ラグランジュの未定乗数法

この様な、拘束条件の下での最大値問題はラグランジュの未定乗数法 (Lagrange’s method of undetermined multiplier)を用いて解ける。最初に、

この方法の手順を説明して、その後に、どうしてこの方法で解が得られ るかを示す。

手順： (i)まず、束縛条件(6.18)および(6.19)に対応して２つの未定乗 数αおよびβを導入し、

S ≡ S −˜ αN −βE (6.25) を考える。

(ii)次に、束縛条件なしにS˜を最大にするp_iを求める。即ち、それぞれ 独立で任意の変分δp_iに対して、

δS˜=δS −αδN −βδE

=−∑

i

(lnp_i+α+βϵ_i)δp_i = 0 (6.26) を満たすpiを求める。ただしα+ 1を改めてαと定義し直した。この解 p_iは未定乗数αおよびβに依存する。

(iii) 最後に、乗数αおよびβを束縛条件(6.18)および(6.19)を満たすよ うに決める。すると、その結果得られたpiは求める解になっている。

これが解になっていること： こうして得られたp_iが束縛条件を満たす のは、未定乗数αとβをそのように決めたのであるから、当然である。こ れが、束縛条件を満たす変分δ^′piに対して、δ^′S = 0となることを示せば よい。

これは、以下のように簡単に示せる：このように求めたp_iは式(6.26) を満たす。即ち、S˜は任意の変分に対してδS = 0なのだから、変分を束 縛条件を満たすものに制限してδ^′p_iとしてもやはりゼロ、即ち

δ^′S˜=δ^′S −αδ^′N −βδ^′E = 0 (6.27) である。一方、束縛条件を満たす変分δ^′p_iは式(6.22)および(6.23)を満 たしδ^′N = 0およびδ^′E = 0なので、結局式(6.27)よりδ^′S = 0を満たす ことが分かる。

具体的計算： 式(6.26)は互いに独立で任意のδp_iについて成り立つの で、δp_iの係数がすべてゼロ

lnp_i+α+βϵ_i = 0 (6.28) でなければならない。これより直ちに

p_i =e^{−α−βϵi}. (6.29) となり、p_iはαおよびβの関数として求められる。このp_iを条件式(6.18) および(6.19)に代入して、

1 = ∑

i

p_i =∑

i

e^{−α−βϵi} (6.30)

E

N =∑

i

ϵipi =∑

i

ϵie^{−α−βϵi} (6.31) を得る。これらの式よりαとβは決められる。まずαは、式(6.30)より

e^α =∑

i

e^−βϵi ≡f (6.32)

とβの関数として与えられる。一方βは、式(6.31)より E

N = 1 f

∑

i

ϵ_ie^−βϵi (6.33)

によって決められる（一般には陽な形には解けない）。結局、式(6.29)よ り、Sを最大にするp_iは

p^∗_i ≡ N_i^∗

N = e^−βϵi

f (6.34)

で与えられる。

未定乗数βの意味： 更に、エネルギー一定の条件に対する未定乗数β は、温度の逆数

β = 1

k_BT (6.35)

となることが示される。

〔証明〕エントロピーSは式(6.16)で与えられ、これを式(6.20) のようにp_iを用いて表すと、

S ≈k_BlnW^∗ =−k_BN∑

i

p^∗_i lnp^∗_i (6.36) となる。Wを最大にするp_iは式(6.29)

p^∗_i =e^{−α−βϵi} で与えられ、更にこの中のαおよびβは

1 =∑

i

p^∗_i, E

N =∑

i

p^∗_i ϵ_i (6.37) によりN とEの関数として与えられるので、結局、p^∗_i もN とEの関数である。

エントロピーの表式(6.36)より、温度は 1

T = dS

dE =−kBN∑

i

dS dp^∗_i

dp^∗_i dE

=−kBN∑

i

(lnp^∗_i + 1) dp^∗_i dE

=−k_BN∑

i

(−α−βϵ_i+ 1)dp^∗_i dE

=−k_BN(−α+ 1)∑

i

dp^∗_i

dE +k_BN β∑

i

ϵ_idp^∗_i

dE (6.38) で与えられる。これに、式(6.37)の両辺をEで微分した式

0 = ∑

i

dp^∗_i

dE , 1

N = d(E/N)

dE =∑

i

dp^∗_i dEϵi

を用いると、

1

T =kBβ すなわち、 β = 1 k_BT

が得られる。 証明終■

■ ラグランジュの未定乗数βが1/k_BT であることの別の証明

系のエントロピーがN_iの関数S(N₁, N₂,· · ·)を最大にするN_i^∗に対し て、S(N₁^∗, N₂^∗,· · ·)と与えられることを用いると、このことは以下のよう に証明できる。

〔別証〕系の粒子数N および系のエネルギーEも、N_iの関数として N =N(N₁, N₂,· · ·), E =E(N₁, N₂,· · ·) (6.39) と表されているとする。これらの具体的な関数形は以下の議論で不要。

ラグランジュの未定乗数法では、未定乗数αおよびβを導入して、N_i^∗ は、関数

S(N₁, N₂,· · ·)

kB −αN(N₁, N₂,· · ·)−βE(N₁, N₂,· · ·) (6.40) を最大にするように決める。即ち、

N_i −→ N_i+δN_i (6.41)

に対する変分がゼロ、即ち 1

k_BδS−αδN −βδE = 0 (6.42) となるようにN_i^∗はαとβの関数として決められている。更に、αとβは

条件(6.39)により、NとEの関数として決められている。

このN_i^∗からの変分δN_iを、N は一定でEのみ変化するようにとった とする。すると、それに対するSとEの変分は、式(6.42)でδN = 0と したもの

1

k_BδS−βδE = 0 (6.43)

を満たすので、これから直ちに (∂S

∂E )

N

=k_Bβ (6.44)

が得られる。 証明終■

第 7 章 熱浴に接した系と正準