モデルの作成

3.5.1 データベースの作成

本研究では，3.3で開発した集計的マルコフ劣化ハザードモデルを用いて，コンクリート版の劣化予測を 試みる．マルコフ劣化ハザードモデルの推計方法に関する既存の研究^16)Ä19)は，すべて個別の部材や施設 に関する損傷度の履歴データに基づいて，マルコフ劣化ハザードモデルを構成する多段階指数ハザードモ デルのパラメータを推計する方法論が採用されている．しかしながら，多くの下水処理池の点検・補修過程 では，損傷が発生した面積に関するデータのみが利用可能な場合が少なくない．しかも，個々のコンクリー ト版は面積が異なる場合が少なくない．そこで，このような異質なコンクリートの損傷度別面積データに 基づいて，マルコフ推計確率を推計することが必要となる．いま，下水池の劣化過程に関する情報が，点 検・補修時における損傷度別補修面積データとして記録されていると考えよう．施設管理者は，複数の下水 処理池を同時に管理しており，これらの下水処理池は，面積が異なるK個のコンクリート版で構成されて いる．いま，コンクリート版k(k= 1;ÅÅÅ; K)に関して，初期時刻ñt0を含めた時刻ñtrk (rk = 0;ÅÅÅ; T^k)で点 検・補修工事が実施され，合計T^k回の工事実績データが残存しているとしよう．ここに，記号「　」は，実ñ 績値であることを意味する．点検・補修時刻ñtrkにおいては，前回の点検時刻ñtrkÄ1からの経過時間zñrkと，時 刻ñtrkにおける損傷度別面積añrk，および補修後の損傷度面積a~rkに関するデータírk=fzñrk;a(tñ rk);a(t~ rk)g が入手可能である．さらに，すべての点検履歴データの集合をÇ =fírk:rk = 0;ÅÅÅ; T^k;k= 1;ÅÅÅ; Kgと 表そう．劣化予測を行うためには，これらの過去の点検履歴情報から，マルコフ推移確率を推計すること が必要となる．

3.5.2 マルコフ劣化モデル

マルコフ推移確率は，マルコフ劣化ハザードモデルを用いて推計できる．マルコフ劣化ハザードモデル の詳細は参考文献⁸⁾に譲り，ここではモデルの概要のみを説明する．いま，説明の便宜上，再びコンクリー ト版kのあるメッシュの劣化過程に着目しよう．メッシュの添え字sの記述を省略する．コンクリート版k の損傷度i(i= 1;ÅÅÅ; MÄ1)の寿命(その損傷度が継続する時間長)を確率変数ê_i^kで表す．損傷度iの寿命 が，確率密度関数f_i^k(ê_i^k)，分布関数F_i^k(ê_i^k)に従うと仮定する．対象とするメッシュにおいて，損傷度が変 化した時刻t^k_i (i= 0;ÅÅÅ; MÄ1)を起点とする時間軸(以下，サンプル時間軸と呼ぶ)を考えよう．損傷度 iのサンプル時間軸上で，カレンダー時刻t^k_iÄ1からの経過時間をy_i^kと表記する．定義より，時刻t^k_iÄ1では y_i^k = 0となる．ここで，時刻t^k_iÄ1に損傷度がiとなり，そこから時間y^k_iが経過した時刻において損傷度が

i+ 1に変化する確率密度を指数ハザード関数

ï^k_i(y^k_i) =ï^k_i (3.23)

を用いて表現する．指数ハザード関数を用いることにより，劣化過程が過去の履歴に依存しないというマ ルコフ性を表現できる．指数ハザード関数を用いれば，損傷度iの寿命がy_i^k以上となる確率F~_i^k(y^k_i)は，

F~_i^k(y^k_i) = exp(Äï^k_iy^k_i) (3.24) と表現できる．したがって，時刻trkにおいて損傷度がiと判定され，次の検査時刻trk+1=trk+zrkにお いても損傷度がiと判定される確率は，

p^k_ii = exp(Äï^k_izrk) (3.25)

となる．ただし，zrkは2つの点検・補修時刻の間隔を表す．さらに，検査時刻trkとtrk+1の間で損傷度が iからj (> i)に推移するマルコフ推移確率p^k_ij(zrk) (i= 1;ÅÅÅ; MÄ1;j =i;ÅÅÅ; M)は，

p^k_ij(zrk) = Prob[h(trk) =jjh(trkÄ1) =i]

