，主 ，最尤推定 布母数 推定 い 報告 。
， 度主義 方法 あ ， 母数 真 値 い
う見方 依拠 い 。 ，ベ 推定 見方 ， 度主義 対極的 ，母数 確率 布 捉え 。後者 う ，外国語教育 実務的状況 適 い 場 合 あ ，解析精度 い ， 面 い 優 あ 。
ベ 推定 概略 い ， 稿 範 い ， ， 連鎖 ン
法 MCMC ，母数 後 布 posterior distribution ン
得 方法 い 紹 。ベ 推定やMCMC自体 い ，豊 2015, 2016 ，
松浦 2016 参考 い。 ，昨 ，草薙 2017b ，草薙 岡 2016 ，
草薙 石 2016 ，草薙 to appear ，ベ 統計 応用 外国語教育 関
研究実践や学会主催 ワ ョッ 見 う 。
，以 う 観測 い ，正規 布 仮定 ， 母 均 母 散 い ベ 推定 要領 検討 い 。
32
#正規 布 従う ータ例 作成
set.seed(0)
dat.mcmc1<-rnorm(1000,50,10)
R い ，母 均値 母 散 後 布 ン 得 簡単 方法
，MCMCpack ッ Martin, Quinn, & Park, 2011 MCMCregress関数
coda ッ Plummer, Best, Cowles, & VInes, 2006 使 う あ う 。
MCMCregress 関数 来， ン ン 一般線形 係数
後 布 関数 あ ， 援用 ，母 均 母 散 後 布 ン ン う 。 関数 ，回帰係数 前 布 多変 正規 布 ， 条件 誤 差 散 前 布 逆 ン 布 設 定 い 。 ン ン 区 間
1,000， 後 復回数 10,000 ， 前 布 形状 い ， 関数
従う場合，以 う MCMC計算 う 。
#MCMC 例
library(MCMCpack);library(coda);set.seed(0)
posterior1<-MCMCregress(dat.mcmc1~1,burnin=1000,mcmc=10000)
後 布 ン 要約 ，以 う 情報 得 。母数 ン
い 2.5% 97.5% ， 95%ベ 信用区間 限 限
， 値 信用区間 論文 報告 い。
Iterations = 1001:11000 Thinning interval = 1 Number of chains = 1
Sample size per chain = 10000
1. Empirical mean and standard deviation for each variable, plus standard error of the mean:
Mean SD Naive SE Time-series SE (Intercept) 49.84 0.3139 0.003139 0.003139 sigma2 99.77 4.4784 0.044784 0.046521 2. Quantiles for each variable:
2.5% 25% 50% 75% 97.5%
(Intercept) 49.23 49.63 49.84 50.05 50.46 sigma2 91.34 96.66 99.67 102.69 108.87
33
MCMC 結果 可視化 ， plot 関数 渡
便利 あ 。 結果 14 あ 。 側 ，MCMC計算 各母数 表 ，右側 ， 後 布 得 各母数 布 密度曲線 表 あ 。
summary(posterior1) plot(posterior1)
14. MCMC 各母数 後 布 正規 布 例
MCMC 計算 う際 ， 束診断 可 あ 。 Geweke 束
診断 断 。Geweke 束診断 ， 連鎖 前後 値 差 検
討 ，慣習的 ，[Z] < 1.96 あ い e.g., Plummer, Best, Cowles, &
VInes, 2006 。 例 ，両方 母数 問題 束 断 。
geweke.diag(posterior1)
ン 布 ッ 場合 様 ，MCMCpoisson 関数 使用 母数λ
後 布 ン 得 。
# ン 布 場合
set.seed(0);dat.mcmc2<-rpois(1000,5)
