ディラック場の量子化

より

i ∂

∂t∆F(x−x⁰) =δ(t−t⁰)h0|[φ(t,x), φ(t,x⁰) ]|0i+h0|T( ˙φ(x)φ(x⁰))|0i (7.4)から第1項は0 になる。更に微分すると

i ∂²

∂t²∆_F(x−x⁰) =δ(t−t⁰)h0|[ ˙φ(t,x), φ(t,x⁰) ]|0i+h0|T( ¨φ(x)φ(x⁰))|0i

=−iδ(t−t⁰)δ(x−x⁰) +h0|T( ¨φ(x)φ(x⁰))|0i である。したがって

(

2

^{+m20)∆F(x−x0) =−δ4(x−x0)−ih0|T((}

2

^{+m20)φ(x)φ(x0))|0i}

=−δ⁴(x−x⁰) (7.14)

になる。∆F(x−x⁰)はクライン・ゴルドン方程式のグリーン関数である。あるいは(7.13)を使えば (

2

^{+m20)∆F(x−x0) =∫} _(2π)^d4q4_q^2m₋²⁰_m⁻²₀^q₊²_iε^{e−iq·(x−x0)}

一般に 1

x+iε = P1

x−iπδ(x), xP1

x = 1, x δ(x) = 0 であるから

(

2

^{+m20)∆F(x−x0) =−∫} _(2π)^{d4q4e−iq·(x−x0)=−δ4(x−x0)}

これの複素共役をとれば

γ⁰ (

i/∂−m )

ψ(x) = 0

になり,やはりディラック方程式を得る。ψαに対する共役運動量は pα= ∂L

∂ψ˙_α =i( ψγ0

)

α=iψ^†_α であるから,量子化条件は

{ψ_α^†(t,x), ψ_β(t,x⁰)}=δ_αβδ(x−x⁰), {ψ_α(t,x), ψ_β(t,x⁰)}= 0 (7.15) である。本来ψ(x)は量子力学の波動関数であり数値である。これを古典力学的な場と考え,再度量 子化して演算子に置き換えた。このため, 場の量子化を第2量子化( second quantization )ともい う。場を量子化することにより,ディラック海の効果や粒子の生成・消滅を含む過程を首尾一貫した 方法で扱える。

クライン・ゴルドンの場合と同様に,ψ(x)をディラック方程式の解で展開する。波束のところで 扱ったように

ψ(x) =∑

s

∫ d³p (2π)^3/2

√m E_p

(

a(p, s)u(p, s)e^−ip·x+c(p, s)v(p, s)e^ip·x )

とできる。ただし p⁰ =E_p =√

p²+m² であり, 係数 a(p, s), c(p, s)は演算子である。元々 ψ(x) は複素数であるから量子化したψ(x)はエルミート演算子ではない。(4.31), (4.32)より

a(p, s) =

√m E_p

∫ d³x

(2π)^3/2e^ip·xu^†(p, s)ψ(x) c(p, s) =

√m Ep

∫ d³x

(2π)^3/2e^−ip·xv^†(p, s)ψ(x)

であるから, (7.15)の反交換関係をa,a^†,c,c^† の反交換関係に書き直せる。t=t⁰ とすると {a(p, s), a^†(p⁰, s⁰)}

= m

√EpEp0

∫ d³x d³x⁰

(2π)³ e^{−ip·x+ip0·x0}e^i(p0−p00)t

∑

αβ

u^†_α(p, s)u_β(p⁰, s⁰) {

ψ_α(t,x), ψ^†_β(t,x⁰) }

= m

√EpEp⁰

u^†(p, s)u(p⁰, s⁰)e^i(p0−p00)t

∫ d³x

(2π)³e^{−i(p−p0)·x}

= m Ep

u^†(p, s)u(p, s⁰)δ(p−p⁰) (4.13)より

{a(p, s), a^†(p⁰, s⁰)}

=δ_ss0δ(p−p⁰) である。同様にして

{c(p, s), c^†(p⁰, s⁰)}

=δ_ss0δ(p−p⁰) 他の反交換関係は全て0 ,例えば

{a^†(p, s), a^†(p⁰, s⁰)}

= 0 になる。特に,(

a^†(p, s))2

= 0であるから, 1つの状態を2粒子が占めることはできない。反交換関 係を設定するとパウリの排他律を自動的に満たす。

ハミルトニアン密度Hは

H=pψ˙− L=iψ^†∂⁰ψ−ψ^†γ⁰ (

iγ⁰∂⁰+iγ·∇−m )