= Xj m=i

mÄY1 s=i

ï^k_s ï^k_sÄï^k_m

jÄY1 s=m

ï^k_s

ï^k_s+1Äï^k_mexp(Äï^k_mzrk)

(i= 1;ÅÅÅ; MÄ1;j=i+ 1;ÅÅÅ; M) (3.26) と表すことができる⁸⁾．ただし，表記上の規則として，

8<

: QmÄ1

s=i ï^k_s

ï^k_sÄï^k_m = 1 (m=iの時) QjÄ1

s=m ï^k_s

ï^k_s+1Äï^km = 1 (m=jの時) が成立すると考える．さらに，表記の便宜上，

jÄ1Y

s=i;6=m

ï^k_s

ï^k_sÄï^k_mexp(Äï^k_mzrk)

=

mÄ1Y

s=i

ï^k_s ï^k_sÄï^k_m

jÄ1Y

s=m

ï^k_s

ï^k_s+1Äï^k_mexp(Äï^j_mzrk)

と簡略化する．また，p^k_iM(ztk)に関しては，マルコフ推移確率の条件より次式で表せる．

p^k_iM(zrk) = 1Ä

MXÄ1 j=i

p^k_ij(zrk) (3.27)

(i= 1;ÅÅÅ; MÄ1)

3.8　 14.3　

6

4.2　 5 7.3　

8.8　 12.5　

4

3.8　 3 9.7　

5.3　 2 9.3　

6.3　 1 9.7　

液 相 部 気 相 部

3.8　 14.3　

6

4.2　 5 7.3　

8.8　 12.5　

4

3.8　 3 9.7　

5.3　 2 9.3　

6.3　 1 9.7　

液 相 部 気 相 部

8 .7　 11 9.0　

8 .7　 15.3　

12

6 .7　 11.7　

14

6 .7　 13 8.7　

8 .0　 10 9.7　

11 .0　 9 8.3　

10 .0　 14.0　

8

9 .3　 7 7.7　

液 相 部 気 相 部

8 .7　 11 9.0　

8 .7　 15.3　

12

6 .7　 11.7　

14

6 .7　 13 8.7　

8 .0　 10 9.7　

11 .0　 9 8.3　

10 .0　 14.0　

8

9 .3　 7 7.7　

液 相 部 気 相 部

2

1

3

5

4

a池

7

10

17 9

b池

8

11

12 15

6

2

3 4

5 6

7 8 9

10

1 1 1 2

13 1 4

2

1

3

5

4

a池

7

10

17 9

b池

8

11

12 15

6

2

3 4

5 6

7 8 9

10

1 1 1 2

13 1 4

18 .4　 10～20

873.8　 1～10

面 積[m²] 劣 化 厚[m m ]

18 .4　 10～20

873.8　 1～10

面 積[m²] 劣 化 厚[m m ]

最 初 沈 殿 池a　 劣 化 部 除 去 深 さ[m m ]

最 初 沈 殿 池b　 劣 化 部 除 去 深 さ[m m ]

工 事 内 訳 ：劣 化 部 除 去 工

図3.4　工事実績データの事例

3.5.3 モデルの推計方法

マルコフ劣化ハザードモデル(3.25),(3.26)を，点検履歴情報Çを用いて推計する方法を提案する．いま，

あるコンクリート版k(k= 1;ÅÅÅ; K)に着目しよう．コンクリート版kの劣化過程を特徴づけるハザード率 ï^k_i (i= 1;ÅÅÅ; IÄ1;k= 1;ÅÅÅ; K)は施設の特性ベクトルに依存して変化すると考え，ハザード率ï^k_iを特 性ベクトルx^kを用いて

ï^k_i =x^kå⁰_i (3.28)

と表そう．ただし，å_i= (åi;1;ÅÅÅ; åi;H)は未知パラメータåi;h(h= 1;ÅÅÅ; H)による行ベクトル，記号「⁰」 は転置操作を表す．また，x^k₁= 1より，åi;1は定数項を表す．ここで，前回の点検時刻ñtrkÄ1における損傷 度別相対頻度分布を

ô^rkÄ1=Ä

ô^r₁^kÄ1;ÅÅÅ; ô^r_M^kÄ1Å

(3.29) と表そう．ただし，ô^r_i^kÄ1(i= 1;ÅÅÅ; M)は，点検時刻ñtrkÄ1において，コンクリート版kの総面積に損傷度 iの損傷箇所の面積が占める割合を表す．時刻ñtrkÄ1と時刻ñtrk = ñtrkÄ1+ ñzrkにおいて点検・補修間隔zñrkに おける推移確率行列を

p^k(ñzrk) = 0 BB

@

p^k₁₁(ñzrk) ÅÅÅ p^k_M1(ñzrk) ... . .. ... p^k_M1(ñzrk) ÅÅÅ p^k_{M M}(ñzrk)

