ファジ-ハフ変換

となる.これはすでに提案されているファジーハフ変換の式のひとつに 一致する[32].ファジーハフ変換のメンバーシツプ関数e-D(d;

^，p)j

kは従来 経験的に設定されていたが，ここでの導出によりひとつの理論的な根拠 が与えられたことになる.すなわち (3.10)式はファジーハフ変換の原型 となる式であり，ファジーハフ変換の理論的基礎だけでなく3 より一般 的な状況やアルゴリズムを扱うときの基本式となる. そのような応用の 一例として，テンプレートが直線や円といった簡単なものでなく高次の 関数で表される場合のように， データ点とテンプレートとの距離が解析 的には表せないような場合に対する近似解法を導く.テンプレートの式 が f(e，p)

⁼

0であるとする. eは空間座標であり， pはパラメータであ る.例えば2次元空間内の直線のときにはe = (ex， ey)， p

⁼

(α ，b ， c)とし て f(e，p) =αex + bey + cである.このときテンプレートマッチングは

(3.10)式の一般形として

min L Xi Ildi -eil12十k L Xi (ln Xi - 1)

2=1

i=l

su b

j .

to

f ( ei， p)

⁼

0 (i二1，. . . ，m)

o � Xi � 1

(3.17)

と表せる.ただしαはOとした. (3.18)式で最適化すべき変数はei，Xiお よびpである. (3.18)式から直ちに分かるように引の最適解はdiに最も 近いテンプレート上の点となる. (3.18)式の解はラグランジュ関数

L = L Xi Ildi -eil12 + k L Xi(Inxi - 1)

i=l i

^{= l}

+玄入if(ei， p)

の鞍点，すなわち

�:::- θL

⁼

^{11 di -ei} 112 + k ln X i = 0

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θL θ f

θei ニ 2Xi(ei-di)+入t瓦(ω)

= 0

θL

=

d (ei，p)ニO θ入Z

θL ，:!!:. θ f

石 = z ^入 z 石 ( 日)

⁼

0

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

の解である. この4つの式を連立させて解けば解が得られるが3 変数の 数が多いのでp以外の変数を消去しよう. そのために(3.21)式を

2Xi(ei - di) +入i θf � �

_tノei

^{(di， p)}

⁼

^{0 (3.23)}

と近似する. 次に(3.22)式をテーラー展開すると

f ( di ， p) + (ei - di)瓦(di，p) Tθf

⁼

0 (3.24)

となる. (3.23)式にθf/θei(di， p)をかけると

Tθf

^{( 1 \ ， '}

11 _θf

1 1

J2

2

勾仇川Z仇刈tパ (仇十e向十i 一イdi )l

否瓦2ζ;

(仙ι仰州，p訓pω)+刊入

叶

^Z

となる. (3.24)式と(3.25)式とから入Zが 入-

^-

2

zJ(

d

h P L

11去 ^(di，p) 11 � ^(3.26)

と得られる. (3.26)式を(3.23)式に代入してei - di を求めて， そのノル ムをとると

f2 (di， p) Ilei - di 112

=

11先 ^(di，p) 112

となる. 次に(3.20)式から

一Ilei -di112

Xi

⁼

e

^k

(3.27)

(3.28)

となり， これに(3.27)式を代入したものを(3.26)式に代入し3 更にその (3.26)式を(3.22)式に代入すると(3.22)式は

子

^f(仰)

気

^(di，

_�

^P)_p ^k

11かp)1 12二 0

� 11去

^(仰)

II�

^{- �}

となりpだけに関する式となる. これの解は勾配法

dp θL

dt θp

(3.29)

(3.30)

で求まる(θL/θpは(3.29)式の左辺である)

.

ここでtは反復の回数を表 すパラメータである. すなわち

pの適当な初期値から出発して(3.30)式

の軌道が収束した値として1つの解が得られる. このとき解は一般に複 数個あるから初期値に最も近い解に収束する.

例題として図3.1のような点パターンから放物線

f(e，p) =αex

⁺

be;

+

ey

+ c二O

(3.31)

を抽出してみた. いろいろな初期値から出発して(3.30)式をシミュレー シヨンしてみたところ， どのような初期値から出発しでも図3.2 に示す2 つの放物線のどちらかに収束した. kの値は0.1とした. kの値は適当な 範囲内になければならない. 小さすぎると局所最適解につかまり， 図3.3 のように正解に行かず， 逆に大きすぎるとノイズデータの影響を受ける ようになり， やはり図3.4 のように正解からずれる.

3.4 むすび

ハフ変換を混合整数計画問題によって定式化した. この定式化は， 各 データ点、がテンプレートに属す割合を表す局所的な変数Xiとテンプレー トの大局的な布置を表すパラメータpとの互いの相互作用を記述してい る. すなわちpが与えられればおは各データ点で個別に計算され， Xiが すべて与えられればその累積によってpが決まる. このようなXiとpの 逐次更新による解法はEMアルゴリズム[39]の一種であり， ハフ変換と 統計論との接点、ともなる. また， 最適化問題の目的関数にエントロビー に似た関数を付け加えることによりファジーハフ変換が得られることも 示した. この付加関数の係数kを固定したものがファジーハフ変換であ るが， 適当に大きな値からkを徐々に減少させながら解を追跡すればハ フ変換の大域最適解を得ることができる. これはニューラルネットによ る最適化で用いられる決定論的アニーリング[40]と同じ手法であり， 非 凸な最適化問題であるハフ変換の大域近似解法となる. ここで導出した ファジーハフ変換の勾配解法は， テンプレートのパラメータ数が多い場 合に全空間探索のハフ変換に代わる解法として， あるし1はまず最初に粗 い分割のハフ変換で近似値を求めた後3 本勾配法で精度を高めるといっ た使用法などが考えられる.

次の4章では， ファイジイハフ変換に基づく関数回帰法を提案して， 画 像の平滑化3 データの削減， 領域分割3 ステレオ視等に応用する.

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図3.1:データ例

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図3.2:適切なk(k

⁼

0.1)の値での結果

3

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図3.3:不適切なk(k ⁼ 0.001)の値での結果

3

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2

図3.4:不適切なk(k二10.0)の値での結果

3

第4章 ファジ-ハフ変換による

ドキュメント内 ファジーハフ変換によるロバスト画像処理 (ページ 47-55)