ψ=ψ

(−iγ·∇+m )

ψ であるからハミルトニアンH は

H =

∫

d³x ψ(x)

(−iγ·∇+m )

ψ(x) =

∫

d³x ψ^†(x)

(−iα·∇+mγ⁰ )

ψ(x)

場を量子化する前のハミルトニアン−iα·∇+mγ⁰ の期待値において,波動関数を量子化した場で 置き換えたことになる。H をa,cで表すと

(−iγ·∇+m )

ψ(x) =∑

s

∫ d³p (2π)^3/2

√m Ep

(

a(p, s)e^−ip·x(γ·p+m)u(p, s) +c(p, s)e^ip·x(−γ·p+m)v(p, s)

)

(4.10)より

(γ·p+m)u(p, s) =Epγ⁰u(p, s), (−γ·p+m)v(p, s) =−Epγ⁰v(p, s) であるから

(−iγ·∇+m )

ψ(x) =∑

s

∫ d³p (2π)^3/2

√mE_pγ⁰ (

a(p, s)e^−ip·xu(p, s)−c(p, s)e^ip·xv(p, s) )

したがって H =m∑

ss⁰

∫

d³p d³p⁰

√ Ep

E_p0

∫ d³x (2π)³

(

a^†(p⁰, s⁰)u^†(p⁰, s⁰)e^ip0·x+c^†(p⁰, s⁰)v^†(p⁰, s⁰)e^−ip0·x ) (

a(p, s)u(p, s)e^−ip·x−c(p, s)v(p, s)e^ip·x )

=m∑

ss⁰

∫ d³p

(

u^†(p, s⁰)u(p, s)a^†(p, s⁰)a(p, s) +v^†(−p, s⁰)u(p, s)c^†(−p, s⁰)a(p, s)e^−2ip0t

−u^†(−p, s⁰)v(p, s)a^†(−p, s⁰)c(p, s)e^2ip0t−v^†(p, s⁰)v(p, s)c^†(p, s⁰)c(p, s) )

u,vの直交性(4.13)より H =∑

s

∫ d³p Ep

(

a^†(p, s)a(p, s)−c^†(p, s)c(p, s) )

(7.16) になる。

ここで真空|0iを

a(p, s)|0i= 0, c(p, s)|0i= 0 で定義すると

a^†(p⁰, s⁰)a(p⁰, s⁰)a^†(p, s) =a^†(p⁰, s⁰) (

δss⁰δ(p⁰−p)−a^†(p, s)a(p⁰, s⁰) )

であるから

Ha^†(p, s)|0i=Epa^†(p, s)|0i 同様にして

Hc^†(p, s)|0i=−Epc^†(p, s)|0i

になる。a^†,c^† を粒子の生成演算子と解釈すると,a^† は正エネルギーE_p の状態の粒子を生成する が,c^† は負ネルギー−Ep の状態に粒子を生成する。これは真空 |0iよりもエネルギーが低い。本 来, 真空は最低エネルギー状態であるべきである。空孔理論では真空は負エネルギー状態が全て占 有された状態である。これを生成・消滅演算子で表せば, 真空ではパウリの排他律のため負エネル ギー状態に粒子を生成することはできないから

c^†(p, s)|0i= 0

である。また, 負エネルギー状態の粒子が消滅すると空孔ができ, これを反粒子と解釈した。つま り, c(p, s)|0iは反粒子の状態である。そこで

b^†(p, s) =c(p, s) とし,真空を

a(p, s)|0i= 0, b(p, s)|0i= 0 (7.17) で定義する。a(p, s)が粒子の消滅演算子, b(p, s)が反粒子の消滅演算子である。場ψ(x)は

ψ(x) =∑

s

∫ d³p (2π)^3/2

√m Ep

(

a(p, s)u(p, s)e^−ip·x+b^†(p, s)v(p, s)e^ip·x )

(7.18) と展開され,反交換関係は

{a(p, s), a^†(p⁰, s⁰)}

={

b(p, s), b^†(p⁰, s⁰)}

=δ_ss0δ(p−p⁰), 他の反交換関係= 0 (7.19) である。ハミルトニアンは(7.16)で c→b^†, c^†→bの置き換えをすれば

H =∑

s

∫ d³p Ep

(

a^†(p, s)a(p, s)−b(p, s)b^†(p, s) )

=∑

s

∫ d³p Ep

(

a^†(p, s)a(p, s) +b^†(p, s)b(p, s) )