posterior2<-MCMCpoisson(dat.mcmc2~1,burnin=1000,mcmc=10000) summary(exp(posterior2))
34
布 い ，尤度関数 自 用意 ， 例 様
， 母数 後 布 い 検 討 。 ， 法
MCMCmetrop1R 関数 使 ，指数正規合成 布 母数 い 検討 。 初
期値 正解 設定 。 ， 前 布 無情報 前 布 設定
， ン ン区間 1,000， 復回数 50,000回 あ 。 ， 15 MCMC計
算 結果 可視化 。
#指数正規合成 布 従う数値例を作成 set.seed(0)
dat.mcmc3<-rexgauss(1000,3000,1000,1000)
#関数を準備
llf<-function(beta,x){
sum(log(dexgauss(x,beta[1],beta[2],beta[3]))) }
#MCMC計算
posterior3<-MCMCmetrop1R(llf,theta.init=c(3000,1000,1000),x=dat.mcmc3, mcmc=50000,burnin=1000)
plot(posterior3)
15. MCMC 各母数 後 布 指数正規合成 布 例
35
例 い ， 必要性 薄い ， 後 布 ン い ，推
定 値 多 箱 示 あ 。 16 あ 。 ，
紙幅 節約 いう 都合 いい ， 母数 大
い ， 親 注意 必要 あ 。
#箱ひ 図
post.df<-as.data.frame(posterior3)
boxplot(post.df,names=c("mu","sigma","tau"),col="lightblue", horizontal=T,xlab="Estimate")
16. 各母数 後 布 示 箱
う ，最尤推定 ，一種 ベ 推定 要領 ，確率 布
母数 い 柔軟 検討 。 ベ 推定 利 一部
過 ， ，得 推定値や推定区間 い ，最尤推定や 後
ッ 法 信 区間 構築 大差 い。 ，ベ 推定 主 利 ，階 ベ
う ， 複雑 構築 ， 母数 前 布 い
，研究者 自 設定 あ 。 関 機会 譲 い。
3.4
確率分布 推定母数 期待値や分散観測 対 確率 布 ッ 方法 ，従来 記述統計 代わ い。 稿 述 う ，観測 従来 や 方 記述 要
い。 ，仮 ，観測 対 あ 確率 布 十 ッ い 場合，
確率 布 推定母数 ，期待値や 散 計算 理解 あ 。 え ， ン 布 従う変数X 期待値 ，k θ 母数化 ，
mつsigmaっaつ
1000 1500 2000 2500 3000
分sっimaっe
36
= 4
あ ，α β 母数化 ，
= 5
あ 。 ， 散 ，k θ 母数化 ，
= 6
あ ，α β 母数化 ，
= 7
あ 。歪度 8 式，尖度 9 式 う 。 k α 替え い。
= 2
√
8
=6 9
ン 布 簡単 例 あ ， 布 い 様 期待値
計算 。 ， ン 布 母数 ， 均， 散，歪度，尖度 計算 以 通 あ 。
gammadescriptive<-function(shape,scale){
m<-shape*scale v<-shape*(scale^2) s<-2/sqrt(shape) k<-6/shape
result<-list("mean"=m,"variance"=v,"skew"=s,"kurtosis"=k) result
}
37
う ，観測 対 あ 確率 布 適合 ， 母数 報告 い 研究実践 い ，仮 記述統計 落 ， 後的
値 計算 可能 あ 。 ， 均， 散，歪度，尖度 任意 布 母数 正確 推定 ， 容易 い。
3.5
乱数生成 再現可能性記 少 関連 ，確率 布 ッ 方法 ， ュ ョン研 究 強い関連 い 。観測 代表 関数 あ ， 関数 従う
生成 可能 あ ， 場合，観測 対 確率 布
ッ 実践 ，計算 再現性 高 行 草薙, 2016 。 ，発
展的 関数 ， ュ ョン研究 可能 いう
要 利 あ 。外国語教育研究 関 ュ ョン研究 ，い 幕 開い いえ い状況 あ ，観測 対 確率 布 ッ 実践 ，
自体 瑣 あ ， 新 い種類 研究 可能性 あ 。