LES LES
2. 基本的な演算
2.5 グレースケール画像の場合
ここまでの説明では，２値画像や構造要素を，画素位置を表すベクトルの集合として表 していた．これに対してグレースケール画像は，各画素に画素値が対応していることか ら，画素位置を表すベクトルの関数と考え，画素値を関数の値で表すことで定義される．
同様に，グレースケールの構造要素を考えることも可能である．
以下，グレースケール画像と２値構造要素を用いる
“function-set
演算”
，構造要素もグ レースケールとした“function-function
演算”
にわけて説明する．2.5.1 function-set
演算グレースケール画像を画素位置ベクトル
x
の関数f (x)
で表し，構造要素はこれまでと 同じく構造要素B
で表す．２値画像X
に対するエロ−ジョンとダイレーション，すな わち(2.12) X # B ˇ = !
b∈B
X
−b(2.13) X ⊕ B ˇ = "
b∈B
X
−bに対応して，関数
f (x)
の構造要素B
によるエロ−ジョンとダイレーションを，( , #
をそ れぞれinf, sup
におきかえて(2.14) f # B ˇ = inf
b∈B
f (x + b)
(2.15) f ⊕ B ˇ = sup
b∈B
f (x + b)
U [ f ( x )]
x t’
t CSt[ f ]( x )
Fig. 3.
陰影とクロスセクションと定義する．
２値画像の場合とグレースケール画像の場合との関係は，次のようなクロスセクション
(cross-section)
の考え方を用いると理解しやすい．グレースケール画像を表す関数f (x)
に対して，「しきい値
t
におけるクロスセクション」CS
t[ f ](x)
を次のように定義する*4．(2.16) CS
t[ f ](x) = { x | f (x) ≥ t } .
図
3
は，クロスセクションの考え方を視覚的に表したものである．ここで，関数f (x)
に 対して，下記のように陰影(umbra)U[ f (x)]
を定義する．(2.17) U [ f (x)] = { (x, t) | − ∞ < t ≤ f (x) } .
すなわち陰影とは，関数
f (x)
のグラフに対して，そのグラフより下の部分すべて（−∞
ま で）を含む集合である．画素位置x
が２次元である通常のグレースケール画像では，画素 値を縦軸で表すと，陰影は画素値を上面とし，−∞
まで続く立体ということになる．この ような陰影を考えると，しきい値t
におけるクロスセクションCS
t[ f ](x)
は，陰影U[ f (x)]
を縦軸の位置
t
で切断した断面ということになる．図
3
でもわかるように，クロスセクションには「縦軸の高い位置での断面は，低い位置 での断面に含まれる」という性質がある．すなわち，(2.18) t < t
)⇒ CS
t[ f ] ⊇ CS
t)[ f ]
である．さて，あるグレースケール画像
f
について式(2.14)
のエロ−ジョンを行うとする．エ ロ−ジョンの結果，ある画素位置x
での画素値がt
になるということは，原画像f
におい て，構造要素B
を位置x
に移動させたB
xの内部には，画素値t
の画素が必ず含まれ，か*4これは，「スタックフィルタ」などの非線形フィルタについていわれる「しきい値分解」と同じものであ る．
つ画素値
t
未満の画素は含まれない．したがって，この画像のクロスセクションについて 同じようにB
xの内部を考えると，しきい値t
でのクロスセクションCS
t[ f ]
はB
x の内部 すべてを含むが，t
より大きなしきい値t
) については，どのクロスセクションCS
t)[ f ]
に おいても，B
xの内部にはクロスセクションに含まれない部分があることになる．よって，各クロスセクションをおのおの２値画像と考えて式
(2.12)
のエロ−ジョンを行 うと，しきい値t
でのクロスセクションCS
t[ f ]
のエロ−ジョンCS
t[ f ] # B ˇ
は位置x
を含 むが，t
より大きなどのしきい値t
) のクロスセクションCS
t)[ f ]
についても，エロ−ジョ ンCS
t)[ f ] # B ˇ
を行うとそれらは位置x
を含まない．このことは，グレースケール画像を可能なすべてのしきい値によってクロスセクション に分解し，各クロスセクションについて式
(2.12)