+h0|H|0i ただし

h0|H|0i=∑

s

∫

d³p Epδ(p−p) は真空のエネルギーである。

Ha^†(p, s)|0i= (

E_p+h0|H|0i)

a^†(p, s)|0i, Hb^†(p, s)|0i= (

E_p+h0|H|0i)

b^†(p, s)|0i であり,a^† は正エネルギーの粒子を,b^† は正エネルギーの反粒子を生成する。H の最低の固有値は h0|H|0iになり, 負エネルギー状態は出現しない。h0|H|0i は発散するが, 物理的には真空から のずれが問題であるから, h0|H|0iをエネルギーの基準にとれば

H =∑

s

∫ d³p Ep

(

a^†(p, s)a(p, s) +b^†(p, s)b(p, s) )

である。

次に,電荷について考えてみる。

∂^µjµ= 0, jµ(x) =ψ(x)γµψ(x)

は確率密度保存を表したが, 場を量子化した場合,これは電荷保存を表す。したがって, 全電荷の演 算子Qは粒子の電荷をqとすると

Q=q

∫

d³x ψ(x)γ0ψ(x)

である。これをa,bで表すと Q=q∑

ss⁰

∫

d³p d³p⁰ m

√E_pE_p0

∫ d³x (2π)³

(

a^†(p, s)u^†(p, s)e^ip·x+b(p, s)v^†(p, s)e^−ip·x ) (

a(p⁰, s⁰)u(p⁰, s⁰)e^−ip0·x+b^†(p⁰, s⁰)v(p⁰, s⁰)e^ip0·x )

=q∑

s

∫ d³p

(

a^†(p, s)a(p, s) +b(p, s)b^†(p, s) )

=q∑

s

∫ d³p

(

a^†(p, s)a(p, s)−b^†(p, s)b(p, s) )

+h0|Q|0i ただし

h0|Q|0i=q∑

s

∫

d³p δ(p−p) は真空の全電荷である。H の場合と同様にこれを無視すると

Q=q∑

s

∫ d³p

(

a^†(p, s)a(p, s)−b^†(p, s)b(p, s) )

これから

Q a^†(p, s)|0i=q a^†(p, s)|0i, Q b^†(p, s)|0i=−q b^†(p, s)|0i 反粒子の電荷は−q である。

(7.17)∼(7.19)により負のエネルギー解に伴う問題は解決し,また,空孔理論のような技巧的解釈

は必要なくなる。

プロパゲータ

ディラック場ψ(x)の場合,時間順序積を T(

ψ_α(x)ψ_β(x⁰))

≡θ(t−t⁰)ψ_α(x)ψ_β(x⁰)−θ(t⁰−t)ψ_β(x⁰)ψ_α(x) (7.20) で定義する。ディラック場を入れ替えるときは符号を変える。4×4行列SFを

i (

S_F(x−x⁰) )

αβ≡ h0|T(

ψ_α(x)ψ_β(x⁰))

|0i で定義する。(7.17)と(7.18)より

i (

S_F(x−x⁰) )

αβ

=∑

ss⁰

∫ d³p d³p⁰ (2π)³

√ m EpEp⁰

(

θ(t−t⁰)h0|a(p, s)a^†(p⁰, s⁰)|0iuα(p, s)uβ(p⁰, s⁰)e^{−ip·x+ip0·x0}

−θ(t⁰−t)h0|b(p⁰, s⁰)b^†(p, s)|0ivα(p, s)vβ(p⁰, s⁰)e^{ip·x−ip0·x0} )

t⁰ < t の場合,t⁰ で粒子が生成し t で消滅する。逆に,t < t⁰ のときは, tで反粒子が生成し t⁰ で消 滅する。反交換関係を使うと

h0|a(p, s)a^†(p⁰, s⁰)|0i=h0|(

δss⁰δ(p−p⁰)−a^†(p⁰, s⁰)a(p, s)

)|0i=δss⁰δ(p−p⁰)

であるから i

(

S_F(x−x⁰) )

αβ

=∑

s

∫ d³p (2π)³

m E_p

(

θ(t−t⁰)u_α(p, s)u_β(p, s)e^{−ip·(x−x0)}

−θ(t⁰−t)vα(p, s)vβ(p, s)e^ip·(x−x0) )

=

∫ d³p (2π)³

m E_p

(

θ(t−t⁰)Λ+(p)e^ip·(x−x0)+θ(t⁰−t)Λ₋(p)e^ip·(x−x0) )

