= 1 2c√
πtexp−(x−y)2 4c2t
このことを物理的に解釈すると，点yに温度1，瞬間的に上げるときの，t秒後の点xの針金の温度が，
1 2c√
πtexp−(x−y)2 4c2t になるときを意味する．そして，
u(t, x) = 1 2c√
tπ
∫ ∞
−∞
f(ξ) exp−(x−ξ)2 4c2t dξ
の等式は，点ξに温度f(ξ)を瞬間的に上げたときの解を寄せ集めたものが，求める解であることを表している．
となる．u(0, y) =F(0)G(y)≡0, u(a, y) =F(a)G(y)≡0より，F(0) = 0, F(a) = 0，従って，Fの常微分方 程式は，
F′′=−kF F(0) = 0, F(a) = 0 となる．波動方程式の証明と同様にすれば，
Fn(x) = sinnπ
a x, k= (nπ
a )2
ゆえに，Gの常微分方程式は，
G′′= (nπ
a )2
G これを解くと，
G(y) =Cne nπ
a y+Dne− nπ
a y
境界条件0 =u(x,0) =F(x)G(0)より，G(0) = 0となる．従って，Cn+Dn= 0. これを代入すると，
G(y) =Cn(e nπ
a y−e− nπ
a y) =Cnsinhnπ
a y=Cnsinhλny ただし，λn= nπ
a 以上をまとめると，
un(x, y) =Cnsinλnxsinhλny 重ね合わせの原理により
u(x, y) =
∑∞ n=1
Cnsinλnxsinhλny (3.51)
ここで，境界条件u(x, b) =f(x)より，
f(x) =
∑∞ n=1
Cnsinλnxsinhλnb 従って，フーリエ級数の理論より，
Cnsinhλnb= 2 a
∫ a 0
f(x) sinλnx dx, i.e. Cn= 2 asinhλnb
∫ a 0
f(x) sinλnx dx まとめると，
u(x, y) =
∑∞ n=1
Cnsinλnxsinhλny
Cn= 2
asinhλnb
∫ a 0
f(x) sinλnx dx
いつも起こる問題だがun(x, y)はラプラス方程式を満たすのであるが，無限和で定義されたu(x, y)がラプラス方 程式を満たすためには，項別微分が2回できなければならない．このことを確認しましょう．
そのために，f(x)がC3-級の関数と仮定する．境界条件u(0, y)≡0, u(a, y)≡0, u(x, b) =f(x)より，
f(0) =f(a) = 0;
f′′(0) = ∂2u
∂x2(0,0) =−∂2u
∂y2(0,0) = 0, f′′(a) =∂2u
∂x2(a,0) =−∂2u
∂y2(a,0) = 0
(3.52)
(3.52)を用いて，部分積分を3回繰り返えと，
Cn = 2
asinhλnb
∫ a 0
f(x) sinλnx dx
= 2 aλnsinhλnb
∫ a 0
f′(x) cosλnx dx
=− 2
aλ2nsinhλnb
∫ a 0
f′′(x) sinλnx dx
=− 2
aλ3nsinhλnb
∫ a 0
f(3)(x) cosλnx dx;
∴ Cn=− 1
λ3nsinhλnbafn(3) (3.53)
u(x, y)を形式的に，xについて2回項別微分すると，
∂2u
∂x2 =−∑∞
n=1
λ2nCnsinλnxsinhλny;
右辺の各項の絶対値の和を取ると，
∑∞ n=1
|λ2nCnsinλnxsinhλny| ≤∑∞
n=1
|λ2n||Cn||sinhλny|
≤
∑∞ n=1
|λ2n||Cn||sinhλnb| (∵ sinhx, (x >0)は単調増加|sinhλny| ≤ |sinhλnb|)
≤∑∞
n=1
1 λn
|afn(3)| (∵ (3.53)より，)
≤ (∞
∑
n=1
1 λ2n
) ( ∞
∑
n=1
|afn(3)|2 )
<∞ (∵ Cauchy-Schwarzの不等式とParsevalの等式より，)
u(x, y)を形式的に，yについて2回項別微分すると，
∂2u
∂y2 =−∑∞
n=1
λ2nCnsinλnxsinhλny
なので，右辺は同じなので，各項の絶対値の和は同様に収束する．以上により，f(x)がC3-級の関数ならば，u(x, y) は項別微分できる．
定理としてまとめておく．
定理3.6 51ページ図の境界条件を満たすラプラス方程式の解u(x, y)は，f(x)がC3-級の関数のとき，
u(x, y) =
∑∞ n=1
Cnsinλnxsinhλny
Cn= 2
asinhλnb
∫ a 0
f(x) sinλnx dx で与えられる．
コメント: 授業の範囲を超えているのは，161ページ以後の内容です．各自で自習をすることを願う．
(1) ∂2u
∂t2 =c2 (∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 )
の2次元の波動方程式はの長方形領域の場合は，今までと同様にするれば導ける．
(2) ∂2u
∂t2 =c2 (∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 )
の2次元の波動方程式の円形膜の場合は同様にすれば導けるが，ラプラシアン▽2 の極座標表示とベッセル関数に関する知識が必要
(3) ▽2u= 0のラプラス方程式は球の場合，3次元のラプラシアン▽2の極座標表示とルジャンドル多項式に関 する知識が必要．
4 超関数と線型システム
4.1 線形システム
RLC直列回路
Ldi(t)
dt +Ri(t) + 1
Cq(t) =v(t) (4.1) の常微分方程式を満たす．ただし，i(t)を時刻tでの回路の電 流，i(t) = dq(t)
dt ，q(t)はコンデンサーの電荷，v(t)は回路の電 圧，R抵抗（オーム），Lコイルのインダクタンス(ヘンリー），
Cコンデンサーの電気容量（ファラット）．
R抵抗
Lコイル
v(t)ボルト コンデンサーC
電圧vk(t)のときの電流をik(t), (k= 1,2)とすると，電圧v(t) =av1(t) +bv2(t)のときの電流i(t)は
i(t) =ai1(t) +bi2(t) (4.2)
となる．
これを一般化すると，写像Φ : C(R)−→C2(R)の写像を
Φ(v(t)) =i(t), i.e. v(t)7−→i(t) (4.3)
と考える．ただし，C(R)はR上の連続関数全体，C2(R)はR上のC2-級の関数全体とする．そこで，(4.2)の事 柄は次のように言い換えられる．
Φ(av1(t) +bv2(t)) =ai1(t) +bi2(t), （線形性） (4.4)
この写像Φを線形システムという．
システム Φ
v(t) i(t)
議論を進めるには線形システムΦに，何らかの連続性を仮定する．例えば，（どういう意味での収束かは別にして）
vk(t)k−→→∞v(t) =⇒ Φ(vk)k−→→∞Φ(v) (4.5)