1 CC

A (3.30)

と表せば，時刻ñtrkÄ1で評価した時刻ñtrkにおける損傷度別相対頻度の予測値ô^r_i^kは

ô^r_i^k =ô^rkÄ1p^k(ñzrk) (3.31)

表3.1　損傷度ランクの定義 損傷度ランク 劣化過程 劣化過程の定義

1 潜伏期 中性化深さが鋼材の腐食発生限界に到達するまでの期間 2 進展期 鋼材の腐食開始から腐食ひび割れ発生までの期間 3 加速期 腐食ひび割れ発生により鋼材の腐食速度が増大する期間 4 劣化期 鋼材の腐食量の増加により耐荷力の低下が顕著な期間

と表される．式(3.31)を具体的に書けば，

ô_j^rk = Xj

i=1

ô^r_i^kÄ1p^k_ij(ñzrk) (r= 1;ÅÅÅ; I) (3.32) と表される．行和と列和の順序を入れ替えれば，相対頻度ô_j^rkに関して

XI j=1

ô_j^rk = XI j=1

Xj i=1

ô^r_i^kÄ1p^k_ij(zrk)

= XI i=1

XI j=i

ô^r_i^kÄ1p^k_ij(zrk) = XI

i=1

ô^r_i^kÄ1= 1

が成立する．ここで，時刻ñtrkにおいて観測された損傷度別頻度分布の観測値をeñ^r_j^kと表そう．この時，観測 値ベクトル

erk= (ñe^r₁^k;ÅÅÅ;ñe^r_M^k) (3.33) が生起する確率密度(尤度)Lrk(írk :å)は，多項分布

Lrk(írk) =f(ñerk)

= S^k! ñ

e^r₁^k!ÅÅÅeñ^r_M^k! YM j=1

(ô^r_j^k)^ñerkj (3.34) と表される．したがって，観測値が生起する同時生起分布は

L(Çrk) = YK k=1

T^k

Y

rk=1

f(ñerk)

/ YK k=1

T^k

Y

rk=1

YM j=1

(ô_j^rk)^ñerkj (3.35)

と表される．ただし，ô_j^rkは式(3.32)で表される．さらに，式(3.32)に含まれる推移確率p^k_ij(ñzrk)が，マル コフ劣化ハザードモデル(3.25),(3.26)を用いて表現されることに着目しよう．推移確率p^k_ij(ñzrk)が，ハザー ド率(3.28)の未知パラメータå= (å₁;ÅÅÅ;å_MÄ1)の関数であることを明示的に示すためにp^k_ij(ñzrk :å)と 表記しよう．したがって，対数尤度関数は(定数項を省略すれば)，

lnL(Ç :å) = XK k=1

T^k

X

rk=1

XM j=1

ñ e^r_j^klnô^r_j^k

= XK k=1

T^k

X

rk=1

XM j=1

ñ e^r_j^kln

(X_j

i=1

ô^r_i^kÄ1p^k_ij(ñzrk :å) )

と表される．対数尤度関数(3.36)を最大にするようなパラメータ値åの最尤推計量は

@lnL(Ç : ^å)

@åih = 0 (3.37)

(i= 1;ÅÅÅ; MÄ1;h= 1;ÅÅÅ; H)

を同時に満足するå^ =( ^å1;1;ÅÅÅ;å^i;h;ÅÅÅ;å^_MÄ1;H)として与えられる．さらに，パラメータの漸近的な共分 散行列の推計量Ü^(^å)は，

Ü^(^å) =

"

@²lnL(Ç : ^å)

@åih@åi⁰h⁰

#Ä1

(3.38) と表すことができる^20);21)．ただし，上式の右辺の逆行列は@²lnL(Ç : ^å)=@åih@åi⁰h⁰を要素とする(MÄ 1)HÇ(M Ä1)H次のFisher情報行列²¹⁾の逆行列である．パラメータの最尤推計量は，(MÄ1)H次元の 非線形連立方程式(3.37)を解くことにより得られる．本研究では，ニュートン・ラフソン法により最尤推 計量を求めることとした．最尤推計量å^を求めれば，共分散行列の推計量Ü^(^å)を用いてtÄ検定統計量を 推計できる．