αβ

ここでΛ_±(p)は(4.15)で定義した射影演算子である。(4.16), (4.18)を代入すると S_F(x) =−i

∫ d³p (2π)³

(/p+m 2Ep

θ(t)e^−ip·x−/p−m 2Ep

θ(−t)e^ip·x )

になる。ステップ関数を積分表示(7.12)で置き換えると SF(x) =−

∫ d³p dk (2π)⁴

(Epγ⁰−p·γ+m 2Ep

exp (−i(Ep−k)t+ip·x) k−iε

−E_pγ⁰−p·γ−m 2Ep

exp (i(E_p−k)t−ip·x) k−iε

)

∆_F の場合と同様に変数変換すると S_F(x) =−

∫ d⁴q (2π)⁴

1 2Eq

(E_qγ⁰−q·γ+m

Eq−q⁰−iε −E_qγ⁰+q·γ−m Eq+q⁰−iε

) e^−iq·x

=−

∫ d⁴q (2π)⁴

q⁰γ⁰−q·γ+m

(E_q−q⁰−iε) (E_q+q⁰−iε)e^−iq·x

=

∫ d⁴q

(2π)⁴SF(q)e^−iq·x, SF(q) = /q+m

q²−m²+iε (7.21)

になる。

• z を複素数とするとき(/q+z)(/q−z) =q²−z² であるから /

q+z

q²−z² = 1 / q−z

ここで右辺は4×4行列/q−z の逆行列である。z=m−iεとすれば S_F(q) = /q+m

q²−m²+iε = 1 /

q−m+iε (7.22)

とも表せる。

• e^−iq·x をx^µ で微分するとi ∂µe^−iq·x=qµe^−iq·xであるから S_F(x) =

∫ d⁴q (2π)⁴

i/∂+m

q²−m²+iεe^−iq·x= (i/∂+m)

∫ d⁴q (2π)⁴

e^−iq·x

q²−m²+iε = (i/∂+m)∆_F(x) ところで

(i/∂−m) (i/∂+m) =−∂/∂/−m²=−

2

^−m2

これと(7.14)より

(i/∂−m)SF(x) =−(

2

^{+m2)∆F(x) =δ4(x−x0)}

になる。SF(x)はディラック方程式(i/∂−m)ψ= 0のグリーン関数である。

8 摂動論

8.1 相互作用表示と S 行列

ハミルトニアンH が自由な部分H0と相互作用V からなるとする。時刻tでの系の状態を|tiS

とすると

i∂

∂t|tiS=H|tiS, H=H0+V である。|tiSはシュレディンガー表示での状態である。ここで

|tiI ≡e^iH0t|tiS, VI(t) =e^iH0tV e^−iH0t とすると

i∂

∂t|tiI=e^iH0t (

−H₀+i∂

∂t )

|tiS=e^iH0tV|tiS=e^iH0tV e^−iH0t|tiI=V_I(t)|tiI (8.1) になる。|tiI を相互作用表示での状態という。シュレディンガー表示では, 演算子は時間に依存せ ず状態が全ての時間依存性を担う。一方, 相互作用表示では, 演算子と状態の両方が時間に依存し, 演算子はH0 により,状態は相互作用VI により時間的に変化する。

V は幾つかの場 ϕ_i の積を空間積分したものである。シュレディンガー表示では ϕ_i は時間に依 存しないからϕi(x)と書けば

V =V[ϕ_i(x)]

であるが,このとき

VI(t) =V[ϕi(t,x)], ϕi(t,x) =e^iH0tϕi(x)e^−iH0t (8.2) になる。

i∂

∂tϕ_i(t,x) =−H₀e^iH0tϕ_i(x)e^−iH0t+e^iH0tϕ_i(x)e^−iH0tH₀= [ϕ_i(t,x), H₀] (8.3) である。これはハミルトニアンが H0 で与えられるときのハイゼンベルグ運動方程式であるから, ϕi(t,x)は自由場の演算子である。V[ϕi] は相互作用のラクランジアン密度Lint で表すと

V[ϕ_i] =−

∫

d³xLint

である。Lint としては g

4!φ⁴(x), g ψ(x)ψ(x)φ(x), g ψ(x)γ^µψ(x)Aµ(x)

などが考えられる。ここでφは中性スカラー場,ψはディラック場,Aµ は電磁場である。

(8.1)の解を

|tiI=U(t, t₀)|t₀iI

とすると(8.1)は

∂

∂tU(t, t₀) =−i V_I(t)U(t, t₀) (8.4) になる。|tiS=e^{−iH(t−t0)}|t0iSより

|tiI=e^iH0te^{−iH(t−t0)}|t0iS=e^iH0te^{−iH(t−t0)}e^−iH0t0|t0iI

であるから

U(t, t0) =e^iH0te^{−iH(t−t0)}e^−iH0t0 (8.5)

