ただし，F(s) =L(i(t))(s)．ここで，F(s)で上の方程式を解くと
F(s) = 1
Ls+R+ 1 Cs
L(v(t))(s) + 1 Ls+R+ 1
Cs Li(0)
ここで，さらに時刻t= 0での電流をi(0) = 0と仮定すると
F(s) = s
Ls2+Rs+C−1L(v(t))(s) この伝達関数のラプラス逆変換をL−1
( s
Ls2+Rs+C−1 )
=w(t)とすると，合成積の(10)より，
L(i(t))(s) =F(s) =L(w∗v)(s) ラプラス逆変換すれば，次を得る．
i(t) = (w∗v)(t) =
∫ t 0
w(τ)v(t−τ)dτ 結論として，まとめれば，次の定理になる．
定理5.31 (Duhamel(デュアメル)の合成定理) (4.26)の電流i(t)は i(t) =
∫ t 0
w(τ)v(t−τ)dτ (5.27)
で与えられる．ただしw(t)は伝達関数H(s) = s
Ls2+Rs+C−1 のラプラス逆変換である．
注意5.32 定理5.31で述べたことは，(4.1)のRLC回路の微分方程式を，より一般した定係数線形微分方程式に 対しても成立する．
具体的に，L−1
( s
Ls2+Rs+C−1 )
=w(t)を求めてみよう．Ls2+Rs+C−1= 0が異なる解α, βを持つ場合 と重解を持つ場合に分けて議論する．
(1) 異なる場合Ls2+Rs+C−1=L(s−α)(s−β), (α̸=β) 部分分数展開により，
1
L(s−α)(s−β) = 1
α−β = 1 L(α−β)
( α
s−α− β s−β
)
; 逆ラプラス変換をすると，命題4.22の(5)，例4.21の(1)より，
w(t) =L−1
( 1
L(s−α)(s−β) )
= 1
L(α−β) (
L−1 ( α
s−α )
− L−1 ( β
s−β ))
= 1
L(α−β)
(αeαt−βeβt)
(i)α, βが実数の場合(CR2>4L)，L, R, C≥0なので，α, β≤0となる．
w(t) = 1 L(α−β)
(αeαt−βeβt)
(ii)α, βが実数でない場合(CR2<4L)，ℜα=−R
2L <0, β=αなので w(t) = 1
L(α−β)
(αeαt−βeβt)
= 1
L(α−α)
(αeαt−αeαt)
= 1
Lℑ(α)ℑ(αeαt) ただし，ℜ(α), ℑ(α)は複素数αのそれぞれ実部，虚部を表す．
(2) 重解の場合Ls2+Rs+C−1=L(s−α)2 すなわち，α=−R
2L <0, CR2= 4L 部分分数展開より，
1
L(s−α)2 = 1 L
( 1
s−α+ α (s−α)2
)
; 逆ラプラス変換をすると，命題4.22の(5)，例4.21の(1)より，
w(t) =L−1
( 1 L(s−α)2
)
= 1 L
( L−1
( 1 s−α
) +L−1
( α (s−α)2
))
= 1 L
(eαt+teαt)
いずれの場合も，lim
t→∞w(t) = 0のなり，伝達関数H(s)の解が実数でない場合，振動しながら減衰する．
例 5.33
x′′+x= 2 cost, x(0) = 3, x′(0) = 4 この式をラプラス変換すると(X(s) =L(x(t))(s)で表す)，
L(x′′) +L(x) = 2L(cost)
s2X(s)−s·3−4 +X(s) = 2 s s2+ 1 (s2+ 1)X(s) = 2s
s2+ 1 + 3s+ 4
∴ X(s) = 2s
(s2+ 1)2 +3s+ 4 s2+ 1
= d
ds (
− 1 s2+ 1
)
+ 3 s
s2+ 1 + 4 1 s2+ 1
∴ x(t) =L−1 (d
ds (
− 1 s2+ 1
))
+ 3L−1 ( s
s2+ 1 )
+ 4L−1 ( 1
s2+ 1 )
=tsint+ 3 cost+ 4 sint 例 5.34 (積分方程式)
x(t) =t+
∫ t 0
x(τ) sin(t−τ)dτ 式全体をラプラス変換して，畳み込み関数(10)を用いると，
X(s) =L(x(t)) =L(t) +L (∫ t
0
x(τ) sin(t−τ)dτ )
= 1
s2 +L(x(s))L(sint)(s)
= 1
s2 +X(s) 1 s2+ 1; X(s)を解くと，
X(s) =s2+ 1 s4 = 1
s2 + 1 s4
∴ L−1(X(s)) =t+t3 6
例 5.35 (超関数を含む微分方程式 1)
x′′+ 4x′+ 5x=δ(t−1), x(0) = 0, x′(0) = 3
式全体をラプラス変換すると，
s2X(s)−0·s−3 + 4(sX(s)−0) + 5X(s) =L(δ(t−1)) =e−s X(s)で解くと，
(s2+ 4s+ 5)X(s) = 3 +e−s
