●
●
●
●●●
●●●●●●● ●
●●●●
●● ●
●●●
●● ●
● ●●
●●
● ●●
● ●●
●
● ●●
●●●
●●
●●
●
●●
●
●
● ●
●
●
ln ( F n ) = 0.5566ln ( n ) − 6.0537
R DFA 2 = 0.9968 H ^
DFA = 0.5566
0.003 0.010 0.030 0.100 0.300
10 100 1000 10000
n F n
図
45 DFA
による日経平均株価のハースト指数の推定H ^
DFA = 0.5566 p DFA = 305
10000
0 500 1000 1500
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
H ^
DFA
Frequency
図
46
日経平均株価のスクランブルテストの結果する標本は，
δ ≥ 2 / N
ならばすべてのm
に対して少なくとも2
つ以上存在するが，δ < 2 / N
ならば標本が1
つ しかないような区間がいくつか生じる．標本が1
つしかない区間では対応する標本値の幅が0
になるため，N ˆ δ
は著しく低下する．そして，この2 / N = 2 / 19152
は約10 − 4
であり，図47
におけるこの付近でのN ˆ δ
の振る舞 いはこのことを表している．一方で，回帰分析の対象範囲を示す青色の領域内においては明確に冪乗則がみら れる．ここから推定された次元は1 . 4004
であり，決定係数は十分大きい．図31
でみたように，ボックスカウ ント法ではハースト指数が小さいとき正しく推定できなかったが，上述の推定結果からハースト指数は1 / 2
よ りも大きいと考えられるため，幸いにもこのことは大きな問題とならない．しかし，H > 1 / 2
であっても推定 値に若干の偏りが生じていた．それを考慮しても，1 . 4004
という推定値はハースト指数やα
の推定値から推測 される次元よりもやや大きい．もしグラフの次元が1 . 40
程度かそれよりもやや大きく，ハースト指数がDFA
で推定されたように0 . 55
程度であるならば，α
は1 . 8
以上でなければならない．図
48
には樋口法によるグラフの次元の推定結果を示した．決定係数は表示上1
であり極めて高い．推定値 は1 . 4437
でありボックスカウント法による推定値よりもやや大きいが，図34
でみたように，樋口法では推 定値を過大評価する方向に一定の偏りが生じていた．したがって，実際のグラフの次元は1 . 4004
から1 . 4437
の間程度であると考えられる．α
は少なくとも1
よりは大きいと考えられるため，この結果はスケーリング 指数が0 . 5563
から0 . 5996
程度であることを意味する．このスケーリング指数の下限はDFA
によるハースト 指数の推定値に非常に近いため，その結果から判断すればα = 2
として差し支えないといえる．しかし，ス ケーリング指数の上限0 . 5996
と，最もハースト指数の推定値が低かったパワースペクトル密度に基づく推定 値0 . 5153
を用いれば，そこから計算されるα
は1 / (0 . 5996 − 0 . 5153 + 1 / 2) = 1 . 7115
となる．いずれにしても 実際のα
の推定値よりは明らかに大きい．観測された系列
{ X t }
の増分が実際にそのようなスケーリング指数をもっているのかを，Kullback-Leibler
情報量を用いて調べた．もしスケーリング指数がs
ならば自然数n
に対してn − s (X t + n − X t )
が従う分布に 対するX t + 1 − X t
が従う分布のKullback-Leibler
情報量は0
になるはずである．もちろん観測されたデータ から推定する以上，その推定値は必ずしも0
にならないが，同じデータに対してs
を0
から1
に動かしながら
Kullback-Leibler
情報量を計算していったとき，s
がスケーリング指数に一致する点の付近でその値が最小になることが期待される．
Kullback-Leibler
情報量は式(61)
から得られるが，ここで確率密度関数p (x) , q (x)
は図41
と同様に度数分布を用いて推定した．そのとき，度数分布の階級は次のように定めた．ま ず，m 1 = max { min { X t + 1 − X t } , min { n − s (X t + n − X t ) }} , m 2 = min { max { X t + 1 − X t } , max { n − s (X t + n − X t ) }}
として，(m 1 , m 2 ]
に属する{ n − s (X t + n − X t ) }
の標本数と(m 1 , m 2 ]
に属する{ X t + 1 − X t }
の標本数のうち小さい方をN ˜
とす る．そして，区間(m 1 , m 2 ]
をj √
N ˜ k
個の区間に分割したものと，その外側の区間
( −∞, m 1 ] , (m 2 , ∞ )
をここで 用いる度数分布の階級とする．ただし，図41
のときと同様に，{ n − s (X t + n − X t ) }
が存在しない階級については 右ないしは左の階級と結合して評価するものとする．また，一般には必ずしもm 1 < m 2
とはならないが，いま{ X t }
の増分の平均を0
としているから，{ X t }
