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4. モルフォロジカル・ウェーブレット
ここまでの説明で，モルフォロジが「非線形で有界な世界」での演算の体系であり，完 備束での上限・下限演算を基盤として構成されていることを説明した．この説明では，も ともとは２値画像への「はめこみ」であり，論理演算によって定義されていたものが，グ レースケール画像，カラー画像と拡張されていき，最終的には一般的な完備束における上 限・下限演算に達している．
そこで，ウェーブレット解析においても，上限・下限演算（一般的な信号処理では最大・
最小演算）を導入して，モルフォロジと同様の「非線形で有界な世界」に適した演算を構 成しようという考えが生まれてくる．
例えば，もっとも簡単な例として，図
8
に示す2 × 2
のサンプリング窓をもつ次の変換 を考える．a = min(x, y, z, w) h = y − x
v = z − x d = w − x (4.1)
この演算で，
a
に相当する部分はダウンサンプリングによる近似画像であり，他は差分画x y
z w
a b
c d
サンプリング窓
分解 再構成
近似画像 差分画像（横）
差分画像（縦） 差分画像（斜め）
Fig. 8. 2 × 2
のサンプリング窓をもつウェーブレット変換像となっている．これらの画像に対して，
x = a + max( − d , − h , − v , 0) y = x + h
z = x + v w = x + d (4.2)
のように再構成を定義することができる．この演算は，２次元の
Haar
ウェーブレット変 換を，最大・最小演算におきかえて表したもので，モルフォロジカル・Haar
ウェーブレッ ト変換とよばれている．このような最大・最小演算にもとづく信号の分解・再構成の一般的な枠組みは，
Heijmans
らによって[14, 15]
で議論されている．また，延原は，整数上の最大演算と加算だけから なるマックスプラス代数系においてモルフォロジカル・ウェーブレットを構成すること で，処理を簡素化し，動画像への適用も行っている[10]
．5. おわりに
本講演では，「有界で非線形な世界」を扱う体系を完備束における上限・下限演算で構 成しようというモルフォロジの思想を，基本的な演算から特徴的な応用例にわたって解説 した．線形演算という巨大な体系に対して，モルフォロジの体系はまだまだ発展の余地の あるものである．とくにモルフォロジカル・ウェーブレットに関しては，「多重解像度解 析に相当するものが非線形画像フィルタで行える」ということから，線形演算における周 波数をモルフォロジのサイズと結びつけるなど，さらに応用の可能性が広がっている．そ の可能性について，議論してみたい．
筆者にモルフォロジカル・ウェーブレットについてご教示くださった，筑波大学システ ム情報系・延原肇講師に，感謝いたします．
参考文献
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浅野晃、“
マセマティカルモルフォロジーの思想”
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[10]
浅野晃，浅野（村木）千恵，木森義隆，棟安実治，延原肇，藤尾光彦，非線形画像・信号処理 モルフォロジの基礎と応用，丸善，東京，
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[13]
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[14] J. Goutsias and H. J. A. M. Heijmans, “Nonlinear Multiresolution Signal Decomposi-tion Schemes
―Part I: Morphological Pyramids,” IEEE Trans. Image Procees., vol. 9, no. 11, pp. 1862–1876, Nov. 2000.
[15] H. J. A. M. Heijmans and J. Goutsias, “Nonlinear Multiresolution Signal Decomposi-tion Schemes
―Part II: Morphological Wavelets,” IEEE Trans. Image Procees., vol. 9, no. 11, pp. 1897–1913, Nov. 2000.
浅野 晃
(
関西大学総合情報学部)
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