X(s) = 3
(s+ 2)2+ 1+ e−s (s+ 2)2+ 1 第一移動(3)を用いると，
∴ x(t) = 3e−2tsint+e−2tsin(t−1)·U(t−1)
例 5.36 (超関数を含む微分方程式 2)
x′′+ 4x′+ 8x=δ(t), x(0) = 1, x′(0) = 2 この式をラプラス変換すると，
s2X−sx(0)−x′(0) + 4(sX−x(0)) + 8X = 1 s2X−s−2 + 4sX−4 + 8X= 1
(s2+ 4s+ 8)X =s+ 7
∴ X = s+ 7
s2+ 4s+ 8 = s+ 2
(s+ 2)2+ 22 + 5 (s+ 2)2+ 22 ラプラス逆変換をすると，
x(t) =L−1
( s+ 2 (s+ 2)2+ 22
) +5
2L−1
( 2 (s+ 2)2+ 22
)
=e−2t (
cos 2t+5 2sin 2t
)
求める解は，次で与えられる．
x(t) =e−2t (
cos 2t+5 2sin 2t
)
(5.28)
注: ここで，この解が与えられた微分方程式の条件を満たすかを見てみよう．
x(t) =e−2t (
cos 2t+5 2sin 2t
)
; x′(t) =−2e−2t
(
cos 2t+5 2sin 2t
)
+e−2t(−2 sin 2t+ 5 cos 2t) =e−2t(3 cos 2t−7 sin 2t) ; x′′(t) =−2e−2t(3 cos 2t−7 sin 2t) +e−2t(−6 sin 2t−14 cos 2t) =e−2t(−20 cos 2t+ 8 sin 2t) x′′+ 4x′+ 8xに代入すると
x′′(t) + 4x′(t) + 8x(t) = 0 となり，外力δ(t)に右辺はならない．また，t= 0を解に代入すると，
x(0) = 1, x′(0) = 3 初期条件x(0) = 1, x′(0) = 2と違ってくる．
実は解(5.28)は，微分方程式が超関数を含むとき，ラプラス変換して求めた解は超関数としての解であって，普
通の意味での解にはなっていないこのがその理由である．
例 5.37 連立微分方程式
{x′(t) +y(t) = 2 cost, (x(0) = 0, y(0) = 1) x(t) +y′(t) = 0
それぞれ式全体をラプラス変換すると，次の連立方程式をえる．
sX(s)−0 +Y(s) = 2 s
s2+ 1, X(s) +sY(s)−1 = 0 ただし，X(s) =L(x)(s), Y(s) =L(y)(s) この連立方程式を解くと，
X(s) = 1
s2+ 1, Y(s) = s s2+ 1 ラプラス逆変換すると，
x(t) =L−1 ( 1
s2+ 1 )
= sint, y(t) =L−1 ( s
s2+ 1 )
= cost
6 補足
6.1 微分と積分の順序交換 , Wierstrass の多項式近似定理
定理6.1 (微分と積分の順序交換) (1) 閉区間[a, b]×[c, d]上のf(x, y)はC1-級の関数とするとき，
d dy
(∫ b a
f(x, y)dx )
=
∫ b a
∂f
∂y(x, y)dx (6.1)
(2) aが−∞，あるいは，bが∞の場合，a < λ′, λ < bについて，
∫ λ′ a
∂f
∂y(x, y) dx+
∫ b λ
∂f
∂y(x, y)
dx λ→b, λ−→′→a 0, (変数y∈[c, d]について一様収束) (6.2) ならば，この場合も，(6.1)は成立する．
証明 (1)フビニと積分順序の交換により，
∫ t c
(
∫ b a
∂f
∂y(x, y)dx)dy=
∫ b a
(
∫ t c
∂f
∂y(x, y)dy)dx=
∫ b a
f(x, t)−f(x, c)dx=
∫ b a
f(x, t)dx−
∫ b a
f(x, c)dx 右辺の最後の項は定数なので，両端をtで微分すると，求める式が得られる．
∫ b a
∂f
∂y(x, t)dx= d dt(
∫ b a
f(x, t)dx) (2)a=−∞, b=∞の場合を示す(他も同様)．
∫∞
−∞f(x, y+ ∆y)dx−∫∞
−∞f(x, y)dx
∆y −
∫ ∞
−∞
∂f
∂y(x, y)dx
= ∫ ∞
−∞
f(x, y+ ∆y)−f(x, y)
∆y −∂f
∂y(x, y)dx 平均値の定理より，
= ∫ ∞
−∞
∂f
∂y(x, y+θ∆y)−∂f
∂y(x, y)dx
(∃0< θ <1)
≤
∫ ∞
−∞
∂f
∂y(x, y+θ∆y)−∂f
∂y(x, y) dx 条件(6.2)より，十分大きいλ >∃λ0:
∫
|x|>λ
∂f
∂y(x, y)
dx < ε, ∀y∈[c, d]より，
≤2ε+
∫ λ
−λ
∂f