3.6 適用事例

3.6.1 適用事例の概要

本研究で提案した最適点検・補修モデルの有効性を検証するために，下水処理施設のアセットマネジメ ントを分析対象としてとりあげる．下水処理施設は，処理前の下水が流入する着水井から，処理の最終段 階にあたる消毒槽までの一連の施設により構成される（図3.1）が，本研究では損傷として非硫酸系腐食の 劣化過程をモデル化するために，好気型の反応タンク，最終沈殿池のコンクリート版を具体的な対象とす る．残念ながら，現時点において下水処理池のコンクリート版の劣化過程に関するデータはほとんど蓄積 されていない．コンクリート版の補修工事実績に関するデータのみが利用可能である．本研究では，これ まで蓄積された数少ない工事実績データに基づいて，集計的マルコフ劣化ハザードモデルを推計した．工 事実績データは，図3.4に示すように，コンクリート版における補修箇所ならびに損傷の程度，補修工法 が記載されているのみである（ただし，図3.4はあくまでも工事実績データの記載事例を示したものであ り，モデル推計に用いた実績データとは異なっていることを断っておく）．現在のところ，工事実績デー タも1つの下水道処理場に関するコンクリート版に関するデータのみが入手可能である．このように本研 究で用いるデータベースは，試行的に作成したデータベースのプロトタイプとも言うべきものである．今 後，工事実績データが増加すれば，下水処理施設の劣化過程を表す本格的なデータベースを作成すること が可能である．このように，本研究では極めて限られたプロトタイプ・データベースを用いて集計的マル コフ劣化ハザードモデルを推計する．当然のことながら，本モデルの実用性を検討するためには，今後工 事実績データを蓄積して，マルコフ劣化ハザードモデルの推計精度を向上させることが必要である．

対象とした下水処理施設は，4つの汚水処理池で構成される．1つの処理池は，5つのコンクリート版で 構成されている．各コンクリート版k (k= 1;ÅÅÅ;20)に関して，初期時刻と補修時刻ñtkにおける損傷度別

表3.2　損傷度ランクと中性化深さの関係 損傷度ランク 中性化深さ

1 0～3.5cm

2 3.5～6.0cm 3 6.0～8.0cm

4 8cm以上

表3.3　マルコフ劣化ハザードモデルの推計結果 損傷度 定数項 利用目的

åi;1 åi;2

1 0.1119 -0.0835 (59.08) (-32.69) 2 0.0770 -0.0476 (17.55) (-7.24) 3 0.1006 -0.0736 (16.01) (-8.89) 注)括弧内はtÄ^{値を示している．}

の延べ面積ベクトルa~kに関する情報が入手可能である．ただし，初期時点からの経過時間はzñkと表される．

本来であれば，説明変数として，コンクリート版の構造特性，環境条件などを表現する指標を取り上げる べきである．しかし，データの入手上の制約から，好気型反応タンク(以下，タイプAと呼ぶ)，最終沈殿 池(タイプB)という処理池の利用目的を表すダミー変数のみを採用することとした．下水処理場のアセッ トマネジメントの実際を考えれば，コンクリート版が液相部にあるか，気相部にあるかといった環境条件 を採用することが望ましいが，データの制約で環境条件を説明変数として取り上げることは断念した．な お，本研究では下水処理施設の非硫酸系腐食，すなわちコンクリート版の中性化を念頭においているため，

下水処理施設の損傷度は，土木学会コンクリート標準示方書²²⁾に従って，表3.1に示す4段階(M =4)と する．また，実際の中性化に対する損傷度については，腐食状態の指標として中性化深さが採用されてい る．損傷度と中性化の関係を表3.2に示している．

3.6.2 推計結果

前節で設定したプロトタイプ・データベースに基づいて，マルコフ劣化ハザードモデルを推計した．同 データベースでは損傷度が4段階のレーティングで評価されている．したがって，損傷度4の状態を除く合 計3つのレーティングに対して，3つのマルコフ劣化ハザードモデルを定義できる．コンクリート版の構造 特性や環境条件を表す説明変数x^k = (x^k₁; x^k₂)として，x^k₁ = 1：定数項，x^k₂：処理池の利用目的という説明 変数を採用した．これより，マルコフ劣化ハザードモデルは，

í_i^k=åi;1+x^k₂åi;2 (i= 1;ÅÅÅ;3;k= 1;2) (3.39) と表される．また，x^k₂は，

x^k₂=

( 0 好気型反応タンクのとき

(3.40)

ドキュメント内 下水道施設のアセットマネジメント戦略に関する研究 堀 倫裕 (ページ 45-54)