になる。U(t, t₀)の別表現を求める。(8.4)を積分すると(U(t₀, t₀) = 1 ) U(t, t0) = 1 + (−i)

∫ t t₀

dt1VI(t1)U(t1, t0)

= 1 + (−i)

∫ t t₀

dt1VI(t1) (

1 + (−i)

∫ t₁ t₀

dt2VI(t2)U(t2, t0) )

= 1 + (−i)

∫ t t0

dt1VI(t1) + (−i)²

∫ t t0

dt1

∫ t₁ t0

dt2VI(t1)VI(t2)U(t2, t0) この操作を無限に繰り返すと

U(t, t₀) = 1 + (−i)

∫ t t₀

dt₁V_I(t₁) + (−i)²

∫ t t₀

dt₁

∫ t₁ t₀

dt₂V_I(t₁)V_I(t₂) + (−i)³

∫ t t₀

dt1

∫ t₁ t₀

dt2

∫ t₂ t₀

dt3VI(t1)VI(t2)VI(t3) +· · ·

= 1 + (−i)

∫ t t0

dt1VI(t1) + (−i)²

∫ t t0

dt1

∫ t t0

dt2θ(t1−t2)VI(t1)VI(t2) + (−i)³

∫ t t0

dt1

∫ t t0

dt2

∫ t t0

dt3θ(t1−t2)θ(t2−t3)VI(t1)VI(t2)VI(t3) +· · · (8.6) 時間順序積Tを

T (

V_I(t₁)V_I(t₂) )

=θ(t₁−t₂)V_I(t₁)V_I(t₂) +θ(t₂−t₁)V_I(t₂)V_I(t₁) T

(

VI(t1)VI(t2)VI(t3) )

=

∑3 i,j,k=1

i6=j6=k

θ(ti−tj)θ(tj−tk)VI(ti)VI(tj)VI(tk)

で定義する(n個の積の場合も同様)。ϕがディラック場のとき,入れ替えで符号を変える必要があ るが,VI には必ずϕとϕのペアで入るから, VI の入れ替えでは符号は変わらない。(8.6)を時間順 序積で表すと

U(t, t0) = 1 + (−i)

∫ t t₀

dt1VI(t1) +(−i)² 2!

∫ t t₀

dt1

∫ t t₀

dt2T (

VI(t1)VI(t2) )

+(−i)³ 3!

∫ t t0

dt1

∫ t t0

dt2

∫ t t0

dt3T (

VI(t1)VI(t2)VI(t3) )

+· · ·

=

∑∞ n=0

(−i)ⁿ n!

∫ t t₀

dt1· · ·

∫ t t₀

dtnT (

VI(t1)· · ·VI(tn) )

= T exp (

−i

∫ t t₀

dt⁰VI(t⁰) )

になる。

S行列

素粒子の反応を考える場合,t → −∞ での初期状態|iiと t → ∞での終状態|fiでは,素粒子は マクロな距離だけ離れているから相互作用は無視でき,自由な状態にある。そこで,相互作用が

V_I(t)e^−ε|t|, ε→+ 0

であると考える。t が有限のときは e^−ε|t|= 1 であり何の変更もないが, t → ± ∞ では e^−ε|t| = 0 になり相互作用はなくなる。e^−ε|t|を断熱因子という。以下では,必要な場合以外は断熱因子を明示 しないが,相互作用にはこの因子があるものとする。

H0|ii=Ei|ii, H0|fi=Ef|fi

とする。反応の前後でエネルギーは保存するからE_i=E_f である。

|tiS=e^−iH0t|tiI=e^−iH0tU(t, t0)|t0iI=e^−iH0tU(t, t0)e^iH0t0|t0iS

より,t0→ − ∞で|iiであるときt0→ ∞で|fiになる確率は

hf|e^−iH0tU(∞,−∞)e^iH0t0|ii=e^{−iE0(t−t0)}hf|U(∞,−∞)|ii であるから

|hf|S|ii|² で与えられる。ただし

S=U(∞,−∞) = T exp (

−i

∫ _∞

−∞

dt VI(t) )

である。S をDysonのS行列という。VI を相互作用のラグラジアン密度Lint で表すと S= T exp

( i

∫

d⁴xLint(x) )