∂y(x, y+θ∆y)−∂f
∂y(x, y) dx
∂f
∂y(x, y)は[−λ, λ]で一様連続なので，∃δ >0 : |y−y′|< δ ⇒ ∂f
∂y(x, y′)−∂f
∂y(x, y)
< ε．従って，
≤2ε+ 2λε, (|∆y|< δ ) 以上により，
d dy
(∫ ∞
−∞
f(x, y)dx )
= lim
∆y→0
∫∞
−∞f(x, y+ ∆y)dx−∫∞
−∞f(x, y)dx
∆y =
∫ ∞
−∞
∂f
∂y(x, y)dx
(注: (2)の証明方法は，(1)の別証明にもなっている) ♡
定理6.2 (Wierstrassの多項式近似定理) [0,1]上の連続関数f(x)とする．任意のε >0に対して，
max{|f(x))−p(x)|: x∈[0,1]}< ε (6.3) となる多項式p(x)が存在する．
証明 P[0,1]を[0,1]上の多項式全体，C[0,1]を[0,1]上の連続関数全体とする．このとき，一様ノルムでP[0,1]
はC[0,1]で稠密であることを，次の方法で示す（この事柄は大事で，証明方法は2項分布を用いたベルンシュタ インの方法が一般的である）．
Tn(x) = cos(nCos−1x)がn次の多項式であることを示す．この多項式をチェビシェフ( ˇCebyˇsev)の多項式と
いう．
cosnθ+isinnθ= (cosθ+isinθ)nの右辺を2項定理で展開して，その実部を見ると，
cosnθ=ℜ ( n
∑
k=0
nCkiksinkθcosn−kθ )
=
[n2]
∑
m=0
nC2m(−1)msin2mθcosn−2mθ
=
[n2]
∑
m=0
nC2m(−1)m(1−cos2θ)mθcosn−2mθ ここで，x= cosθとすると，
Tn(x) = cos(nCos−1x) =
[n2]
∑
m=0
nC2mxn−2m(x2−1)m 右辺はn次の多項式であるので，Tn(x)はn次の多項式である．
任意の連続関数f ∈C[0,1]に対して，[−π, π]で偶関数になるようf(x)を拡張しておく．そして，
g(θ) =f(cosθ), (−π < θ≤π)
と定義すると，cosθも偶関数なのでg(θ)は連続な偶関数になる．すると，gの実フーリエ係数bn = 0となり，
フーリエ級数展開はcosnθ, (n∈N∪ {0})の一次結合で表される．従って，チェサロ平均 σn(θ) =
∑n k=0
dncosnθ
と表す．ただし，dn∈C．定理1.36よりチェサロ平均σn(θ)はg(θ)に一様収束する．すなわち，任意のε >0に
対して，
g(θ)−
∑n k=0
dkcoskθ
< ε (∀θ∈[−π, π]) となるnが存在する，ここで，θ= Cos−1xを代入すると，
f(x)−
∑n k=0
dkcos(
kCos−1x)
< ε (∀x∈[0,1])
f(x)−
∑n k=0
dkTk(x)
< ε (∀x∈[0,1]) 求めるn次の多項式p(x)はp(x) =
∑n k=0
dkTk(x)である． ♡
索 引
記号
∥ · ∥2. . . 5
A(s), B(s) . . . 27
an, bn. . . 8
cn. . . 8
CW Tf(a, b). . . .38
δ(x) . . . 59, 72 Dn(x) . . . 17
dnT dx . . . 59
f(a−0) . . . 10
f(a+ 0) . . . 10
f∗g. . . 28, 66, 77 F(f)(s), fˆ(s) . . . 22
F−1(f)(s), fˇ(s) . . . 22
f#(t) . . . 28
Gb. . . 39
Γ(x) . . . 71
H(iω) . . . 64
H(s) . . . 68
h(x) . . . 12
Kn(x) . . . 18
L2(a, b) . . . 3
L(f)(s), F(s) . . . 64, 70 L−1(F(s)) . . . 65, 70 S(R)′. . . 57
pα,β. . . 57
Pn(t) . . . 4
ψj,k(t) . . . 4
S(R) . . . 57
σn(x) . . . 17
Sn(x). . . .11
Tf. . . 58
U(t) . . . 72
<s, t>. . . 38
B Bessel(ベッセル)の不等式. . . 6
Bromwich(ブロムウィッチ)の反転公式. . . 76
Bromwich（ブロムウィッチ）の定理. . . .65
C Cauchy-Schwarzの不等式. . . 5, 34 convolution（対合）. . . 28
Cr-級の関数. . . 10
D D’lambert（ダランベール)の公式. . . 47