の間隔n
の増分の平均もまた0
であり，{ n − s (X t + n − X t ) }
には符号 の異なるデータが常に存在するはずであるから，常にm 1 < m 2
となる．様々なn
とs
に対して，そのような手 順で計算したKullback-Leibler
情報量を図49
に示した．s
は0 . 25
から0 . 75
の範囲を0 . 0001
刻みで選んでい る．色のついた垂線は各n
に対してKullback-Leibler
情報量が最小になるs
を示す．なお，そのようなs
は必 ずしも一意ではないが，結果的には各n
に対して1
つだけしか存在しなかった．そして，そのn
とs
の関係を 表6
に示した．n
に応じて若干の違いがあるが，おおむねs = 0 . 53
からs = 0 . 57
でKullback-Leibler
情報量が 最小になっており，そのs
に近づくにつれてKullback-Leibler
情報量が明確に減少していることが図49
から 観察できる．スケーリング指数が0 . 53
から0 . 57
程度であることは，グラフの次元が1 . 43
から1 . 47
程度であ ることを示し，ボックスカウント法や樋口法による推定値と同程度かやや大きな推定値を与えている．このわ ずかな相違の原因には次のような点を挙げることができる．もし元の系列がH > 1 / 2
の非整数ブラウン運動 に従うならばスケーリング指数はH
であるが，式(59)
のように，通常の分散の不変推定量による推定値は過 小評価となる．したがって，観測された間隔n
の増分の分布は間隔1
の増分の分布のn H
倍よりも若干小さな スケールの分布に従う．つまり，平均的には，本来のスケーリング指数H
よりも少しだけ小さなs
においてKullback-Leibler
情報量が最小化されると考えられる．とくにn
が大きくなるほど真の分散と分散の推定値の 期待値との乖離が広がるため，この影響は大きなn
に対して顕著である．また，このことは非整数ブラウン運 動だけでなく，非整数安定過程の場合でも同様である．●
●●
●●
●●●
●●
●●
●●
●●
●
●●●
●●
●●
●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●
●●
●●
●●
●●
●
●
●●
●●
●●
●
● ●
● ●
●
● ●●
● ●
●
●
● ●
●
●●
●
● ●
●● ●
●● ●
●
●●
● ●
● ●●
● ●●
●
●
●
●● ●
● ●
●●
●●
●●
●
●●
●
●●
●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●
●●
●●
●
● ● ● ●
●
●
●●
● ● ● ●
●
●
● ● ● ●●
●
●
●● ● ●
●
●
●
●
●
●
●
●●
ln ( N ^ δ ) = −1.4004ln ( δ ) + 1.3565 R BC 2 = 0.9998
dim ^
BC = 1.4004 1e+02
1e+04 1e+06
1e−04 1e−03 1e−02 1e−01 1e+00
δ
N ^ δ
図
47
ボックスカウント法による日経平均株価のグラフの次元の推定●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●●
●
●
●●●
●
●●
●
●●●
●●
●●●●●●
●●●
●●●
●●
●●
●
●●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
ln ( L n ) = −1.4437ln ( n ) + 4.9835
R H 2 = 1.0000 dim ^
H = 1.4437 1e−02
1e+00 1e+02
1 10 100 1000 10000
n L n
図
48
樋口法による日経平均株価のグラフの次元の推定0.003 0.010 0.030 0.100 0.300
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
s D K L ({ X t+ 1 − X t } , { n − s ( X t+ n − X t )} )
n 2 3 4 6 7 8 9 12 14 16 18 19
図
49
日経平均株価の対数増分のKullback-Leibler
情報量表
6: Kullback-Leibler
情報量を最小化するスケーリング指数s
n
標本数min { D KL } s
2 9576 0 . 003567 0 . 5764
3 6384 0 . 006365 0 . 5684
4 4788 0 . 012297 0 . 5529
6 3192 0 . 011586 0 . 5475
7 2736 0 . 010211 0 . 5478
8 2394 0 . 017456 0 . 5364
9 2128 0 . 015801 0 . 5361
12 1596 0 . 017691 0 . 5462
14 1368 0 . 015545 0 . 5365
16 1197 0 . 023291 0 . 5300
18 1064 0 . 019060 0 . 5474
19 1008 0 . 026124 0 . 5455
ドキュメント内
自己相似過程と対数株価の自己相似性について
(ページ 107-110)