(8.7) になる。Lint は ϕi(x)の関数であるが, (8.3)で示したようにϕi(x)は自由場の演算子である。

グリーン関数

自由なクライン・ゴルドン場とディラック場の場合,グリーン関数∆F,SFを求めた。ここでは,相 互作用がある場合のグリーン関数について考える。

H の基底状態(真空)を太文字で表して|0iとする。これはH0 の真空|0iとは異なる。また,

(8.3)を満たす自由な場ϕ(x)に対応して, 時間発展がH で記述される場を大文字で表してΦとす

る。つまり

i ∂

∂tΦ(x) = [Φ(x), H] である。このとき

h0|T (

Φ(x)Φ(x⁰) )|0i

を求める。ハイゼンベルグ方程式の解は

Φ(x) =e^iHtΦ(0,x)e^−iHt

であるが, t= 0 でシュレディンガー表示と一致するものとすると Φ(0,x) =ϕ(x)である。これと (8.2)より

Φ(x) =e^iHte^−iH0tϕ(x)e^iH0te^−iHt になるから

Φ(x)Φ(x⁰) =e^iHte^−iH0tϕ(x)e^iH0te^{−iH(t−t0)}e^−iH0t0ϕ(x⁰)e^iH0t0e^−iHt0 である。(8.5)から

U(t, t⁰) =e^iH0te^{−iH(t−t0)}e^−iH0t0, U(0, t) =e^iHte^−iH0t, U(t⁰,0) =e^iH0t0e^−iHt0 したがって

Φ(x)Φ(x⁰) =U(0, t)ϕ(x)U(t, t⁰)ϕ(x⁰)U(t⁰,0)

である。次に,|0iと |0iの関係を求める。H0の真空 |0iに断熱的にV_I を作用させるとH の真 空|0iになるから

|0i=e^iθU(0,−∞)|0i

逆に,断熱的にV_I を消去すれば

|0i=e^iθ0U(∞,0)|0i, つまり |0i=e^−iθ0U⁻¹(∞,0)|0i (8.5)から分かるようにU^† =U⁻¹であるから

h0|=e^iθ0h0|U(∞,0) になる。したがって

1 =h0|0i=e^i(θ+θ0)h0|U(∞,0)U(0,−∞)|0i=e^i(θ+θ0)h0|S|0i である。以上の結果から

h0|Φ(x)Φ(x⁰)|0i=e^i(θ+θ0)h0|U(∞,0)U(0, t)ϕ(x)U(t, t⁰)ϕ(x⁰)U(t⁰,0)U(0,−∞)|0i

= 1

h0|S|0ih0|U(∞, t)ϕ(x)U(t, t⁰)ϕ(x⁰)U(t⁰,−∞)|0i になる。分子の部分でVI の1次はU(∞, t) ,U(t, t⁰) ,U(t⁰,−∞)からの寄与の和

(−i)

∫ _∞

t

dt₁V_I(t₁)ϕ(x)ϕ(x⁰) + (−i)

∫ t t⁰

dt₁ϕ(x)V_I(t₁)ϕ(x⁰) + (−i)

∫ t⁰

−∞

dt₁ϕ(x)ϕ(x⁰)V_I(t₁) である。これはt > t⁰ のとき

(−i)

∫ _∞

−∞

dt₁T (

ϕ(x)ϕ(x⁰)V_I(t₁) )

に等しい。2次以上も同様になるから h0|T

(

Φ(x)Φ(x⁰) )|0i

= 1

h0|S|0i

∑∞ n=0

(−i)ⁿ n!

∫ _∞

−∞

dt₁· · ·

∫ _∞

−∞

dt_nh0|T (

ϕ(x)ϕ(x⁰)V_I(t₁)· · ·V_I(t_n) )|0i

= 1

h0|S|0ih0|T (

ϕ(x)ϕ(x⁰)S )|0i

になる。一般に h0|T

(

Φ(x1)· · ·Φ(xn)

)|0i= 1

h0|S|0ih0|T (

ϕ(x1)· · ·ϕ(xn)S

)|0i (8.8)

である。

(8.7), (8.8)においてexpを展開すれば,相互作用Lint についての摂動展開になる。これは時間と 空間が同等に扱われ共変的な形式をしている。量子力学で用いられる摂動論では時間が特別扱いさ れ,共変的な形式ではない。これを場の理論に適用してもよいが,非常に見通しの悪いものになる。

ドキュメント内 量子力学Ａ (ページ 66-75)