Duhamel(デュアメル)の合成定理. . . 68, 87 F Fubbini(フビニ）の定理. . . 29
L Lerch（レルヒ）の定理. . . 75
P Parseval（パーセバル）の等式. . . 8
Plancherel(プランシエル)公式. . . 28
R RLC直列回路. . . 57
W Weierstrassの優収束判定法. . . 21
Wierstrassの多項式近似定理. . . 92
Wilbraham-Gibbs定数. . . .16
あ 位数. . . 85
インパルス応答. . . 64
インピーダンス. . . 68
ウェーブレット基底. . . 4
n次元フーリエ級数. . . 37
n次元フーリエ変換とフーリエ逆変換. . . 38
エネルギー保存則. . . 38
応答関数. . . 86
か 外力. . . 86
重ね合わせの原理. . . 44
緩増加関数. . . 58
(緩増加)超関数(Tempered distribution) . . . 57
Γ-関数. . . 71
ギブスギャップ(Gibbs) . . . 14, 16 ギブス定数. . . 16
逆フーリエ変換. . . 22
逆離散フーリエ変換. . . .37
急減少関数. . . 31, 57 境界条件. . . 40
極. . . 85
区分的に滑らか. . . 10, 22 区分的に連続. . . 10
群上の調和解析. . . 39
計算機断層撮影. . . 37
ゲイン. . . 64
高速フーリエ変換（FFT）. . . 37
項別微分. . . 20
固有関数（特性関数）. . . 43
固有値. . . 43
混合問題. . . 54
さ 3次元熱方程式. . . 40
3次元波動程式. . . 40
3次元ラプラス方程式. . . 40
自己相関関数. . . 33
指数型. . . 74
実フーリエ係数. . . 8
指標. . . 39
シャノン-染谷のサンプリング定理. . . 34
収束域. . . 65, 74 収束座標. . . 65, 73 周波数伝達関数. . . 64
初期条件. . . 40
スペクトル. . . 43
積分. . . 66, 77 積分方程式. . . 88
絶対可積分. . . 22
絶対収束座標. . . 74
全エネルギー. . . 33
線形システム. . . 57
線形性. . . 66, 77 像（関数）. . . 70
相互相関関数. . . 33
相似. . . 66, 77 双対群. . . 39
像の移動. . . 66, 77 像の積分. . . 66, 77 像の第一移動. . . 71
像の微分. . . 66, 77 た 帯域制限関数. . . 34
第一移動. . . 66, 77 第二移動. . . 66, 77 畳み込み関数. . . 28, 66, 77 妥当性. . . 44
単位インパルス. . . 64
チェサロ平均. . . 17
チェビシェフ( ˇCebyˇsev)の多項式. . . 92
超関数と関数の積. . . 60
超関数の収束. . . 58
超関数と関数の畳み込み. . . 60
超関数の微分. . . 59
超関数のフーリエ変換. . . 60
直交. . . 3
調和関数. . . 54
直交関数系. . . 6
定義セミノルム系. . . 57
ディリクレの積分公式. . . 25
ディリクレ題問. . . 54
テスト関数空間(Test function space) . . . 57
ディリクレ核. . . 17
デルタ関数. . . 59, 72 伝達関数. . . 68, 86 時不変. . . 64
特性関数. . . 68, 86 特性方程式. . . 86
な 内積. . . 3, 34 内積の性質. . . 3
滑らかな関数. . . 10
軟化子. . . 59
2次元ポアソン方程式. . . 40
2乗可積分関数. . . 33
2乗平均ノルム. . . 5
2乗平均収束. . . 6
熱核(heat kernel). . . 51
ノイマン問題. . . 54
は 反転公式(Inversion Formula) . . . 27
ピタゴラスの定理. . . 6
左極限. . . 10
左微分可能. . . 10
左微分係数. . . 10
微分. . . 66, 77 微分と積分の順序交換. . . 91
標本化定理. . . 34
フーリエ解析の基本定理. . . 13
フーリエ係数. . . 6
フーリエ積分（実フーリエ変換）. . . 27
フーリエ展開. . . 9
フーリエの重積分公式. . . 26
フーリエの単積分公式. . . 26
フーリエ変換. . . 22
フェイエル核. . . 18