ISI ①一②として、Js。（x）を消去すれば、
2v x−iJ ．（x）＝ J v−i（X）＋J p＋i（X）
となり、 （3・23）が成り立つ。
3−2 Besse1関数とラプラス変換
Jo（t）を0次の第1種Bessel関数というが、そのラプラス変換L（Jo）（s）は、第1 章§4［例14］（1・39）である。ここでは、J。（t）の積分表示と、 n次の第1種 Bessel関数J。（t）のラプラス変換L（J。）（s）を求めた。
J。（t）の積分表示の証明
Jo（ t）＝＝ i；Sicos（tsi n（e））de （3 ・24）
（証明）
（1・39）より・次式が成り立つ・
1
L（J o）（s）＝＝ 一一 （1 39）
漸
L憶 ｝（一座（1・s5・変鰯参照） ①
また、次のように変形する。
1 1
＠
癌「「再「T／F「
そこで、①、②と（3・2）を考慮して、（1・39）をラプラス逆変換すると、
一一 ¥∫：デ；砦 d・
罰÷∴d・
n鍋÷÷d・
個∴÷・
⑳一圭∫∴d・
3）一÷∫三
となり、（3・24）が成り立つ。
1｝τ＝tuとおく。
S； tsin （e） d e 一 一lll−Siggs（ t si n（ e ）） d e
2｝1−2u＝vとおく。 3⊃v＝sin（θ）とおく。
Jn（t）のラプラス変換
（面一〒一s）・
L（J ．）（s）一
漸
（3 ・ 25）
（証明）
（3・20）より、J1（t）＝一Jo （t）
（3・23）より、Jn＋1（t）＝Jr1（t）一2J凪 （t）
また、Jo（0）＝1 ，J皿（0）＝0 （n＝1，2，…）
①，②，③を考慮して、帰納法によって証明する。
n＝0のとき、（1・30）によって、成り立つことは明らかである。
n＝1のとき、次式のように成り立つ。
L（J i）（s ）＝ L（一 J o ）（s）＝ 一 （s L（J o）（s）一 J o（O））
s
＝＝一一＋1 緬
ノ薔τ一s 漸
次に、n−1，nに対して成り立つものと仮定する。
L（J n＋i）（ S）＝ L（J n−i（ t）一2J n （t ））（ S）
＝ L（J n−i）（ S）一2 L（J n ）（ S）
＝ L（J n−i）（S）一2（S L（J n）（S）一J n（O））
1
癌
（V 一｛llil 一s）n＋i
画
となり、仮定が正しいことが証明された。
｛（ U−5一 fi一 一 s ）n−i一 2 s （ svtr5−Zrr 一 s ）n｝
o
＠
＠
§4．差分方程式
本節では、定数係数線形差分方程式と差分微分方程式について述べた。差分方程式と は、次のようなものである。
「a1， a2，…， anを正実数の定数とし、 y（t）， y（t−a1）， y（t−a2），…
y（t−a。）のように、ある間隔をへだてたtでのyの値の問に、1っの関係式
￠ （y（t）， y（t−ai）， y（t−a2）， 一一， y（t−a．）） ＝一〇
があるとき、これを差分方程式という。」 （参考文献［2］）
4−1．定数係数線形差分方程式
差分方程式のうち、ラプラス変換が効果的に応用されるのは定数係数線形差分方程式 である。
・SA。y（t−a、）一f（t）（A。， A、，…， A。・定数、 A。≠・， An≠・）
k＝O
ただし、ao＝0〈a1＜…＜a、とする。 （3・26）
（3・26）の両辺にラプラス変換を施すと、
llSAk L（y（ t 一 a k））（ s ）＝： L（f ）（ s）
k＝O
となり、k＝1，2，…， nに対して、 L（y（t−ak））（s）は次のようになる。
L（y（t ak））（s）＝＝ ．IPO．v（t−ak）e−S dt o
＝＝ ．11i 2（k（ T ） e s （v＋ak｝ d T
＝ e一 ak （jliy（ r）e一 Vd T＋ Sl．Y，（T）e−S d T
ここで、初期条件としてy（τ）＝ψ（τ） （一a。≦τ≦0）が与えられたとき、
L k（ s ）一Sl ．z （T）e 一 d T
−ak
とおくと、次式となる。
AoL（y ）（ s ）＋ SAke 一 k（ L（y）（ s ）＋ L k（ s ）） H一 L（ f ）（ s）
k＝1
したがって、次式が得られる。
L（y ）（ s ） ＝ （ L（ f ）（ s ）一 IE． ；一．Ake 一s k L k（ s ））／ ；．：．Ake Sak （3 ・ 27）