の２値のエロ−ジョンを行なって，そ れらをクロスセクションとする陰影を再構成すると，それはグレースケール画像に対して 定義した式(2.14)
のエロ−ジョンと同じであることを意味している．このような式(2.12)
と式(2.14)
の関係を，「式(2.14)
がしきい値分解可能である(commute with thresholding)
」 という．この関係は，ダイレーションについても同様である．2.5.2 function-function
演算グレースケールの構造要素は，グレースケール画像と同様に関数で表す．このとき，画 像
f (x)
と構造要素をg(b)
とのエロ−ジョン・ダイレーションを，次のように定義する．(2.19) { f # g ˇ } (x) = inf
b∈w(g)
{ f (x + b) − g(b) }
(2.20) { f ⊕ g ˇ } (x) = sup
b∈w(g)
{ f (x + b) + g(b) }
ここで，
w(g)
はg
のサポートとよばれ，関数g
の画素値0
でのクロスセクションに相当 する．また，g(b) ˇ = g( − b)
である．上の定義は，先に述べた陰影を考えると，２値のエロ−ジョン・ダイレーションとの関 係が理解できる．陰影
U [ f ]
から関数f
を復元するには，関数f
が陰影U [ f ]
の上面に対 応することから，(2.21) f (x) = sup { t | (x, t) ∈ U[ f ] }
とすることになる．一方，画像と構造要素の陰影をそれぞれどうしのミンコフスキー和
U[ f ] ⊕ U [g]
を考え，それに対して式(2.21)
のように関数を復元することを考えると，(2.22) h(x) = sup { t | (x, t) ∈ U[ f ] ⊕ U [g] }
となる．ミンコフスキー和の式
(2.7)
の形の定義を用いると，上の式は(2.23) h(x) = sup { u + v | (x − b, u) ∈ U[ f ] and (b, v) ∈ U [g] }
おけるベクトルの和
b + x
に対応付けるため，U[ f ]
をb
の位置に平行移動しているから である．したがって，h(x) = sup
b∈w(g)
) sup { u | (x − b, u) ∈ U[ f ] }
+ sup { v | (b, v) ∈ U[g] } *
= sup
b∈w(g)
{ f (x − b) + g(b) } (2.24)
となるから，
h(x)
をf
とg
のミンコフスキー和と考えると，g
を画素位置について反転さ せたものが式(2.20)
のダイレーションとなる．すなわち，式(2.20)
のダイレーションの 定義は，陰影に対するミンコフスキー和を考えると，２値画像・構造要素のダイレーショ ンの拡張になっていることがわかる．一方，ダイレーションを陰影を用いて定義する場合は，「
U[ f ]
をU [g]
の内部に沿って 動かし，共通部分をとる」というミンコフスキー差を用いた定義はできない．なぜなら ば，U[g]
は画素値を表す座標の方向に−∞
まで広がっているので，U [ f ]
をそれに沿って−∞
まで動かしてゆくと，共通部分はつねに空集合になるからである．そこで，２値の場合のミンコフスキー差の，式
(2.4)
の形の定義を用い，２値のエロ−ジョンを
(2.25) X # B ˇ = { x | x + b ∈ X, b ∈ B }
と表す．これにならって，陰影のエロ−ジョン
U [ f ] # U[ˇ g]
を考え，それに対して同様に 関数を復元することを考えると，式(2.23)
の場合と同様にk(x) = sup { t | (x, t) ∈ U [ f ] # U[ˇ g] }
= sup { u | (x + b, u + v) ∈ U[ f ] and (b, v) ∈ U [ˇ g] }
(2.26)
となる．上の式は，「
u + v
がU [ f ]( x + b)
の上限に定められているとき，v
がU [ˇ g](b)
の上 限をとるならば，u
の上限はどうなるか」と述べているわけだから，それはu
の上限のう ちの下限をとることになる．すなわち，式(2.21)
のように復元すると(2.27) k(x) = inf
b∈w(g)
{ f (x + b) − g(b) }
となり，これは式(2.19)
で定義されたエロ−ジョンである．
ドキュメント内
wavelet2012proceedings
(ページ 123-126)